高等数学第二版北大版第3章答案.pdf

习题习题 3.1 3/2 2 22222 22223/2 3/22/33/22/33/2 3/22/33 11 1.1212(12 )(12 ). 23 3133 2.(1). (1)2(1)2(1) 11 3.2727 (27)(27). 46 2 4. (21)(21) 3 2 1 (21)(2 3 2 xdxxdxxC x dxd xC xxx xxdxxdxxC xxdxxdx xdx ? 求下列不定积分： /23/25/3 1/ 1/1/ 2 10010099 22 2 22 1 1)(21). 5 5.(1/ ). (2)1 6 (2)(2)99(2) 1135/315 7.arctan. 353 1 (5/3) 3531 5/3 15 173/7 8. 37 737 1 3/77 1 x xx xC e dxedxeC x dxdx C xxx dxdxdx xC xxx dxdxdx xx ? ? 2 22 22 2 13 arcsin. 73 3/7 9.22arctan. (1)(1) 11 10.arctan. 22 2 11.arcsin. 11 () 111 12. 1(1)(1)211 111 ln 21 x xx x x x x xx x xxx xC x dxdx xC xxx e dxdeeC e e dxde eC ee dxdedu du eeeuuuu u C u 2 2 22 1 ln. 21 lnlnlnln1 13.lnlnlnlnln(lnln ). lnln2 2 14.cot. 1 cos2 2sinsin 22 x x e C e xx dxdxxdxxC xxx x d dxdxx C xx x 2 14102 55 54544 22 44 2 234 4 12 2 15.cot. 1 sin24 1 cos 2 11 16.() (1)5(1)5(1) 11 11(1) (1) 5(1)5 1211 2 55 11 53 d x dxx C x x xxu dxdxdu ux xxu uv dudv vu uv vv dvvvvdv v vvv 3515253 21 4 5 555 11 (1)(1)(1). 53 11 17.() 111 1111 1(ln|1|)(ln|1|). 1 1 18.() (2)(2)5(2) 1 11 5 2 nn nn nn nn CxxxC xxu dxdxdu ux xnxnu duuuCxxC nunn dxx dxdu ux x xxxu u ? 2 arctan2 2 111 ln |ln |2|ln. 210102 ln(1)ln11 19.(ln(1)ln ) (1)1 (ln(1)ln ) (lnln(1)(ln(1)ln ) (ln(1)ln ) 11 ln. 2 ln(1) 20. 1 x u duuuCC uuu xxdx xxdx x xxx xx dxxxx dxx x C x exx dx x arctan2 22 arctan22 arctan22 ln(1) 11 1 arctanln(1) ln(1) 2 1 ln (1). 4 x x x exx dxdx xx edxx dx exC 2 223 222 2 2 11 21. sin2 cos2sin2sin2sin 2. 24 2 22. sincos2 sinsinsin. 222232 111 23. sin5 sin6(coscos11 )sinsin11. 2211 2121 24. 111 (1) arcs 1 xxdxxdxxC xxxxx dxdC xxdxxx dxxxC xx dxdxdx xxx dx x 2 33 222 22 2 22 2222 2 2 3/22 22 3/2 22 3/2 in2 1arcsin. 25. 111 11(1) 22 11 111 1(1)1 22 1 1 (1)2 1. 3 26.(0) () sin ,(/2,/2),cos, () xCxxC xxxx dxdxdx xxx xdx dx xx x dxdxx x xxC dx a ax xat tdxatdt ax 33 22 3/2222 2 2222 cos, 1 tan ()cos 1/ . 1 ( / ) at dxdt dxtC axata x ax CC a x aaax 2222 22 2222 22 0,0, arccos arccosarccos arccos. xxy y yaxaa dxdyyaaC xyy aa xaaCxaaC xx a xaaC x 时 令 22 22 22 22 2 2 22 27.(0).0,sec ,(0,/2). tan sec,tan , tan(sec1)(tan) ( sec1arccos)(1arccos) arccos. xa dx axxat t x dxattdtxaat xa dxatdtatdtattC x axa atCaC xax a xaaC x 时 令 2 222 2222 2 222 2 22 3 /23 /2 3 /23 333 33 3 28. 1 arcsinarcsin 22 1 arcsin. 22 22 29.ln(1) 33 111 22( 11)( 1 ln(11)ln 33 xx xx xxx x x xdx dxax dxa axax axx x axaC aa ax x axC a dxedxde eeC eee ee exC 3 3 34 4 882 248 1) 11 2 ln( 11). 3 11 30.() 44 111 11 ln(1)ln(1). 44 x x x xC e exC xdxdu dxux xxu uuCxxC 22 2 627242 22 1/21/2 3/21/21/2 531 222 531 22 222 111 31.() 221 111 1(1)121 (1) 22 1 (2) 2 1 22 22 2 53 11211 111 53 dxdxdxu du u xu xxxxxx vvv dvdv vu vv vvvdx vvv xxx ? 2 53 222 53 111 . 53 C xxx C xxx 2 33 3 33 352 24 3 5/32/3 32.()(1,1) 1 11 13 3 ()3 521 33 (1)(1). 52 xx xx xx xx eeu dxdedu ueuv uv u ee uvvv duv dvvv dvC vu eeC 222 1 2 33. 3 11131 3 2442 1 21 2 arcsinarcsin. 1313 2 d x dxdx xx xx x x CC 22 2 2 2 112911 34.77 24422 1 1129129 2 arcsin 2242829 2 212921 7arcsin. 4829 xx dxxdxxd x x xxC xx xxC 2 2 35.,11,1 (1) ,2(1), 11 ,11,1(1) ,2(1), 11 2(1) 2(ln )2(11)ln(11) 11 21ln(11). dx xu xudxudu x dx xu xudxudu x dxudu uuCxxC ux xxC 1 习题习题 3.2 2 22 2222 2 22222 22 222 2 11 1.lnlnlnln 222 111 lnlnln. 222224 11112 2. 12122 12 axaxaxaxaxax axaxaxaxax ax x xxdxxdxxx dx xxxx xxdxxxdxxC x x e dxx dex ee dxx exe dx aaaaa x x exdex eee dx aaaaa x e a ? 求下列不定积分： 2 223 2 23 2 2 2 122 122 . 111 3.sin2cos2cos2cos2 222 11 cos2sin2. 24 4. arcsinarcsinarcsinarcsin 1 1(1) arcsin 2 1 axaxaxax ax x xdex eeeC aaaa x exC aaa xxdxxdxxxxdx xxxC xdx xdxxxxdxxx x dx xxx x 2 arcsin1.xxC 2 2 2 2 2222 2222 5. arctanarctanarctanarctan 1 1(1)1 arctanarctanln(1). 212 111 6.cos3cos3cos3cos3 222 1313 cos3sin3cos3sin3 2224 1 xxxx xxxx xdx xdxxxxdxxx x dx xxxxxC x Iexdxxdeexe dx exexdxexxde 222 22 22 3 cos3sin33cos3 24 139 cos3sin3, 244 4131 cos3sin32cos33sin3. 13 2413 sin3 7.sin3sin33cos3 sin33 cos3sin33 xxx xx xx xxx x xxxx exexexdx exexI Ixx eCxx eC x Idxxdeexexdx e exxdeexe cos33sin3 x xexdx 2 sin33(cos33 ), 1 sin33cos3(sin33cos3 ). 1010 xx x xx exexI e IexexCxxC 2 2 2 22 2 22 11 8.sinsinsincos 1 sincos 1 sincossin 1 sincos. 11 sincos, 1 ( sinco axaxaxax axax axaxax axax axax ax b Iebxdxbxdeebxebxdx aaa b ebxbxde aa b ebxebxb ebxdx aa b ebxebxbI aa b Iebxebx baa a e Iabxb ab s).bxC 222 2 2 22 2 2 2 22 22 9.1 91 91 9 18 1 9 2 1 9 1 91 9 1 9 1 9, 1 9 11 1 1 9ln(31 9) 22 3 11 1 9ln(31 9). 26 Ix dxxxxdx xxdx xx x dx xxx dx x dx xxI x IxxxxC xxxxC ? ? 222 222 2 22 2 2 10.coshsinhsinhsinh sinhcosh. 11. ln(1)ln(1)ln(1) ln(1)ln(1)1. 1 arccos 12. (arccos )(arccos )2 1 (arccos )2 arcco xxdxxdxxxxdx xxxC xxdxxxxxdxx xdx xxxxxxxC x xx x dxxxdx x xx 2 22 s1 (arccos )21arccos1 xdx xxxxdx 3 22 (arccos )2 1arccos2.xxxxxC 222 2 22 2 2 2 2 arccos11 13.arccos (1)21 arccos1 2(1)2 (1) 1 arccos1 . 2(1)2 1 14. arctanarctan 2(1) 1 arctan.,2 21 2 2arctan, 11 arc xxdx xd xx xdx x xx xx C x x xdx xdxxx xx xdx xxxu xudxudu x xdxu udu uuC xu 1 tanarctan2(arctan) 2 arctan(arctan) (1)arctan. xdxxxxxC xxxxC xxxC ? 2 2 22 2 2 2 2 arcsin1arcsin 15.arcsin 1 arcsin (0) 1/1 arcsin(1/ )arcsin ln |1/1/1| 1/1 arcsin ln(11)ln arcsin ln(11)ln |(0)( xxdx dxxd xxx xx xdx x x xx xdxx xxC xx x x xxC x x xxC x x 原函数为偶函数 424 3224 4242 34 424424 34 ). 1(ln )12ln 16.(ln )(ln ) 444 (ln )1(ln )1 lnln 4248 (ln )1(ln )1 lnln. 482488 xxxxdx xxdxxdx x xxxx xxdxxdx xxxxxx xx dxxxC ? 2 23/2 25/225/2 arctan1arctan(1)12 17.arctan(1) (1)2(1)23 xxdxxdx xdx xx ? 4 2 23/225/2 arctan1 .tan ,(/2,/2).sec, 3(1)3(1) xdx xu udxudu xx 32 25/2 3 3 22 3 25/223/2 22 3 23/223/2 2 cos(1 sin) sin (1) 11 sinsin, 33 11 arctanarctan11 (1)3(1)33 11 arctan11 . 3(1)39 (1) 1 dx uduu du x xx uuCC xx xxdxxxx C xx xx xxx C xx x 222 2 22 2 2 22 2 222 2 22 222 2 1 18.ln(1)ln(1) 2 11 ln(1) 22 1 11(1) 1 ln(1) 22 1 111 ln(1)1 222 1 111ln(1)1 ln(1)ln(1) 22222 1 ln(1 2 xxxdxxxdx x dx xxx x xdx xxx x dx xxxx dx x xxxx xxxxxC xx 222 11 )1ln(1). 44 xxxxxC 习题习题 3.3 2 2 : 11 1., 68(2)(4) 1 , (2)(4)24 2 134 15 , 242422 13/25/2 , (2)(4)24 135 ln |2|ln |4|. 6822 xx dxdx xxxx xAB xxxx AB x xxxx x dxxxC xx 求下列不定积分 42 2 42 2 22 2 2 3 31 2 6 3140133 3322, 66 4013340133 , 6(3)(2)32 40 ( 3) 13325340 2 13353 ,. 325235 325353 22ln |3|ln|2|. 255 xx Idx xx xxx xx xxxx xxAB xxxxxx AB x IxxxxC ? 2 42 2 2 422 2 2242 22 25 3. 56 2525 () 5656 25 , (2)(3)23 2 252 35 1,1. 2332 2511 , 56 23 1213 lnln. 2 222 33 x Idx xx xu ux xxuu uAB uuuu AB x xx xx xx IC xx ? 2 2 4 (1) (2) 1111 (1) (2)221 dx I xx xxxxx 2 111 , (2)21xxx 11 ln. 22 x IC xx 2 4 2222 42222 22 5 1 1 (1)(1) 1(1)(1)2(1)(1) 111 , 2 11 111 lnarctan. 412 x Idx x xxxx xxxxx xx x IxC x ? 3 322 2 2 2 322 2 6 1 11 , 1(1)(1)11 11 , 11 13 1111 1(1)()()(), 3333 1211 1,0,. 3333 11212 13(1)3(1)3(1)3(1) 124 3(1)6( dx I x ABxC xxxxxxx A xx xBxCBxBCxC CCBB xx xxxxxxx x xxx 2 22 2 2 11 (21)3. 1)3(1)6 (1) 112111 , 3(1)6 (1)2 13 22 11121 ln |1|ln(1)arctan. 3633 x xxx x xxx x x IxxxC ? ? 44242222 2222 22 32 111 7 11(12)2(1)2 1 , (21)(21)2121 1()(21)()(21), 1()(22 )(22). 0 220, 220, 1 dx I xxxxxxx AxBCxD xxxxxxxx AxB xxCxD xx AC xBADC xABCD xBD AC BADC ABCD BD 4 22 22 22 22 2 . 1111 ,. 222 22 2 1111 1 222 22 2 12121 122 2 22121 122 222 2 4 22121 1(22)2(22)2 4 22121 1(22)( 4 221 ABCD xx xxxxx xx xxxx xx xxxx xx xxxx x xx 2 2 2 2 2 2 2 22)11 421 11 () 22 11 . 4 11 () 22 1212 lnarctan( 21)arctan( 21). 44 221 x xx x x xx IxxC xx ? ? 32 22 3222 222222 2222 2 2 2 8 (2) 2(2)22 (2)(2)(2) 12 . (2)(2)(2) 111 ln(2)arctan. 2222 xx Idx x xxx xxx xxx xx xxx x IxC x 222 9. 323232 1111 lnln. (1)(2)1222 xx xxxx x x e dxdedu eeeeuu duue duCC uuuuue 222 cossin 10.(sin ) sinsin6sinsin66 1112sin2 lnln. (3)(2)5233sin3 xdxdxdu ux xxxxuu duux duCC uuuuux 322 42422 22 2 22 2 2 42 11 11. 22222 121(21) 1 4242 1(2)11 424 17 24 1121 ln(2)arctan 42 77 1121 ln(2)arctan. 42 77 x dxx dxudu xxxxuu uduu du uuuu d uu dudu uu u u uuC x xxC 2 22 2 22 2 22 2 22 12 (2)(22) 1 (2)(22)222 11 . ( 2)2( 2)210 11 (2)(22)10(2)22 10(22) 10(2)(22)22 (28) 10(2)(22)22 (2)(4 dx I xxx ABxC xxxxxx A BxC xxxxxx xxBxC xxxxx xxBxC xxxxx xx 22 22 2 ) 10(2)(22)22 (4)12 ,. 10(22)22105 114 ln |2| 101022 BxC xxxxx xBxC BC xxxx x Ixdx xx 2 2 2 2 2 1128 ln |2| 101022 11(22)6 ln |2| 102022 113 ln |2|ln(22) 102010(1)1 113 ln |2|ln(22)arctan(1) 102010 x xdx xx x xdx xx dx xxx x xxxxC 22 2 2 22 2 2 2tan 22 2 13tan,2arctan ,sin. 2sin211 1tan 2 2 11 1 2 1 13 2 1 22 2tan1 2212 2 arctanarctan. 3333 x dxxduu Iu xu dxx x xuu du u Idudu u uu u u x u CC 2 2 22 2 222 22 2 14tan,2arctan , 1 sincos21 21 sin,cos. 11 2 11 1 2 211211 1 11 ln |1|ln | tan1|. 2 dxxdu Iu xu dx xxu uu xx uu du u Idudu uuuuuu uu x uCC 4 22 222 22 3 15. cot cot(csc1) cotcsccot cotcot(csc1) 1 cotcot. 3 xdx xxdx xxdxxdx xdxxdx xxxC 423 1 16. sec(1tan) tantantan. 3 xdxx dxxxC 2 22 2 222 2 22 cos13cos1( 3cos5)5 17. 53cos353cos353cos 5 . 3353cos 21 tan,cos, 211 2 552 1 3(1)33335(1)3(1) 5 1 525 33 8)2334 xdxxdxxdx I xxx xdx x xduu u dxx uu du xxdu u I uuu u xduxdu uu 2 5 12 133 241 55 arctan2arctan 2tan. 36362 xd u u xxx uCC ? 32 2 2 2 222 2222 222 coscos 18 sincos1tan(1tan )(1tan) tan,arctan , 1 1 , (1)(1)(1)(1) 1111 (1)(1)2(1) 11 1111 , 4 112(1) 1 xdxxdxdx I xxxxx du xu xu dx u du du u I uuuu u uuuuu uu uuu I 2 22 22 1111 1 ln |1tan|arctanln(1)arctan 4484(1)2 22(1) 1111 ln|1tan|ln |cos|costan cos. 42444 u xuuuC uu x xuxxxC 5242222 246357 357 19. sincossincoscos(1) 121 (2) 357 121 (cos )(cos )(cos ). 357 xxdxxxdxuu du uuu dxuuuC xxxC 3 6 23 1 cos2 20. sin 2 1 (1 3cos23cos 2cos 2 ) 8 x xdxdx xxx dx 2 3 331 sin2(1 cos4 )(1 sin 2 ) sin2 8161616 33111 sin2sin4sin2sin 2 816164163 . x xx dxx dx x xxxxxC C 2 2422 22 11sin3sin 21. sincossin 2 cos 442 1 sin 3sin2sin3 sin 16 11 cos61 cos2 cos2cos4 1622 1111 sin2sin4sin6. 164412 xx xxdxxxdxdx xxxx dx xx xx dx xxxxC 2 24 2 232 23 2 1 cos21 cos2 sincos 22 1 (1 cos 22cos2 )(1 cos2 ) 8 1 1 cos 22cos2cos2cos 22cos 2 8 1 1 cos2cos 2cos 2 8 1111 sin2(1 cos4 )(1 sin 2 ) sin2 821616 xx xxdxdx xxx dx xxxxx dx xxx dx xxx dxx dx ?另解： 3 3 111111 sin2sin4sin2sin 2 82164163 111 sin4sin 2. 166448 xxxxxxC xxxC 2 2 2222 2 22 2 22tan,2arctan ,. sin2cos21 2 2 1 22(1)2221 15 11 22 15 1251 22 lnln. 515251 22 dxxdu Iu xu dx xxu du dududu u I uuuuuu u uu u u CC u u 24 sincos 23. sincos xx dx xx 2222 2 2 22 2 2 2 2 2222 tan tan(tan ) tan(1tan) 1(1) 1 11 () 2(1) 12(1) 1 11221 arctan 2233 13 22 12tan1 arctan. 33 1sin1 :( 2sin(1 sin)2(1) xu dxdu ux xxuu dudv vu uuvv dvv C v x C dxdw Iw xxww ? 另解 2 2 2 2 sin) 11212sin1 arctanarctan. 2333 13 () 22 x dwwx CC w 23 4 1 24.(1cot) cotcotcot. sin3 dx x dxxxC x 2 2 11 25.arcsin1. 1 1 xx dxdxxxC x x 656 3 3558 6432 222 754322 11 261,1,6, 11 (1)1 666 (1) 111 111111 6ln(1)arctan. 754322 x Idxxu xudxu du x u u duuuu Iduuuuuudx uuu uuuuuuuuC 2 2 222 11 11 27. 111111 221111 1ln(1). 2222 xx xx dxdx xxxxxx xx dxxx xxxC 3 3 24 3 2 3 32 3 3332 11 28, 111 (1) (1) (1) 1 126 1(1),1, 11(1) dxdxxx Iuu xxx xx x x uu du xxuxdx uuu 2 3 2 3 3 2 3 3 6 3131(1) 6. 2(2)221 1 1 1 u du uxu IduCC uux u u u 222 2 22 2 22 12121 1 29. 22 333 1(3)1 22 3 111 22 11 3ln3. 22 xdxxdxxdx xxxxxx d xxdx xx x xxxxxC 1/3 1/22322 1/3 1/2 2322 64242 108642 119753 30(1),(1) ,3(1) (2 ), (1) (1) (1) ( ) 66 (331)(21) 6 (5101051) 15105 62. 11973 x Idxxu xudxuu du x uuu du Iuuuuudu u uuuuudu uuuuuuC 434 34 235522 333 2 33 23344 3 31,4. 1 4() 44 111 4444 4ln(1)ln(1). 13333 xdx Ixu xudxu du x uu duuuuu Idxdu uuu u uduuuCxxC u 2 2222 2 22 22 23(21)211 32.()2 1 22 11 22 1 22ln. 2 xx dxdxd xxdx xxxxxxxx xxdx x xxxxxC 22 2 222 21168 33. 8 445445 184201(445)5 882 445445445 xx dxdx xxxx xdxxdx dxdx xxxxxx 2 2 2 2 22 22 15 445 44 5/4 15 445 44 1 1 2 151 445ln5/4 442 15 445ln 21445. 44 dx xx xx dx xx x xxxxxC xxxxxC 222 22 34.522(1) (1) 522ln( 52). 2 xx dxxdx x xxxxC 习题习题 3.4 1 22 1 2 3 13 23 31 1 ln2ln2ln2ln2ln2 00000 : 11 1 54, 13,11.54,(5), 4254 1 (5) 11111 4 (5)5. 28836 ln21 2.(1 ln 22 xxxxx xdx Ixuxuxudxudu x u Iuduu dxuu u xe dxxdexee dxe ? 求下列各定积分 1/2 2222 00 /2 22 24 0 00 000 4 4 222 0 0 2 2). 3.1sincos(sin ) 131 sin(1 sin ). 24 2216 4.sincoscoscossin. 99 5.99ln(9)10ln3. 222 6. xx dxttdt xt tt dtII xxdxxdxxxxdxx x xdxxxx x ? ? 1 2 266 6 0 2000 1 1 22 0 0 9 4 339 332223 3 000 0 3 2 2 11113 sin(1 cos2 )(sin2 ). 222264 1 3 7.442arcsin. 2223 11345 8.111(1). 2288 9.coscos2cos dxtdtt dttt x xx x dxx xx dxx dxuduu xxdx 3 22 00 3 2 22 0 0 /2 22 000/2 /2 /2 /2 0 cos2cossin 44 2coscoscos. 33 111 10.cos 2cos 22coscos () 2222 0,21; ( 1) sin ( ) (1)! 2sin ( ). !2 nnnn n n n xxdxxxdx xdxx xdxxd xudutdt nk t dt n t dt n ? 221 22 00 ! (1)! 11.()(sin )cos ! (1)! 2 n a n n n n axdx xattdt n n n 是偶数; 是奇数. /2 11 0 /2 66 00 2232 000 0 3 2 0 0 33 0 10!156 12.sin. 11!693 5 35 13.sin2sin2. 26 4 2 216 11 11 14.( sin )(1 cos2 )sin2 22 34 11 sin2sin2 642 11 cos2cos2 6464 xdx xdx udu xx dxxx dxxx dx xxxxdx xdxxx ? ? ? ? ? 0 0 33 0 /4/4 422 00 /4/4 222 00 /4/4 22 00 /4 3/4 0 0 1 0 1 cos2 4 1 sin2. 64864 15.tantan(sec1) tansectan tantan(sec1) 112 tantan|1. 343434 16.arcsina xdx x xdxxxdx xxdxxdx xdxxdx xx xdxx 1 1 0 0 1 1 2 20 0 222222 00 0 222222 220 0 2222 rcsin|arcsin 11. 222 1 17.ln()ln()ln() ln()ln() ln()|. 18.( ) , .( ) b a xxdx x dxx x xxadxxxxaxdxxa x adxaxa xa aaa f xa bf x d 设在连续证明 2 1 0 11 00 32 00 22 32222 00 ()() ). () ,0,1,(), ( )()() )()() ). 1 19.()( ). 2 ,0,0, 1 ()() 2 b a aa aa xbaf aba x dx xaba tab dxba dt f x dxbaf aba t d