矩阵理论课后习题答案习题三.pdf

习题三 1证明下列问题： （1）若矩阵序列 m A收敛于A，则 T m A收敛于 T A， m A收敛于A； （2）若方阵级数 =0m m mA c收敛，则 = = = 00 )( m mT m T m m m AcAc. 证明： （1）设矩阵 , 2, 1,)( )( = maA nn m ijm 则 ,)( )( nn m ji T m aA =,)( )( nn m ijm aA =,2,1=m 设 ,)( nnij aA = 则 nnji T aA =)(，,)( nnij aA = 若矩阵序列 m A收敛于A，即对任意的nji, 2 , 1,=，有 ij m ij m aa= )( lim， 则 ji m ji m aa= )( lim， ij m ij m aa= )( lim，nji, 2 , 1,=， 故 T m A收敛于 T A， m A收敛于A. (2)设方阵级数 =0m m mA c的部分和序列为 , 21m SSS， 其中 m mm AcAccS+= 10 . 若 =0m m mA c收敛，设其和为S，即 SAc m m m = =0 ，或SSm m = lim， 则 TT m m SS= lim. 而级数 =0 )( m mT m Ac的部分和即为 T m S，故级数 =0 )( m mT m Ac收敛，且其和为 T S， 即 = = = 00 )( m mT m T m m m AcAc. 2.已知方阵序列 m A收敛于A，且 1 m A， 1 A都存在，证明： （1）AAm m = lim； （2） 11 lim =AAm m . 证明：设矩阵 , 2, 1,)( )( = maA nn m ijm ,)( nnij aA = 若矩阵序列 m A收敛于A，即对任意的nji, 2 , 1,=，有 ij m ij m aa= )( lim. (1) 由于对任意的 n jjj, 21 ，有 ,lim )( kk kj m kj m aa= nk, 2 , 1=， 故 n n n jjj m nj m j m j jjj m aaa 21 21 )()( 2 )( 1 )( )1(lim n n n jjj njjj jjj aaa 21 21 21 21 )( )1( ， 而 = n n n jjj m nj m j m j jjj m aaaA 21 21 )()( 2 )( 1 )( )1( ， = n n n jjj njjj jjj aaaA 21 21 21 21 )( )1( , 故 AAm m = lim. (2) 因为 nn m ij m m A A A =)( 1 )(1 ， nnij A A A =)( 1 1 . 其中 )(m ij A， ij A分别为矩阵 m A与A的代数余子式. 与（1）类似可证明对任意的nji,2,1,=，有 ij m ij m AA= )( lim， 结合 AAm m = lim， 有 nn m ij m m A A )( 1 lim )( nnij A A )( 1 ， 即 11 lim =AAm m . 3.设函数矩阵 = 3 2 01 sin cossin )( t te t t ttt tA t ， 其中0t，计算),(),(lim 0 tA dt d tA t ),( 2 2 tA dt d ,)(tA dt d )(tA dt d . 解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有 （1） = = 001 011 010 lim0lim1lim limlim sin lim limcoslimsinlim )(lim 3 000 2 000 000 0 t te t t ttt tA ttt t t tt ttt t ； （2） = = 2 2 3 2 300 2 sincos 1sincos )(01 )()() sin ( )(cos)(sin )( t te t ttt tt t te t t ttt tA dt d tt ； （3） = t etttt tt tA dt d dt d tA dt d t 600 2cos2sin)2( 0cossin )()( 2 2 2 ； （4）=)(tA dt d 3 2 01 sin cossin t te t t ttt t )2cos2(sin)sincos2(1)cos(sinsin3 32 tttttttttttttet+= （5）)(tA dt d 2 2 300 2 sincos 1sincos t te t ttt tt t )sincos(sin3cos3 2 tttttet t +=. 4设函数矩阵 = 003 02)( 2 22 x ee xxee xA xx xx ， 计算 1 0 )(dxxA和 2 0 )( x dttA dx d . 解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有 （1） 1 0 )(dxxA 003 02 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 xdx dxedxe dxxdxxedxe xx xx = 00 2 3 011 3 1 1)1( 2 1 21 2 ee e ； （2） 2 0 )( x dttA dx d )(2 2 xxA 003 02 2 2 422 22 22 x ee xexe xx xx . 5.设,)(,),(),( 21 T n tytytyy=A为n阶常数对称矩阵，Ayyyf T =)(， 证明： （1） dt dy Ay dt df T 2=； （2） dt dy yy dt d T 2 2 2 =. 证明： （1）yAyAyyAyy dt df TTT +=)()(yAyAyy TTT +=)( yAyT= 2 dt dy AyT2=， （2） dt dy yyy dt d y dt d TT 2)( 2 2 =. 6.证明关于迹的下列公式： （1）XXXtr dX d XXtr dX d TT 2)()(=； （2） TTT BBXtr dX d BXtr dX d =)()(； （3）XAAAXXtr dX d TT )()(+=. 其中 mmijmnijnmij aAbBxX =)(,)()(. 证明： （1）因为 = = m i n j ij TT xXXtrXXtr 11 2 )()(， 而 ij m i n j ij ij xx x 2)( 11 2 = = ， 故 XXXtr dX d XXtr dX d TT 2)()(= （2）因为 nn m k kjikx bBX = =)( 1 ， 则 = = n j m k kjjk TT xbBXtrBXtr 11 )()(， 而 ji n j m k kjjk ij bxb x = = )( 11 ， 故 TTT BBXtr dX d BXtr dX d =)()(. (3) 因为 , 21 22212 12111 = mnnn m m T xxx xxx xxx X = = = = m k knmk m k kmk m k kmk m k knk m k kk m k kk m k knk m k kk m k kk xaxaxa xaxaxa xaxaxa AX 11 2 1 1 1 2 1 22 1 12 1 1 1 21 1 11 故 )()()()( 11 ln 1111 11 = += m l m k knlk m l m k kjlklj m l m k klkl T xaxxaxxaxAXXtr 则 )()( 11 = = m l m k kjlklj ij T ij xax x AXXtr x )( 111 = + = m k kjlk ij lj m k kjlk ij lj m l xa x xxa x x = += m l ljli m k kjik xaxa 11 故 XAAXAAXAXXtr dX d TTT )()(+=+=. 7证明： T T T TT T dX db a dX da bba dX d +=)(， 其中)(),(XbXa为向量函数. 证明： 设 T m T m XbXbXbXbXaXaXaXa)(,),(),()(,)(,),(),()( 2121 =， 则 = = m i ii T XbXaXbXa 1 )()()()(， 故它是X的数量函数，设 )()()(XbXaXf T =， 有 ),()()( 21n T T x f x f x f XbXa dX d = + + = = m i n i ii n i m i i ii i x Xb XaXb x Xa x Xb XaXb x Xa 11 11 )( )()( )( , )( )()( )( = = m i i n i m i i i m i i i Xb x Xa Xb x Xa Xb x Xa 11 2 1 1 )( )( ,)( )( ,)( )( ( ) )( )(, )( )(, )( )( 11 2 1 1 = + m i n i i m i i i m i i i x Xb Xa x Xb Xa x Xb Xa T T T T dX db a dX da b+=. 8.在 2 R中将向量 T xx),( 21 表示成平面直角坐标系 21,x x中的点 T xx),( 21 ，分 别画出下列不等式决定的向量 T xxx),( 21 =全体所对应的几何图形： (1), 1 1 x(2)，1 2 x(3)1 x. 解：根据 , 1 21 1 +=xxx, 1 2 2 2 1 2 +=xxx1,max 21 = xxx， 作图如下： 9.证明对任何 n Cyx,，总有 )( 2 1 2 2 2 2 yxyxxyyx TT +=+. 证明：因为 yyxyyxxxyxyxyx TTTTT +=+=+)()( 2 2 yyxyyxxxyxyxyx TTTTT +=)()( 2 2 故 xyyxyxyx TT +=+)( 2 1 2 2 2 2 10.证明：对任意的 n Cx，有 12 xxx . 证明：设 T n xxxx),( 21 =，则 n n n xxxx xxxx xxxx += += = 21 1 22 2 2 1 2 21 , ,max 由于 2 21 22 2 2 1 2 21 )(),(max nnn xxxxxxxxx+， 故 2 1 2 2 2 xxx ， 即 12 xxx . 11.设 n aaa，, 21 是正实数，证明：对任意 nT n CxxxX=),( 21 ， 2 1 1 2 = = n i ii xaX 是 n C中的向量范数. 证明：因为 （1）, 0 2 1 1 2 = = n i ii xaX且00=XX； （2）XkxakxakkxakX n i ii n i ii n i ii = = = = = 2 1 1 2 2 1 1 22 2 1 1 2 ； （3）对于 nT n CyyyY=),( 21 ， T nn yxyxyxYX),( 2211 +=+， 则 2 1 2 1 2 1 22 )(2YXYXyaxayxaYX n i ii n i ii n i iii +=+=+ = 故 YXYX+. 因此 2 1 1 2 = = n i ii xaX是 n C中的向量范数. 12.证明： ij nji anA = ,1 max 是矩阵 nnij aA =)(的范数，并且与向量的 1范数是相容的. 证明:因为 (1)0max ,1 = ij nji anA,且OA=0=A; (2)AkankkankA ij nji ij nji = ,1,1 maxmax; (3)BAbnanbanBA ij nji ij nji ijij nji +=+=+ ,1,1,1 maxmaxmax (4)设 T n xxxX),( 21 =,则 T n j jnj n j jj n j jj xaxaxaAX),( 11 2 1 1 = =， 故 = += n j jnj n j jj n j jj xaxaxaAX 11 1 1 1 = = = + n j jnj nj n j jj nj n j jj nj xaxaxa 1 1 1 2 1 1 1 1 maxmaxmax 1 1 ,1 maxXAxan n j jij nji = = 因此 ij nji anA = ,1 max是与向量的 1范数相容的矩阵范数. 13.设 nn CA ，且A可逆，证明： 1 1 AA. 证明:由于 IAA= 1 ,1=I, 则 11 1 =AAAAI, 故 1 1 AA. 14.设 nn CA ，且, 1A证明：AI可逆，而且有 （1） A AI 1 1 )( 1 ； （2） A A IAI 1 )( 1 . 证明:(1)由于 AAIIAI 11 )()( +=, 故 AAIIAAIIAI 111 )()()( +, 即 A AI 1 1 )( 1 . (2)因为 AIAI=+)(, 两边右乘 1 )( +AI,可得 11 )()( +=+AIAAII, 左乘A,整理得 11 )()( +=+AIAAAAIA, 则 111 )()()( +=+AIAAAAIAAAAIA， 即 A A IAI 1 )( 1 . 15.设ClkCBA nn ,证明： （1） AlkklkA eee )( + =，特别地 AA ee = 1 )(; （2）当BAAB=时， BAABBA eeeee + =； （3）AeAee dt d AtAtAt =； （4）当BAAB=时，BABABAsincoscossin)sin(=. 证明:(1) = = + = + = 000 )( )()( ! 1 ! )( n n m mnmm n n nn Alk lAkAC nn Alk e = = = = + + + = + = 0000 )()( ! )!( )!( 1 )()( )!( 1 ml lm ml lmm ml lAkA ml ml ml lAkAC ml lmn lAkA l l m m ml lm eekA l kA m lAkA ml = = = = = =0000 )( ! 1 )( ! 1 )()( ! 1 . 又因为 AAAAO eeeeI + = )( , 故 AA ee = 1 )(. (2)当BAAB=时,二项式公式 = = =+ n m mmnm n n BACBA 0 )( 成立，故 = = + =+= 000 ! 1 )( ! 1 n n m mmnm n n nBA BAC n BA n e = = = = + = + = 0000 ! 1 )!( 1 ml ml ml mlm ml BA ml BAC ml lmn BA m m l l eeB m A l = = = =00 ! 1 ! 1 同理，有 AB l l m mBA eeA l B m e= = = = + 00 ! 1 ! 1 , 故 BAABBA eeeee + =. (3)由于幂级数 =0 ! 1 n nnt A n 对给定的矩阵A,以及任意的t都是绝对收敛的,且 对任意的t都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则 A l ll n nn n nnAt Ae l tA A n tA tA ndt d e dt d = = = = = =01 1 0 !)!1(! 1 , 同理，有 AeA l tA e dt d A l ll At = = =0 ! 故 AeAee dt d AtAtAt =. (4) 因为 += 432 !4 1 !3 1 !2 1 AiAAiAIeiA ) !5 1 !3 1 () !4 1 !2 1 ( 5342 +=AAAiAAI AiAsincos+= 故 )( 2 1 sin iAiA ee i A =. 又当BAAB=时， BAABBA eeeee + =, 则 ()() iBiAiBiABAiBAi eeee i ee i BA + =+ 2 1 2 1 )sin( )()( )sin)(cossin(cos)sin)(cossin(cos 2 1 BiBAiABiBAiA i += BABAsincoscossin+= 同理，可得 BABABAsincoscossin)sin(= 16.求下列三类矩阵的矩阵函数 2 ,sin,cos A eAA （1）当A为幂等矩阵(AA= 2 )时； （2）当A为对合矩阵(IA= 2 )时； （3）当A为幂零矩阵(OA= 2 )时. 解:(1)AA= 2 ,设矩阵A的秩为r,则A的特征值为 1 或 0,A可对角化为 J OO OI APP r = = 1 , 则 11 0 0 1sin 1sin sinsin =PPJPPA APJP)1(sin)1(sin 1 = ， 11 1 1 1cos 1cos coscos =PPJPPA 11 0 0 11cos 11cos 1 1 1 1 + =PPPP AIPJPI)11(cos)11(cos 1 +=+= 11 1 1 22 =P e e PPPee JA 11 0 0 1 1 1 1 1 1 + =P e e PPP AeIPJPeI)1()1( 1 +=+= (2) 当IA= 2 时，矩阵A也可对角化,A的特征值为 1 或1,A可对角化为 JAPP= = 1 1 1 1 1 , 其中 1 有m个. 则 11 1sin 1sin 1sin 1sin sinsin =PPJPPA APJP)1(sin)1(sin 1 = 11 1cos 1cos 1cos 1cos coscos =PPJPPA I)1(cos= eIP e e e e PPPee JA = = 11 22 (3)当OA= 2 时,A的特征值均为 0,则存在可逆矩阵P,使得 11 , =PJPAJAPP, 其中 = m J J J 1 , 又OA= 2 ,则 OPPJA= 122 , 于是 O J J J m = = 2 2 1 2 故 Jordan 块 k J的阶数最多为 2,不妨设 0= k J), 1(rk=,BJk= = 00 10 ), 1(mrk+=, 即 = B B J 0 0 则 1= k iJ e,1= k iJ e),1(rk=; = 10 1i e k iJ , = 10 1i e k iJ ),1(mrk+=. 故 = kk iJiJ ee0),1(rk=, B i i ee kk iJiJ 2 1 00 20 = = ), 1(mrk+=, 则 2=+ kk iJiJ ee), 1(rk=, Iee kk iJiJ 2 20 02 = =+ ), 1(mrk+=, 因此 J i B Bi ee iJiJ 2 10 0 2 1 = = , Iee iJiJ 2 2 2 2 2 = =+ , 所以 APJPi i PeeP i ee i A iJiJiAiA = 11 )2( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 sin, IPIPPeePeeA iJiJiAiA =+=+= 11 2 2 1 )( 2 1 )( 2 1 cos, IIee OA = 2 . 17.若矩阵A的特征值的实部全为负，则 Oe At t = + lim. 证明:设A的特征值为0 , 1 ,=+= iiii ajjba,则存在可逆矩阵P,使 得 11 , =PJPAJAPP, 其中 = m J J J 1 , i n i i i J = 1 1 则 11 2 1 =P e e e PPPee tJ tJ tJ JtAt m , 其中 = t t tt t i n tt tJ e te tee e n t tee e i i 1 1 11 1 1 11 )!1( 又 )sin(coslimlimlimtbjtbeee ii ta t tjbta t t t iiii += + , 且0 i a,故0lim= t t i e ，因此Oe tJ t i = lim,则Oe At t = + lim. 18计算 At e和Atsin，其中： （1） = 110 010 002 A； （2） = 010 101 010 A； （3） = 6116 100 010 A. 解:(1)设 , 2 1= J = 11 01 2 J,则 = 2 1 J J A. 由于 = tJ t At e e e 2 2 , = tJ t At 2 sin 2sin sin, 且 = tt t tJ ete e e 0 2 , = ttt t tJ sincos 0sin sin 2 , 则 = tt t t At ete e e e 0 00 00 2 , = ttt t t At sincos0 0sin0 002sin sin. (2)该矩阵的特征多项式为 , 10 11 01 )( 3 = = 最小多项式为 3 )(=m. 19.计算下列矩阵函数： （1） = 221 131 122 A，求 100 A； （2） = 735 946 524 A，求 A e； （3） = 44 10 A，求 4 arcsin A ； （4） = 48 816 A，求 1 )( +AI及 2 1 A 20证明: IAA=+ 22 cossin， AiIA ee= +2 ， 其中A为任意方阵. 证明:(1) 因为 )( 2 1 sin iAiA ee i A =,)( 2 1 cos iAiA eeA +=, 故 )2( 4 1 )( 4 1 sin 2222 IeeeeA iAiAiAiA += , )2( 4 1 )( 4 1 cos 2222 IeeeeA iAiAiAiA +=+= , 则 IAA=+ 22 cossin. (2)因为矩阵iI2的特征值均为i2,故存在可逆矩阵P,使得 IPPP e e Pe i i iI = = = 11 2 2 2 1 1 则 AAiIAiIA eIeeee= +22 21.若A为反实对称（反 Hermite）矩阵，则 A e为实正交（酉）矩阵. 证明:因为 = = 0 ! k k A k A e,又 = = n k k n k k k A k A 0 * * 0 ! )( !