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工程力学习题解答 清 清清华华华大大大学学学 范 范范钦钦钦珊珊珊 2 2 200 00 0 03 3 3， ， ，5 5 5 范钦珊教育教学工作室 F FA AN N Q Qi in n- - S Sh ha an n s s E Ed du uc ca at ti io on n x=l,w1= w2; ?1=?2; x=2l,w2= w3; ?2=?3; x=3l,w3= w4; ?3=?4; x=4l,w4=0. 正确答案是 D 。 习题 81 图 习题 82 图 56 83 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并说明需要分几段建立微分方程，积分 常数有几个，确定积分常数的条件是什么？。 解： 1。分 3 段积分，共有 6 个积分常数 2。确定积分常数的条件是： x=0,w1=0; ?1=0 x=l,w1= w2; x=2l, w2=0;w2= w3; ?2=?3; x=4l,w4=0. 84 试用叠加法求下列各梁中截面 A 的侥度和截面 B 的转角。图中 q、l、a、EI 等为已知。 解： (a)题 习题 83 图 习题 84 图 2 2 1 ql A 2 )( B B A 2 )( 2 l 2 l B 2 l q 1 )( A w 8 2 ql 2 l 2 2 1 ql 2 ) A w A A 2 ql (a- 1) (a- 2) (a- 3) q A B lll ql ql l A B l BwA = 33 )()( 3 )( B 2 lw BA = 11 )()( 1 )( B 2 ) A w (b- 1) (b- 2) (b- 3) 57 1. EI ql EI l ql EI lq ABBBB 12 ) 2 () 2 1 ( 6 )( )()()()( 3 2 3 2121 = +=+=+=（逆） 2. EI ql EI l ql EI lql EI lql EI l q www AAA 384 7 2 ) 2 ( 2 1 3 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 8 8 ) 2 ( )()( 4 2232 2 4 21 =+ =+=（） (b)题 1. EI ql EI lql EI l ql BBB 1216 )2()( 3 )2( 2 )()( 32 31 = +=+=（顺） 2. EI ql l EI lql EI ql l EI l ql wwww AAAA 24 5 16 )2)( 83 )2( 2 )()()( 424 2 321 =+=+=（） 85 已知刚度为 EI 的简支梁的挠度方程为： ( )() 3230 2 24 xlxl EI xq xw+= 据此推知的弯矩图有四种答案，试分析哪一种是正确的： 86 试求图示梁的约束力，并画出剪力图和弯矩图。 正确答案是 a 。 习题 85 图 习题 86 图 58 习题 8- 6 图(a) A8 O M AR F B O M BR F (a- 2) Q F x l MO 8 9 (a- 3) O 16 7 M 8 O M 0 16 9 M M x (a- 4) A M A 1 )( A (a- 1) B 解： （a）题 变形协调方程 0)()( 21 =+= AAA 0 0 364 A MM ll EIEI += 0 8 A M M= 约束力 l M l M M FF BA 0 0 0 RR 8 9 8 = + = 剪力图、弯矩图如图 a- 3、a- 4 所示。 59 习题 8- 65 图(b) A C B x A M w AR F (b- 1) Q F ql 32 3 l 32 3 x ql 32 3 (b- 2) （b）题 0= B ：0) 2 ( ! 3! 2 1 32R =+ lq l F lM EI A A 2 R 2448qllFM AA =+ （1） wB = 0：0) 2 ( ! 4! 3! 2 1 43R2 =+ lq l F l M EI AA 2 R 64192qllFM AA =+ （2） 联立（1） 、 （2）解得 = = qlF qlM A A 32 3 192 5 R 2 其剪力图、弯矩图如图 b- 2、b- 3 所示。 192 5 2 ql M 2 192 11 ql 48 2 ql 2 252.0ql (b- 3) 48 2 ql 60 习题 87 图 Q F (kN) x 3.5625m 8.75 48.75 0.4375m 71.25 (b) A B AR F q A M m4 1 )( B w p F C M 2 )( B w CR F C B X F X F (a) A BC x 115 17.5 - 125 1.914 m)(kNM (c) ? *87 梁 AB 和 BC 在 B 处用较链连接，A、C 两端固定，两梁的弯曲刚度均为 EI，受力及各部分尺寸均示 于图中。FP40 kN，q20 kN/m。试画出梁的剪力图与弯矩图。 解： 变形协调 21 )()( BB ww= EI F EI q w X B 3 4 8 4 )( 34 1 = EI F EI F w X B 3 4 )243( 6 )2( )( 32 P 2 += 代入 8 4 10 6 4 4 3 2 4 P 3 = qF FX 75. 8) 48 420 46 1040 ( 2 3 3 4 2 = = X FkN 25.7175. 8420 R = A FkN（） 1254 2 1 20475. 8 2 = A MkNm（逆） 75.4875. 840 R =+= C FkN（） 115475. 8240= C MkNm（顺） 剪力图和弯矩图分别如图 b 和 c 所示。 *88 图示梁 AB 和 CD 横截面尺寸相同，梁在加载之前，B 与 C 之间存在间隙0=1.2 mm。若两梁的材料 相同，弹性模量 E=105 GPa，q30 kN/m，试求 A、D 端的约束力。 解：变形内调方程2 . 1 0 = BC ww （1） F F wC0952. 0 12 5050 101053 10)250( 3 3 33 = = （2） F F wB39. 0755. 1 12 5050 101053 10)400( 12 5050 101058 40030 3 3 33 3 3 4 += + = （3） （2） 、 （3）代入（1） 0.4853F = 0.555 F = 1.144 kN CD 梁 144. 1 R = FF D kN（） 286250144. 1= D MNm（顺） AB 梁 856.10144. 11040030 3 R = A FkN（） 19421040030 2 1 400144. 1 32 = A MNm FX 61 习题 88 图 A M A AR F 30kN/m=q B F F DR F D C B w C w o 89 图示承受集中力的细长简支梁，在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔，若不考虑应力集中影响时， 关于小孔对梁强度和刚度的影响，有如下论述，试判断哪一种是正确的： (A) 大大降低梁的强度和刚度； (B) 对强度有较大影响，对刚度的影响很小可以忽略不计 ； (C) 对刚度有较大影响，对强度的形响很小可以忽略不计； (D) 对强度和刚度的影响都很小，都可以忽略不计。 810 轴受力如图所示，已知 FP=1.6 kN，d=32 mm，E200 GPa。若要求加力点的挠度不大于许用 挠度 w0.05 mm，试校核该轴是否满足刚度要求。 解：由挠度表查得 12493 62223 222P 10321020010)48246(6 6410)24648294(048. 0246. 0106 . 1 )( 6 + = =bal lEI baF wC mm0246. 0m1046. 2 5 w2max； （B） 1maxG2，则有 1max2max； （D） 若 G1G2，则有 1max时， max2max1 。 93 长度相等的直径为 d1的实心圆轴与内、外直径分别为d2、D2 (=d2/D2)的空心圆轴，二者横截面上的 最大剪应力相等。关于二者重量之比（W1W2）有如下结论，请判断哪一种是正确的。 （A）( )2 3 4 1 ； （B） () () 2 2 3 4 11 ； （C） ()() 24 11 ； （D） () () 2 3 2 4 11 解：由 max2max1 =得 )1 ( 16 16 43 2 3 1 = d M d M xx 即 3 1 4 2 1 )1 (= D d （1） )1 ( 22 2 2 1 2 1 2 1 = D d A A W W （2） （1）代入（2） ，得 正确答案是 A 。 正确答案是 C 。 正确答案是 D 。 64 2 3 2 4 2 1 1 )1 ( = W W 94 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为 G1和 G2，且 G12G2。圆轴尺寸如 图中所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的剪应力分布，有图中所示的四种结论， 请判断哪一种是正确的。 解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等 21 =，因 21 2GG =，由剪切胡克定律得 交界面上： 21 2 =。 95 变截面轴受力如图所示，图中尺寸单位为 mm。若已知 Me11765 Nm，Me21171 Nm， 材料的切变模量 G80.4 GPa，求： 1轴内最大剪应力，并指出其作用位置； 2轴内最大相对扭转角 max 。 解：1。确定最大剪应力 AB 段： () () e1e2 max 33 - 3 1P 1765 11712936 N m 2936 43 6 MPa p p70 10 16 16 . xAB xABxAB AB MMM MM AB dW =+=+= = BC 段： 习题 94 图 正确答案是 C 。 习题 95 图 Me2 Me1 65 习题 96 图 习题 97 图 () () e1 max 33 3 2P2 1171N m 1171 47 7 MPa p p50 10 16 16 xBC xBCxBC MM MM BC dW = = 2。确定轴内最大相对扭转角 max ()() max 21 P1P2 33 44 9- 39- 3 222 2936 700 10321171 500 1032 80 4 10p70 1080 4 10p50 10 1 084 101 187 102 271 10 rad . ABBC xABxBC MlMl GIGI =+ =+ =+ =+= 96 图示实心圆轴承受外加扭转力偶，其力偶矩 Me=3 kNm。试求： 1轴横截面上的最大剪应力； 2轴横截面上半径 r15 mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3去掉 r=15 mm 以内部分，横截面上的最大剪应力增加的百分比。 解：17 .70 06. 0 16103 16 3 3 3 PP max1 = = d T W T W Mx MPa 2 4 2 d2d 4 pp 01 r I M I M AM xx r A r = %25. 6 16 1 ) 60 15 (16 16 32 4 2 4 2 4 4 4 4 4 p 4 = = d r d r I r M M x r 3 = 4 3 p max2 ) 2 1 (1 16 d T W Mx 4 4 2max1max 44 1max 1 ?12 6 67 115 1 1 2 .% = 97 同轴线的芯轴 AB 与轴套 CD，在 D 处二者元接触，而在 C 处 焊成一体。轴的 A端承受扭转力偶作用，如图所示。已知轴直径 d 66 mm，轴套外直径 D80 mm，厚度6 mm；材料的许用剪应力 60 MPa。求：结构所能承受的最大外力偶矩。 解： 6 3 1 1p max 1060 16 = d T W Mx 轴 338710 16 66 1060 9 3 6 1 = TNm 66 习题 98 图 6 4 3 2 2p max 1060 ) 80 68 (1 16 = d T W Mx 套 2883) 20 17 (110 16 80 1060 49 3 6 2 = TNm 2883 2max =TTNm 3 1088. 2=Nm * 98 开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D、壁厚均为，横截面上的扭矩均为 Mx。试： 1证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力 I 2 max p 2 D Mx 2证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力 D Mx p 3 2 max 3. 画出两种情形下，沿壁厚方向的剪应力分布。 (提示： 开口薄壁圆管可以看作是由狭长矩形截面板条卷曲 二成，因此可用狭长截面杆的扭转剪应力公式；闭口薄壁圆管 的壁厚很薄时，剪应力沿厚度方向可以认为是均匀分布) 解：1D D A D M A x 2 d 2 = 2 8 2 D Mx = 即： 2 max 2 D Mx = 2根据狭长矩形截面扭转的剪应力公式 D M D M hb M xxx 3 32 222 max = = 3闭口截面剪应力沿壁厚方向均匀分布(图 a); 开口截面剪应力沿壁厚方向线性分布(图 b)。 99 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为 R0，空心圆轴的内、 外半径分别为 R1和 R2，且 R1/R2 =n；二者所承受的外加扭转力偶矩分别为 Mes和 Meh。若二者横截面上的 最大剪应力相等，试证明： 2 2 eh es 1 1 n n M M + = 解：由已知长度和质量相等得面积相等： )( 2 1 2 2 2 0 RRR= （1） (a) (b) S T S T R2 h T 2 R 1 R h T 67 0 2 1 (a) 2 16 3 0 s 3 s max R T d T = （2） )1 ( 16 )2( 4 3 2 h max n R T = （3） 由（2） 、 （3）式 )1 ( 43 2 3 0 h s nR R T T = （4） 由（1） 2 1 2 2 2 0 RRR= 代入（4） 2 2 22 2 3 2 4 2 3 2 43 2 2 3 2 1 2 2 h s 1 1 )1)(1 ( )1 ( 1 )1 ( )1 ( )( n n nn n n n nR RR T T + = + = = = * 910 直径 d25 mm 的钢轴上焊有两圆盘凸台，凸台上套有外直径 D75 mm、壁厚125 mm 的薄 壁管，当杆承受外加扭转力偶矩 Me736 Nm 时，将薄壁管与凸台焊在 一起，然后再卸去外加扭转 力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量 G40 GPa。试： 1分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力。 解： 1设轴受 T = 73.6Nm 时，相对扭转角为 0 且 1p 0 d d GI T x = （1） T 撤消后，管受相对扭转角 2 ，则轴受相对扭转角 201 =，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统 平衡。 2为求剪应力必须首先求解超静定问题 021 =+ （2） 2p1p1p GI lM GI lM GI Tl xx += （3） xx MM= （4） T II I Mx p21p 2p + = （5） 2 p2p12p 2p p2p12p maxh D II T W T II T W Mx + = + = （6） 12124 4 1p 105 .3834910)25( 32 32 = d I 12124 4 4 4 p2 1039392210) 75 5 .72 (1 32 75 ) 2 (1 32 = = = D DD I m4 习题 910 图 68 将 Ip1、Ip2值代入（6）得 管：38. 6 10)3939225 .38349( 10 2 75 6 .73 12 3 maxh = + = MPa 轴：86.21 105 .38349)3939225 .38349( 10393922 2 25 6 .73 2 d )(2 d 12 3 2p1p1p 2p 1p maxs = + = + = III TI I Mx MPa 69 习题 102 图 o 15 a 4MP o 15- yx xx a 1.6MP x (a- 1) o 30 2MPa 0.5MPa o - 60 x x (a) yx x o 15- x x yx 1.25MPa o 15 (b- 1) “工程力学”第 10 章习题解答 101 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求： 1面内平行于木纹方向的剪应力； 2垂直于木纹方向的正应力。 解： （a）题 平行于木纹方向的切应力： 6 . 0)15(2cos(0)15(2sin( 2 )6 . 1(4 =+ = y x MPa 垂直于木纹方向的正应力： 84. 30)15(2cos( 2 )6 . 1(4 2 )6 . 1(4 =+ + + = x MPa （b）题 平行于木纹方向的切应力： 08. 1)15(2cos(25. 1= y x MPa 垂直于木纹方向的正应力： 625. 0)15(2sin()25. 1(= x MPa 102 层合板构件中微元受力如图所示，各层板之间用胶粘接，接缝方向如图中所示。若已知胶层剪应力 不得超过 1MPa。试分析是否满足这一要求。 习题 101 图 70 习题 103 图 习题 104 图 解：55. 1)60(2cos(5 . 0)60(2sin( 2 ) 1(2 =+ = y x MPa 1MPa55. 1|= y x MPa，不满足。 103 从构件中取出的微元受力如图所示，其中 AC 为自由表面（无外力作用） 。试求 x 和 xy 。 解：)602cos( 2 )100(0 2 100 100 + = xx 2575. 0= x 3 .33= x MPa 7 .57)602sin( 2 1003 .330 = = yx MPa 7 .57= yxxy Mpa 104 构件微元表面 AC 上作用有数值为 14MPa 的压应力，其余受力如图所示。试求 x 和 xy 。 解： 342. 0 1 7 . 01 7 . 0 2 1cos22cos 2 22 2 = + = = 94. 0 7 . 01 7 . 0 7 . 01 1 2 cossin22sin 2222 = + + = = 92)342. 0( 2 14)1492()14( 2 14)1492( = + + + xx 解得97.37= x MPa 25.7494. 0 2 )149297.37()14( = + = yx MPa 105 对于图示的应力状态，若要求其中的最大剪应力 max 160MPa，试求 xy 取何值。 71 习题 10- 5 图 x 20 x y y x (b) o 20 x x yx x x x (a) yx 解：1当应力圆半径 rOC (坐标原点到应力圆圆心的距离) 2 140240 4)140240( 2 1 22 + + xy 即 | xy 183.3MPa 时 （1） + + = 22 3 1 4)140240( 2 1 2 140240 xy 1604100 2 1 2 2231 max FPcr（c）FPcr（d） ； （C） FPcr（b）FPcr（c）FPcr（d）FPcr（a） ； （D） FPcr（b）FPcr（a）FPcr（c）FPcr（d） 。 解：图（b）上端有弹性支承，故其临界力比图(a)大；图(c)下端不如图(a)刚性好，故图(c)临界力比 图(a)小；图(d)下端弹簧不如图(c)下端刚性好，故图(d)临界力比图(c)小。 115 图示结构中，所有梁的材料、弯曲刚度、梁长等均完全相同；所有杆（AB）的长度、拉压刚度等 也完全相等。关于图示四种加载条件下 AB 杆的稳定工作安全因数之间的关系有如下结论，请判断哪一结 论是正确的。 （A） ( )( )( )( )dcba wwww nnnn=； （B） ( )( )( )( )dcba wwww nnnn； （C） ( )( )( )( )dcba wwww nnnn= =100 5 . 1 1501 属细长杆 2 2 crPcr E AF= 2645. 1 120105 . 0100 )( stw 52 2 1221 2 2 N Pcr w =FNb，所以，轮 C、轮 G 脱离接触面，所以受力为零。 0)(=F k M，0 22 RNbNa =aF h F h F H ba baP R 2EE EE a hF F H + =， ba baP RR 2EE EE a hF FF HD + = 132 玻璃纤维/环氧树脂单层复合材料由 2.5kg 纤维与 5kg 树脂组成。已知玻璃纤维的弹性模量 Ef = 85GPa，密度 f = 2500kg/m3，环氧树脂的弹性模量 Em = 5GPa，密度 m = 1200kg/m3。试求垂直于纤维方 向和平行于纤维方向的弹性模量 Ey和 Ex。 解：纤维和基体的总体积：00517. 0 1200 5 2500 5 . 2 =+=Vm3 习题 13- 1 图 G DR F D Na F Nb F C HR FH P F a K (a) 88 纤维体积与复合材料总体积之比：1934. 0 00517. 0 2500 5 . 2 f =V 11. 6 85)1934. 01 (51934. 0 855 )1 ( ffmf fm = + = + = EVEV EE EyGPa 47.20)1934. 01 (51934. 085)1 ( fmff =+=+=VEVEExGPa 133 已知组成单层复合材料的基体材料具有明显的屈服平台，屈服强度 ms = 20MPa，强度极限 mb = 50MPa，相应的极限应变为 ms = 14.5%， mb = 30%；纤维的强度极限 fb = 2000MPa，极限应变 fb = 15%。 现要求这种复合材料在平行于纤维方向加载时，能承受 1300MPa 的应力，试确定所需纤维的体积比。 解：%65.64 202000 201300 msfb mscb f = = = V 134 具有明显屈服平台的树脂，其屈服强度 ms = 35MPa，强度极限 mb = 65MPa，相应的极限应变为 ms = 15%， mb = 40%；玻璃纤维的强度极限 fb = 1860MPa，极限应变 fb = 15.5%。若以树脂为基体，以 纤维作为增强材料组成单层复合材料，试求产生增强效果所需的最小纤维体积比，并确定沿纤维方向加载 时复合材料横截面上所能承受的最大的名义应力。 解：%64. 1 351860 3565 msfb msmb fcr = = = V MPa93.64)0164. 01 (35%64. 11860 )1 ( fcrmsfcrfbcb =+= +=VV 135 对于麦克斯韦模型，保持初始应力为 0 时的应变不变，试证明经过时间 t 后其应力由下式给出： )exp()( 0 t t= 并说明其中的含义。 解：麦克斯韦模型的本构方程是 += tktd d1 d d t 式中 k 为弹簧刚度，为粘度，令0 d d = t t ，得方程 k t = d d 分离变量 t k d d = 积分得 t k eC = 由 t = 0 时 0 =，求得 0 =C 于是 t k e = 0 或 t e = 0 式中 k =是粘度与刚度之比。 136 承受轴向拉伸的橡皮带， 当横截面上应力 0 = 10MPa 时， 其纵向正应变为 0.5， 然后保持应变不变， 50 天后应力减小为 5MPa。试计算若保持同样应变，再经过 50 天后应力减少到什么数值。 89 解：此为应力松弛问题，可采用串联模型，根据麦克斯韦方程 0 d d1 d d =+= tkt t 利用上题结果，求得 tt eet =10)( 0 由题给条件，当 t = 50（天）时，应力由 10MPa 下降至 5MPa。 于是有 t ee =10105 50 ，由此可知 2ln 50 = 因而 50 2ln 50 21010)( tt et =（MPa） ，t 以天为单位 再令 t = 100（天） ，可求得 5 . 2210)100( 2 = （MPa） 再经过 50 天（一共经过 100 天） ，应力减小到 2.5MPa. 137 对于开尔文模型，若粘弹性材料的弹性模量为 E，则在保持应力不变的情形下，经过时间 t 后，其 应变值由下式给出： =)exp(1)( t k t 并说明其中的含义。 解：开尔文模型的本构方程是 t E t k d d d d +=+= 对 t 求导，并令0 d d = t 有 0 d d d d 2 2 =+ tt E 此乃二阶线性齐次常系数微分方程，其特证方程为 0 2 =+ Err 对应特征根为 0 1= r， E r= 2 于是通解为 t E eCCt += 21 )( 利用初始条件，当 t =