北师大版七年级数学上册学习笔记.doc

_第一章丰富的图形世界1生活中的立体图形 学法导引学习本节多与现实生活相联系，多观察身边的物体，从中抽象出相应的立体图形，并能用自己的语言描述几何体的某些特征，从而深刻认识各种几何体的特征 思维整合解析重点认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球这些几何体，用语言描述它们的特征 【例1】指出下列几何体的名称，根据你的观察，简要表述它们的特征，并列举一个形状与之类似的实物解析识别几何体，以直观观察为主通过观察，全方位发现每个几何体的特征，从而逐步揭示其本质，同时培养学生联系生活的意识解（1）圆柱，特征：两个底面是圆等实物如笔筒（2）圆锥，特征：像锥子，底面是圆等实物如烟囱帽（3）正方体（或称立方体），特征：所有的面都是正方形，方方正正等实物如魔方（4）长方体，特征：侧面是长方形等实物如砖（5）棱柱，特征：底面是多边形，侧面为长方形等实物如螺母（6）球，特征：圆圆的实体，可以滚动等实物如篮球剖析难点对几何体进行简单分类，主要对分类的标准难以确定，一般可以按柱、锥、球划分，也可按组成的面的曲或平划分，还可按有无顶点划分【例2】将下列几何体分类，并说明理由解析本题一要弄清各几何体的特征，二要有基本的分类思想本题答案不唯一，只要按照某种标准进行合理的分类即可解法1按柱、锥、球划分：（1）（2）（3）（5）（7）是一类，即柱体（4）是锥体，（6）是球体解法2按组成面的曲或平划分：（2）（4）（6）是一类，组成它们的面中至少有一个是曲面，（1）（3）（5）（7）是一类，组成它们的各面都是平面解法3按有无顶点划分：（2）、（6）是一类，它们无顶点，（1）（3）（4）（5）（6）是一类，它们都有顶点能力升级平台综合能力升级把图形问题中的多边形与探索规律综合，可提高学生分析问题、解决问题的能力【例3】从一个六边形的一个顶点出发，分别连结其余各顶点，可以把这个六边形分割成多少个三角形？如果是十边形呢？是二十边形呢？是n边形呢？解析先从简单的四边形、五边形入手四边形从一个顶点出发能连结1条对角线（这一顶点与它本身和相邻的两个顶点都不能连对角线），通过观察，分割成的三角形数比边数少2解六边形可分割成4个三角形十边形可分割成8个三角形二十边形可分割成18个三角形n边形可分割成n2个三角形2展开与折叠学法导引重视课前的模型准备工作，如把一个长方体药盒展开，就轻松知道怎样剪纸才能折成长方体（正方体），遇到问题时，先判断，再通过动手操作，验证判断的结果是否正确，如平面图形通过折叠能否围成规定的几何体，几何体沿某些棱剪开能否展成规定的平面图形，多与同学交流 思维整合解析重点1棱柱、圆柱、圆锥的展开图棱柱的展开图由两个相同的多边形（形状、大小均相同）和一个长方形（由多个长方形）组成，两个多边形边数与组成长方形的小长方形个数相同，且两个多边形在长方形两侧；圆柱展开图由两个圆（大小一样）和一个长方形组成，且两个圆在长方形两侧，不能在同一侧；圆锥展开图由一个扇形和一个圆组成，且圆与扇形的弧相连【例1】哪个几何体的表面能展开成图121中的图形？请把名称填在横线上解析第一个展开图中有两个圆和一个长方形，且两个圆在长方形两侧，它为圆柱；第二个展开图是一个扇形和一个圆，它为圆锥；第三个展开图大长方形由六个小长方形组成，且大长方形两侧各有一个六边形，它为六棱柱；第四个展开图中有两个形状相同的三角形，且有三个长方形，它为三棱柱解圆柱、圆锥、六棱柱、三棱柱2经历正方体的展开与折叠活动，画出正方体表面展开后的一个图形【例2】请画出正方体展开后的一个图形解点拨由一个图中，适当的移动一些正方形即可得到剖析难点能根据展开图判断原几何体、制作立体模型【例3】如图126，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？先想一想，再折一折解析底面是四边形，侧面有3个，显然与三棱柱，四棱柱的特点都不符，故不能围成棱柱的两个底面在侧面同侧，折叠面不能围成棱柱动手折叠后可以围成长方体解经过折叠可以围成棱柱点击易错点根据展开图判断立体模型或由立体模型得到展开图是容易错的地方，动手操作一下，就可以避免错误【例4】将图127中左边的图形（1）折叠起来，围成一个正方体，应该得到右图（2）中的（）错解C错解分析由平面展开图可知，“”所在的正方形和“”所在的正方形是相对的两个面，故排除A、B，但由于对正方体和它的展开图面与面的对应关系掌握得不够好，故错选为C正解D想一想如图128，在正方体两个相距最远的顶点处有一只苍蝇B和一只蜘蛛A，蜘蛛可从哪条最短的路径爬到苍蝇处？试说明你的理由解析本题的解答借助了正方体的展开图找到了解决问题的途径由于作展开图有各种不同的方法，因而从A到B可用6种不同的方法选取最短的路径，但每条路径都通过连结正方体2个顶点的棱的中点解因为蜘蛛只能在正方体的表面爬行，所以只要找出这个正方体的展开图，应用“两点之间，线段最短”的常识就可确定最短路径如图129能力升级平台综合能力升级正方体的平面展开图与语文知识中的反义词结合，可提高学生的学习兴趣，培养学生的动手能力、空间想像力【例5】如图1210，在正方体的平面展开图中的正方形内填上适当的字，使之与相对的面的字具有相反意义解析根据正方体的平面展开图，想像一下，“上”做前面则“东”做左面，“北”做上面，相对的面随之确定，然后动手操作进行验证解如图1211创新能力升级动手操作，从第1、2次实验中试着找出答案，再多次进行实验验证找到的答案是否正确，能否成为规律，从中体会创造的快乐，提高创新能力【例6】要将一正方体模型展成平面图形，需要剪断多少棱？你的结论可以作为一条规律来用吗？解析动手操作一下，不管怎么剪，总是需要7刀才能把正方体展成平面图形，少一刀也不行也只能剪7刀，多剪一刀就会有一个正方形被剪下解需剪断7条棱因为正方体有六个面，两个面有1条棱相连，六个面就有5条棱相连，所以剪断7条，规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连；反之有5条棱连接的6个正方形图形，不一定是正方体的平面展开图3截一个几何体学法导引截面是几何体被平面所截得到的一个平面图形（像球一样的西瓜被刀切，切出的两个圆就是截面），注意先想一想截面图形形状及图形名称，再动手操作，验证想像的结果是否正确思维整合解析重点经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化【例1】如图1-3-1，观察下列图中各个图形，回答符合下列条件的截面形状（1）截面与上、下底面平行；（2）截面与上、下底面不平行，且不过底面解析一定要亲自动手操作后再下结论解（1）圆，正方形，圆，三角形；（2）椭圆，长方形，椭圆，三角形剖析难点在活动过程中，正确判断和切截截面【例2】用平面去截一个几何体，截面是三角形，则原几何体是什么？错解原几何体可能是正方体，长方体，三棱锥，三棱柱，圆柱，圆锥错解分析圆柱不能截出三角形，从底面与侧面的交线上一点往下切，所得截面看似一个三角形，其实不是两边为弧线而不是直线棱柱中不只是三棱柱能截出三角形，所有的棱柱都能截出三角形因为棱柱的每个顶点是三个面的交点棱锥也是如此，所有的棱锥都能截出三角形正解原几何体可能是正方体，长方体，棱锥，棱柱，圆锥想一想用平面去截一个几何体，如果截面是正方形，你能想像出原来的几何体可能是什么吗？如果截面是圆呢？解析符合题意的答案有多种可能情形解正方体，长方体等几何体可截出的截面是正方形；圆柱，圆锥等几何体可截出截面为圆能力升级平台综合能力升级截一个几何体与圆的有关计算综合，通过想像用一个平面截圆锥的过程结合题中问题，找到解决问题的方法，提高学生分析问题的能力解析先通过想像，截面是与底面平行的一个圆根据面积计算出半径为2cm，底面直径至少为4cm，则高至少为4cm底面直径至少为4cm，高至少为4cm应用能力升级数学来源于生活，又反过来应用于生活把截面知识运用于最普通的日常活动做饭上，既学到了知识，又培养了学生爱劳动的习惯【例4】到菜市场买一块长方体形状的豆腐，你能只用三刀将其切成八块吗？试试看解能将豆腐块放在菜板上，用刀从上往下交叉切两刀，得到四块豆腐，再从侧面横着从右往左切过去，原来的四块豆腐就变成了八块4从不同方向看学法导引自己动手搭建几何体，观察你所搭建的几何体，体会从不同方向看到不同的结果，从而画出简单组合体的主视图、左视图和俯视图思维整合解析重点画出简单组合体（立方体）的三视图【例1】画出如图141（1）所示几何体的主视图、左视图和俯视图解析（1）主视图有3列，每列方块的个数是2、1、1；（2）左视图有2列，每列方块的个数是2、1；（3）俯视图有3列，每列方块的个数是1、1、2解几何体的主视图、左视图和俯视图如下所示：剖析难点根据俯视图中每个位置的小立方块的个数，画出另外两种视图，并能清晰地向同伴表达自己的思维过程【例2】图142是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中间的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图、左视图解析本题可先用小立方体摆一下，再画图也可根据所示数字确定主视图、左视图有几列，每列有几块来确定本题主视图有3列，每列方块数为2、1、2；左视图有3列，每列方块数为1、2、1解如图143，这个几何体的主视图、左视图为：点拨这类题型一定要注意每列、每层的最大数字，这是答对题的关键点击易错点三视图均为从某一方向所看到的平面图，当用小立方块搭建成几何体后，由于要把看到的某侧的一个面都画出来，常有遗漏一小块或多出一小块的现象能力升级平台综合能力升级无论是正方体、长方体，还是其他立方体图形，都可以从不同方向看，得到不同结果，空间想像力、综合判断力是解决这些问题的思维基础【例3】有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母A、B、C、D、E、F，甲、乙、丙三位同学从不同的方向去观察此正方体，观察结果如图145所示问这个正方体各个面上的字母对面各是什么字母？解析由图（1）知A的相邻面为D、F，由图（2）知A的相邻面为B、C因此A的对面为E；由图（2）、图（3）知C与A、B、D、E相邻C的对面为F，D的对面为B解A的对面为E，C的对面为F，D的对面为B应用能力升级数学来源于生活，又反过来服务于生产生活，应用三视图、发挥空间想像力解决实际问题【例4】在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，在搬运这些箱子之前，需要仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，你能根据三视图（如图146），帮他清点一下箱子的数量吗？ 解析一种方法是先摆一下，数出总数，另一种方法根据左视图和主视图可在俯视图中每一个小正方形处标出货箱个数，如图147解一共有8个箱子5生活中的平面图形学法导引在具体的情境中认识最常见的而有规则的平面图形，如多边形的扇形，并正确区分生活中的平面图形和立体图形，多与生活实际联系，在丰富的活动中发挥有条理的思考思维整合解析重点经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩【例】同学们，你渴望成为一名共青团员吗？让我们先来认识中国共产主义青年团团旗吧！如图151是一面团旗，你能找出哪些熟悉的图形解可以找到长方形、圆、三角形、五角星剖析难点在丰富的活动中，发展有条理的思考【例2】（1）从四边形的一个顶点出发，分别与不相邻的顶点相连，可以把五边形分割成几个三角形？（2）如果从五边形的一个顶点出发，分别与不相邻的顶点相连，可以把五边形分割成几个三角形？（3）如果是六边形呢？请你推出是n边形（n3），可以把n边形分割成多少个三角形解析本题首先要根据题意作图152，然后再寻找规律由图可知：四边形, 2 个三角形; 每个多边形可分割成比它边数2个的三角形.由图可知：四边形, 3 个三角形; 每个多边形可分割成比它边数2个的三角形.由图可知：四边形, 4 个三角形; 每个多边形可分割成比它边数2个的三角形.由此可知n边形被分割成了（n2）个三角形解（1）把四边形分割成了2个三角形；（2）把五边形分割成了3个三角形；（3）把六边形分割成了4个三角形；把n边形分成了（n2）个三角形点击易错点在归纳、总结规律时，思考缺乏条理性，导致结果错误【例3】在一个圆中任意画四条半径，可以把这个圆分成_个扇形错解4正解12第二章有理数及其运算1数怎么不够用了学法导引学习时首先理解正数、负数产生的意义，通过实际生活中的问题，准确把握正数与负数的实质是规定其中一个为正，那么另一个具有相反意义的量为负；同时准确理解有理数的概念及分类标准，分类标准不同，分类结果也不同，注意分类结果应做到不重不漏思维整合解析重点1正数与负数的应用正数、负数通常表示具有相反意义的量，如运进3吨，记作3吨，那么运出5吨记作5吨，若正数表示具有某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量【例1】某人原地不动记作0m，9m表示某人向北走9m，那么4m表示什么？解析“向北”与“向南”是一对具有相反意义的量，向北记作负，则向南记作正解4m表示某人向南走4m点拨习惯上，人们经常把零上的温度、上升的高度、收入的钱数、向南的行程等定为正的，用正数表示；而把零下的温度、下降的高度、支出的钱数、向北的行程等与前面意义相反的量规定为负的2有理数的分类解析首先明确各集合的意义，正数集合包括所有的正整数、正分数；非负整数集合包括所有的正整数和0；整数集合包括所有的正整数、负整数和0；负分数集合包括所有的负分数（包括负小数，因任意有限小数和无限循环小数都可转化为分数）点拨（1）正与整的区别，正数是相对负数而言的，而整数是相对于分数而言的；（2）任意有限小数和无限循环小数都可转化为分数，因此2.5，3.14等都是分数剖析难点对负号的相反意义的理解：这个相反是针对原意而言的，而正负表示的意义是人为的规定【例3】若将低于海平面11022米的太平洋最深处记作：11022米，则高出海平面8848米的珠穆朗玛峰应记作多少米？解析此题中低于海平面与高出海平面两个的意义相反，当低于海平面11022米记为米时，高出海平面8848米就应记作8848米解记作8848米点击易错点分不清零是不是正数，是不是整数错解分析（1）把不含“”号的都当成正数；（2）把“整”与“正”混淆，正是相对负而言，整数是相对分数而言（小数和分数可以互化）想一想（1）上述数中，有奇数和偶数吗？各是哪些数？（2）上述数中，有既是整数也是负数的数吗？有既是正数也是偶数的数吗？（3）按数的正负性质，你能将有理数怎样分类？解（1）奇数有：5，17；偶数有：2，0，102；（2）既是整数也是负数的数即负整数：2，17，即是正数也是偶数的数即正偶数：102；能力升级平台综合能力升级“大于0”是正数的本质特征，对于用字母表示的数，不能看表面是否有负号，a是正数还是负数，取决于a是什么数【例5】字母a可以表示数，如果数a表示正数，那么a表示什么数？如果a表示负数，那么a表示什么数？字母a除了可以表示正数和负数外，还可以表示哪些有理数？解析意义完全相反的量，分别用正数和负数来表示，当数a表示正数时，a表示负数，a表示负数时，a表示正数；对于正数和负数的概念不能简单地理解为：带“”号的数是正数，带“”号的数是负数解如果a表示正数，那么a表示负数；如果a表示负数，那么a表示正数，字母a除了表示正数和负数外，还可以表示0应用能力升级正、负数的表示常应用于实际问题中，如：比赛中的得分、失分，足球守门员的折返跑，出租车在一条笔直的公路上往返运营等【例6】七年级举行足球比赛，规则为：胜一场得3分，平一场得0分，负一场得2分，比赛结果七（3）班2胜1平3负，问七（3）班得多少分？解七（3）班胜2场得6分，平一场得0分，负3场得6分，故七（3）班共得0分 点拨要分别算出平1场、胜2场、负3场的得分，求总分创新能力升级对于某个问题，善于从多角度、多方面思考，寻找解题的不同方法，培养创新意识【例7】课桌的高度比标准高度高2毫米记作2毫米，那么比标准高度低3毫米记作什么？现在有5张课桌，量得它们的尺寸比标准尺寸长1毫米，1毫米，0毫米，3毫米，1.5毫米，若规定课桌的高度比标准高度最高不能超过2毫米，最低不能少于2毫米就算合格问上述5张课桌中有几张合格？解析用正、负数表示两种相反意义的量，把比标准高度高记为正，则比标准高度低应记为负；规定课桌的高度比标准高度最高不能超过2毫米，最低不能少于2毫米，就算合格，也就是量得尺寸比标准尺寸高、低在2毫米与2毫米之间算合格，知1毫米、1毫米、0毫米、1.5毫米的均为合格也可画图找到答案解3毫米，4张2数轴学法导引类比温度计认识数轴，数轴上的点可以表示有理数，知道数轴的正方向是规定的不能改变的，而单位长度、原点的选定是根据需要选定的利用数轴，把数和形结合起来，学习新知识思维整合解析重点1数轴的定义规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴，规定向右的方向为正，单位长度据实际情况可长可短，但同一数轴的单位长度不变，数轴上的点表示有理数，原点表示，原点右边的点表示正数，左边的点表示负数【例1】如图221中，表示数轴的是（）解析因为A中的单位长度不统一，应排除；B中负方向的单位长度的刻度应从原点向左依次排列为1，2，3，而不是向右排，所以应排除B；D中没有确定正方向，所以不是数轴，C是正确数轴解C解析相反数的几何意义：在数轴上原点的两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数相反数的代数意义：只有符号不同的两个数，其中一个数是另一个数的相反数，特别地，0的相反数是0“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数例如2和3符号不同，但它们不互为相反数点拨（4）中的a2的相反数必须加括号即（a2），（5）中的2a是一整体剖析难点比较两个负数的大小，把两个负数在数轴上的对应点找出来，然后依据“数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大”判断【例3】比较下列每组数的大小：（1）10与7；（2）2.5与3解（1）如图222所示，在数轴上10对应的点在7对应的点的左侧所以，107；（2）如图223所示，数轴上2.5对应的点在3对应的点的右侧所以2.53点击易错点弄不明白相反数的代数意义【例4】填空：ab的相反数是_错解ab错解分析没有弄明白相反数的代数意义，应把ab看成一个整体正解（ab）想一想化简下列各数的符号，得到一个什么样的数？（1）（5）；（2）（2）解析（5）表示5的相反数即5，因此（5）5（2）表示2的相反数2，（2）表示（2）本身，即2本身，因此（2）2解（1）（5）5；（2）（2）2能力升级平台综合能力升级本节学习的有关内容都是数形结合的基础，常见的是数轴、相反数、有理数大小比较的综合运用解析（1）首先画出数轴（按三要素），第二步把这些数轴上对应的点找出来，找时从原点出发，负数在左边，正数在右边（2）把所有的数（包括0，在原点）标出后，根据这些数在数轴上点的位置顺序（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）大小关系一目了然，只需要用“”连接起来即可解应用能力升级应用数轴上右边的数总比左边的数大，解决点的移动问题【例6】在数轴上，点A到原点的距离为2，把点A向右移动3个单位后为点B.则点B表示的数是多少？解析在数轴点A到原点的距离为2，这样的点有2个一个在原点左侧，另一个在原点右侧，所以A为2或2，当把A向右移动3个单位后，点B表示的数也有两个，当A为2时B为5；当A为2时B为1解B为5或1点拨要考虑到数轴上的点表示的数向右移即增大创新能力升级具有实际意义的量也可看作数轴上的点，常见的有小虫沿直线来回爬，消防队员沿云梯上下移动，还有同学们喜爱的拔河比赛等都可以看作数轴上的点的移动【例7】工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为6个，那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短？解析把流水线看作数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，这样就找到解决本题的模式数轴解C台，C、D两台之间3绝对值学法导引利用数轴，并把有理数与数轴结合，理解绝对值的概念，一个数的绝对值不可能是负数，利用求绝对值的方法比较两个负有理数的大小，方法更简单在今后的学习中，有理数的运算，二次根式等内容都是以绝对值的知识为基础，因此，一定要学好本节内容思维整合解析重点绝对值的概念几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作a，代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0式子表示为【例2】（1）当x3x3时，求x的取值范围；（2）当x33x时，求x的取值范围解析任意有理数的绝对值都是非负数，即不小于0解（1）x3x30，x3；（2）x33x0，x3点击易错点误认为绝对值是正数的有理数只有一个，而把负的漏掉【例3】已知x4.5，求x值错解x4.5，x4.5错解分析错解原因在于没有理解和掌握在数轴上到某一点的距离为某一单位长度的点有两个，它们表示的数互为相反数正解x4.5，x4.5能力升级平台综合能力升级利用绝对值的代数定义可以得到简易方程，从而求得某些字母的取值【例4】已知3x15，求x解析在求解时把3x1看成一个整体，可知3x15或3x15，然后分别解方程求x的值应用能力升级在日常生活中，借助绝对值的意义，可以判断某些产品的合格程度，还可以比较评判某些产品质量的好坏，用绝对值知识解决一些实际问题解析因为a、b为不等于0的有理数，所以a可能是正数或负数，b可能是正数或负数，故有以下几种情况：（1）a0，b0；（2）a0，b0；（3）a0，b0；（4）a0，b04有理数的加法学法导引用数轴上点的移动规律理解加法法则，在应用法则时应注意先确定应用哪一条法则，再确定符号进行计算在有理数运长中，小学学过的加法的交换律、结合律仍适用思维整合解析重点加法法则及加法运算律是本节重点，归纳如下：有理数加法法则: 内容：（1）同号相加，符号不变，绝对值相加；（2）异号相加，符号同大，绝对值相减；（3）互为相反数相加得0；（4）一个数同0相加，仍得这个数规律：进行有理数加法运算时先确定和的符号，再计算和的绝对值加法交换律： 内容：两个数相加，交换加数位置，和不变即abba 规律：（1）互为相反数的两个数，可先相加；（2）几个数相加可得整数时，先相加；（3）同分母的分数可先相加；（4）符号相同的数可先相加加法结合律： 内容：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加和不变即（ab）ca(bc) 规律：（1）互为相反数的两个数，可先相加；（2）几个数相加可得整数时，先相加；（3）同分母的分数可先相加；（4）符号相同的数可先相加解析进行加法运算时，先判断两个加数符号是同号还是异号，是否有零，再确定用第几条法则解（1）（3.6）（1.9）（同号两数相加）（3.61.9）（取相同的“”，并把3.6的绝对值与1.9的绝对值相加）5.5；（2）160（20）（异号两数相加）（16020）（取160的符号“”并用160的绝对值减去20的绝对值）140；（3）3（3）（互为相反数的两数相加）0；剖析难点灵活运用运算律，使运算简化解析利用加法交换律、结合律可简化计算，根据加数特点从以下几方面进行：（1）同号的加数放在一起相加；（2）同分母的加数放在一起相加；（3）和为0的加数放在一起相加；（4）和为整数的加数放在一起相加点拨注意观察题目特点，适当地运用加法交换律和结合律点击易错点在进行有理数的运算时，由于忽略了法则内容而出现错误【例3】计算（3）（5）错解（3）（5）2错解分析本题计算没有按“先确定符号，后计算绝对值”的顺序正解（3）（5）（53）2能力升级平台综合能力升级当题中同时有分数、小数出现时，注意小数化为分数或分数化为小数，综合分析题中数字特点分别结合，使运算简便应用能力升级用有理数的加法可解决实际生活中的许多问题【例5】一个水利勘察队，第一天沿江向上游走了7千米，第二天沿江向下游走了5.3千米，第三天沿江向下游走了6.5千米，第四天沿江向上游走了10千米，第四天勘察队在出发点的上游还是下游？距出发点多少千米？解析先确定向上游走为，向下游走为，则题中四个数据为7，5.3，6.5，10求出这四个数的和若和为正值即在上游，和为负值即在下游，和的绝对值即为距出发点的距离解（7）（5.3）（6.5）（10）（7）（10）（5.3）（6.5）17（11.8）5.2在出发点的上游5.2千米处创新能力升级从题中构造出最基本的数学模型数轴，使问题回到已学过的数轴、绝对值、有理数加法中，使问题解决，培养创新能力【例6】某检修小组乘坐一辆汽车沿公路检修线路，前进为正，后退为负，某一天从M地出发到收工时，所走路程（单位：千米）为15，2，5，1，10，3，2，12，4，5，6（1）收工时检修小组离出发地M多远？（2）若每千米耗油0.2升，求这一天共耗油多少升？（3）在哪次记录时，距M地最远？解析因为前进为正，后退为负，在求检修小组离出发地M多远时，应求各数据之和，若和为正，则检修小组在M前方，和为负则检修小组在出发地M后面；求耗油量时，无论前进还是后退都耗油，需求汽车一共走的路程，即求各数据的绝对值之和，再乘以0.2即可解（1）（15）（2）（5）（1）（10）（3）（2）（12）（4）（5）（6）39；（2）（15251103212456）0.2650.213；（3）第一次15，第二次（15）（2）13，第三次（15）（2）（5）18，第四次（15）（2）（5）（1）17，依次类推，第五次为27，第六次为24，第七次为22，第八次为34，第九次为38，第十次为33，第十一次为39最后一次距M地最远点拨本题实质是列式计算问题，解题时，应抓住事物的本质，弄清是各数之和，还是各数的绝对值之和，或是部分数的和的绝对值5有理数的减法学法导引有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同，用减法是加法的逆运算理解有理数的减法法则在进行有理数的减法计算时，先把有理数的减法转化为有理数的加法，转化时一定注意减法变加法的同时，把减数变为它的相反数，再运用有理数的加法法则进行计算思维整合解析重点有理数的减法法则，有理数减法运算步骤法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a（b）a（b）（这里的a、b表示任意有理数）运算步骤：（1）将减号变成加号，同时把减数变成减数的相反数；（2）按照加法运算的步骤去做【例】计算下列各题：（1）8（6）；（2）10（5）；（3）（3）4；（4）02解析首先弄清减数的符号（是正号、还是负号）（1）、（2）小题中减数的符号为“”，而（3）、（4）小题中减数的符号为“”，将有理数减法转化为加法时，同时改变两个符号：一是运算符号，由减号变加号，另一个是性质符号，负号变正号，正号变负号解（1）8（6）8（6）14；（2）10（5）10（5）5；（3）（3）43（4）7；（4）020（2）2剖析难点理解有理数减法法则的推导过程如：（2）（5）3，（3）（5）2（减法是加法的逆运算）又（3）（5）2，（3）（5）（3）（5）减法变加法的同时，减数由5变5，而被减数3不变点击易错点在有理数减法转化为加法的过程中易出现错误【例2】计算11796错解1179611（7）9618963错解分析在减法运算中应注意“两变”即要减法变加法，也要改变减数的符号，本题中“79”错误地变成了“79”只由减法变为加法而减数9没有变为相反数正解11（7）（9）611（7）（9）6（1179）627621能力升级平台应用能力升级灵活运用减法法则解决实际问题，把“下降”、“低多少”、“超出”等转化为有理数的减法【例3】用有理数减法法则解答下列问题：（1）某冷库温度是零下10，下降3后又下降5，两次变化后冷库温度是多少？（2）某地夜间最低温度为零下12，白天最高温度是零上12，夜间比白天低多少？解析理解题意“下降”、“低多少”是要做减法运算解（1）（10）（3）（5）（10）3（5）12（2）12（12）121224综合能力升级把有理数减法、数轴、绝对值及求两点的距离综合在一起，要灵活变通所学的知识，提高综合分析问题的能力【例4】已知数轴上点A表示的数为28，点B表示的数为15，求AB两点间的距离解析在数轴上，求任意两点的距离有两种方法：一种是较大数减去较小数，另一种方法是前一个数减去后一个数差的绝对值解法1AB两点间的距离为15（28）13解法2AB两点间的距离为28（15）136有理数的加减混合运算学法导引正确地进行有理数的加法、有理数的减法的计算有理数的加减混合运算就是先把减法统一成加法，然后再变成省略加号和括号的形式，根据具体问题，运用运算律简化运算思维整合解析重点有理数加减混合运算有理数加减混合运算的方法：（1）用减法法则将加法减法统一成加法运算，再省略加号和括号；（2）利用加法法则、加法交换律、结合律简化运算其原则是互为相反数的两数结合，正数和正数结合，负数和负数结合等【例1】计算4.5（3.2）（1.1）（1.4） 解4.5（3.2）（1.1）（1.4） 4.5（3.2）1.1（1.4）（减法变加法） 4.53.21.11.4（省略括号及加号） 1.31.11.4 2.41.41点拨统一成加法后可以写成省略括号及前面加号的形式剖析难点应用有理数的加减混合运算解决实际问题对实际应用问题，首先把具有相反意义的量，正确地用正数、负数表示出来再根据题意列出算式，进行计算【例2】某储蓄所办理了6笔储蓄业务，它们分别是：取出950元、取出780元、存入1200元、存入2500、取出1500元、取出820元，问这时储蓄所现款增减情况如何？ 解析取出为“”，存入为“”根据题意应为950、780，1200、2500，1500、820的代数和 解950780120025001500820（9507801500820）1200250040503700350所以这时储蓄所现款减少了350元点击易错点把算式写成省略括号的代数和的形式时，容易变错符号 错解分析在做加减混合运算时，应将减法统一成加法后才能省略加号，而“”号不能省略，跳步运算时，要慎重对待符号变化正解能力升级平台综合能力升级利用加减混合运算解决一些数学问题【例4】从2.6中减去2.7，11.5，3.9的和，所得的差是多少？ 解析按已知条件列出算式，先写出2.7，11.5，3.9的和，可写成省略括号的和的形式，然后用2.6减去这个整体的和 解2.6（2.711.53.9）2.6（2.73.9）11.52.64.97.5所得的差是7.5点拨本题中的“从2.6中减去2.7”易列成2.62.7，这是错误的，应是“2.7，11.5，3.9的和”作为减数应用能力升级有理数的加减混合运算在现实生活中的应用【例5】一名潜水员在水下80米处发现一条鲨鱼在离他不远处的上方25米的位置往下游追逐猎物，当它向下游42米后追上猎物，此时猎物做垂死挣扎立刻反向上游，鲨鱼紧紧尾随，又游了10米后被鲨鱼一口吞吃（1）求鲨鱼吃掉猎物时所在位置；（2）与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，有什么变化？ 解析向上游与向下游是一对具有相反意义的量，可用正数、负数来表示，若设向上游的高度为正数，则向下游的高度为负数，求出几个有理数的和，就可以判断鲨鱼吃掉猎物时所在位置 解（1）80254210（8042）（2510）1223587所以鲨鱼在水下87米处吃掉猎物（2）鲨鱼原来位置802555（米），鲨鱼原来在水下55米处87（55）875532（米）所以与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，它向下游了32米创新能力升级从不同角度思考问题，培养学生的创造性思维，提高创新能力7水位的变化学法导引从题中给出的有关数据中，读取有用的信息，综合运用有理数及其加减法的有关知识，解决实际问题解决水位问题的步骤：第一，根据题意列出算式；第二，根据有关的运算法则和运算律进行计算；第三，将结果结合实际情况进行分析，给出答案学习中应尽量独立完成思维整合解析重点运用有理数及其加法、减法的有关知识解决简单的实际问题“水位变化”问题是典型的利用有理数的加减混合运算的实际问题，首先要理解在水位变化图表下面标明的“注”或“注意”的含义，分清参考对象是前一天的水位还是某一具体参考水位值【例1】水库管理人员为了掌握水库蓄水情况，需要观测水库的水位变化，下表是某水库一星期内的水位高低的变化情况（注：水位比前一天上升记为正数，下降记为负数）： 计算这周内水位总的变化是上升了，还是下降了？上升了（或下降了）多少米？解析此表中的数据正号表示水位比前一天上升，负号表示比前一天下降，参考对象是前一天的水位，因此水位的变化具有连续性 解本周的水位记录如表：（以上周末的水位为0点）0.120.10（0.03）（0.23）（0.31）（0.33）（0.01）0.69因此本周水位总的变化是下降了，下降了0.69米剖析难点根据实际问题，建立数学模型，体会数学与现实生活的联系【例2】某摩托车生产厂家本周计划每天生产150辆摩托车，由于一些特殊原因，实际每天的生产量不稳定，下表是本周每天的摩托车生产量与计划生产量的变化情况注：正数表示每天的生产量比计划的生产量增加，负数表示每天的生产量比计划生产量减少问：本周星期五的生产量是多少？错27）（316）149（辆）本周星期五的生产量为149辆错解分析错解的原因是没有认真分析题目中给出的“注”的含义，表格中的增数是每天的生产量与计划生产量的差值，而上述解题错误地认为表格中的增减数是相对于前一天的变化情况正解1506144（辆）能力升级平台应用能力升级把“水位变化”这个数学模型用来解决生活中其他问题提高学生解决问题的能力【例3】股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股2520元的价格买进某公司股票1000股，下表为本周内每天该股票的涨跌情况注意：正号表示股价比前一天上涨，负号表示股价比前一天下跌（1）星期四收盘时，每股多少元？（2）本周内哪一天股价最高？是多少元？（3）与上周末相比，本周末该股票上涨了还是下跌了？（4）已知小王买进股票时付了成交额千分之五的手续费，卖出时除了交成交额的千分之五的手续费外，还需交成交额的千分之一的交易税，如果小王在本周五收盘前将全部股票卖出，那么他赔了还是赚了？（5）用折线统计图表示本周的股价变化情况解析利用有理数的加减混合运算求出本周内每天该股票的变化情况，便能解答出（1）（2）（3）三个问题，第（4）小题中，买进股票时，应交手续费，卖出股票时，应交手续费和交易税，即到手的钱是成交额扣除手续费和交易税的钱数用实际到手的钱减去实际花的钱，若差大于0，就表示赚钱；若差小于0，就表示赔钱；若差等于0，就表示不赔不赚第（5）小题中，可把上周末的股价情况看成0点，画出折线图解（1）25.200.10.40.20.424.90元，星期四收盘时，每股24.90元（2）把上周五的股点情况看成0点，周一的股价变化为00.10.1（元），周二的股价变化为0.10.40.3（元），周三的股价变化为0.30.20.1（元），周四的股价变化为0.10.40.3（元），周五的股价变化为0.30.50.2（元），0.30.20.10.10.3，25.200.325.50元周二的股价最高，是25.50元（3）由（2）可知，周五的股价变化为0.2元与上周末相比，本周末该股票上涨了（4）由（2）可知，周五的股价为25.200.225.40（元）25.40（151）100025.20（15）100078.40，本周五收盘前将全部股票卖出，他赔了（5）把上周末的股价情况看成0点，画折线统计图表示本周股价变化情况如图271所示8有理数的