丁君版工程电磁场与电磁波答案第八章电磁波的辐射.pdf

第八章 电磁波的辐射 8.1主要内容与重点 本章主要内容：电流元(基本电振子)和磁流元(基本磁振子)的辐射，天线基本参数、对称阵 子天线以及天线阵。 本章重点：电流元和磁流元远区辐射场及其特点；天线基本参数的定义及计算；对称阵子 远区辐射场及期特点，方向图的画法，二元阵乃至多元均匀线阵远区辐射场的推导，方向 图的画法以及利用镜像法分析接地导电平面附近的单元天线或天线阵。 .主要公式（基本公式） .1 滞后位 在时变电磁场中，常采用两个辅助位函数：动态标量位和动态矢量位，它们统称 为滞后位。电场强度 A ? E 和、A的关系为 = + t A E (8.1) 或 t = A E (8.2) 磁场强度H ? 和A的关系为 ? AH ? = 1 (8.3) 当存在电荷源和电流源时，、A所满足的微分方程是 =+ =+ JAkA k 22 22 (8.4) 它们的解分别为 dVe r v v r tj = 4 1 (8.5) dVe r J v v r tj = 4 A (8.6) 式中，为场源的角频率，r为场点到源点的距离， 为电磁波的速度。 v 在求解辐射问题时，一般都是根据已知的或J ? ，由(8.4)，(8.5)求出和A，再由(8.2)或 (8.3) 求解辐射点磁场。 .电偶极子的辐射 （）偶极子天线的辐射场为 1 = += += 0 sin 1 4 cos 1 2 2 2 2 E rr jk k r eIl jE r jk r eIl jE jkr jkr r (8.6) = += 0 sin 1 4 HH r jk r Ile H r jkr (8.7) 当时，称为近区场，各场分量为 1kr jkrjkr e k r Idl jEe r Idl jH = sin 2 sin 2 对近区场，其场分量为 1= kr，为远区。在远区，感应场可 略去，而辐射场为 jkr e r lI jE = sin 2 0 2094 5 90sin120 103002 10 j ej = ? 20945 102 j ej = mAej E H j20946 10167 . 0 = 7 ()22094211 1005. 1mWaeaHEHES r tj r ? ? = () =HESav ? Re 2 1 211 10525 . 0 mWar ? = 2） W l IPrav44. 040 2 2 0 2 = 例 4 为了在垂直于赫兹偶极子轴线的方向上，距离偶极子处得到电场强度的有效 值大于 km100 mVm100，赫兹偶极子必须至少辐射多大的功率？ 解： sin 2 = jkr e k r Idl jE 当时，电场强度为最大，其值为 ? 90= Idlk r Idl E= 2 90? 所以 rEIdl2 = 代入，和mr 5 10=mVE 4 102 ，得到 45 102102 Idl 由辐射功率 2 3 = Idl P 有 2 45 102102 3 P 即 ( )WP22. 2 例 求波源频率，线长MHzf1=ml1=的导线段的辐射电阻： ）设导线是长直的： ）设导线弯成环形形状。 8 解： m f v 300 10 103 6 8 0 = = 而导线的线长为远远小于波长，故可视为偶极子天线。在长直导线的情况下作为电偶 极子；环形导线可视为磁偶极子。 m1 在电偶极子情况下，辐射电阻为 ( )= = 3 2 2 108 . 880 dl Rr 在环形导线情况下，按磁偶极子的辐射电阻公式 2 0 42 0 6 v S Rr = 其中smv 8 103= ? ， 6 102= 设圆环半径为 ，由a12=a，得 2 1 =a，则 4 1 2 = aS 故得 () ()() ( )= = 872 3 8 2 4 67 1044. 210 81 2 10346 102104 r R 由此可见，环形导线的辐射电阻远远小于长直导线的辐射电阻，也就是说环形导线天 线比长直导线天线的辐射能力弱的多。 例 设电偶极子长10 0 =l（ 0 为自由空间波长） ，求该天线的辐射电阻，如将该电偶 极子放入9= r 的电介质内，此时该天线的辐射电阻为多少？ 解： 2 3 2 = l Rr 在自由空间时， = = =9 . 7 10 1 120 3 2 3 2 2 2 0 0 l Rr 在电介质中， 00 3 11 = r 3 0 = r f c f v 9 10 3 3 10 0 0 = l = =7 .233 10 3 3 1 3 2 2 0 rr RR 例 如图所示，两个完全相同的电偶极子互相垂直地置于自由空间，两电偶极子上的电 流具有相同的振幅， 相位差为 3 （即 3 01 j eII =，） ， 如已知远区 0 02 j eII=x轴上点的 坡印廷矢量大小为 1 m 2 1 1mWmS av =， 求xy平面上点处的平均坡印廷矢量的大小。 2 m av S2 解：在点， 1 m 对电偶极子， ? 90=， = krj jkr j e r lI je r leI jE 30 3 0 1 2 sin 2 对电偶极子， ? 0=，0 2 = E，0 2 = H 所以在点 1 m 2 2 0 320320 11 1 22 1 222 1 Re 2 1 mWm r lI a e r lI e r lI aHESS r krjkrj ravav = = = + + ? ? ? 在点 2 m = krj e r lI jH 30 1 2 ? 45 10 ae r leI jE jkr j ? ? =sin 2 3 0 1 ae r lI jE jkr? ? = 2 sin 2 0 2 aee r lI jEEE jkr j ? ? =+=cossin 2 3 0 21 aej r lI j jkr? = 4 cos 4 sin 3 sin 4 sin 3 cos 2 0 aej r lI j jkr? = 2 3 2 1 2 2 2 0 ae r lI j krj ? = 3 4 0 2 2 2 2 1 0 2 02 2 5 . 0 2 1 2 1 22 1 2 2 22 1 2 1 Re 2 1 mWmS r lI r lI EHES avav = = = ? 例 半波天线上的电流振幅为A1，求离开天线处的最大电场强度。 km1 解： 半波天线的辐射电场强度为 sin cos 2 cos 60 = r eI jE jkr m 其方向性函数为 ( ) sin cos 2 cos =f 可见，在给定距离处，的方向上得到的电场强度最大。 ? 90= mV r I E m 3 max 1060 90sin 90cos 2 cos 1000 160 sin cos 2 cos 60 = = = ? ? 例已知自由空间中一半波阵子的远区最大辐射方向上处的电场强度振幅为km10 mV01. 0，辐射电磁波的工作频率为。）求该半波振子的单臂长度和辐射功 率；）写出该半波振子的远区辐射场量的瞬时表达式及平均功率密度矢量表达式。 MHz300 11 解：）因，故MHzf300=sradf 9 1089. 12=，mradck3 . 6=， mfc1=。因此，该半波阵子的单臂长mh25. 0=。 又因半波振子的远区辐射电场的复数表达式为 sin cos 2 cos 60 = jkrm e r I jE 而当时， ? 90= max EE=，即 A rE Im 3 5 60 101 . 0 60 42 max = = 所以半波振子的辐射功率为 WRIP rmr 53.1011 .73 3 5 2 1 2 1 2 2 = = 其中半波振子的辐射电阻=1 .73 r R。 2)半波振子的远区辐射电场的瞬时表达式为 ( ) = tjjkrmtj ee R I jeEtE sin cos 2 cos 60 ReRe ()mVrt r 3 . 61089. 1sin sin cos 2 cos 100 9 = 而磁场强度瞬时值为 ( ) ( ) ()krt r tE tH = sin sin cos 2 cos 100 00 ()mArt r 3 . 6sin sin cos 2 cos 27. 0 = 以及平均功率密度为 12 2 2 2 0 2 sin cos 2 cos 26.13 22 1 Re mWa r E aHES R Rav ? ? ? = = = 例 如图所示一半波天线，其上电流分布为 0 1 r 2 r 0 r 021 。 并且有 += = cos cos 02 01 zrr zrr 和 021 111 rrr 将以上关系代入(), 0 rAz的表达式可得 () += 2 0 0 2 21 0 21 coscos 4 , l l jkr m jkr m z dz r kzeI dz r kzeI rA ()() + = + 2 0 0 cos 0 cos 00 coscos 4 l zrjkzrjk m dz r ekz r ekzI () += 2 0 coscos 0 cos 4 0 l jkzjkzjkrm dzeekze r I ? ()()()() += 2 0 0 cossincoscoscossincoscoscos 4 0 l jkrm dzkzjkzkzjkzkze r I ()()()dzkzkze r I l jkrm += 2 0 0 cos1coscos1cos 4 0 () () () () + + + = cos1 cos1sin cos1 cos1sin 4 0 0 k kz k kz e r I jkrm ()() + + = 22 0 sin cos 2 coscos1 sin cos 2 coscos1 4 0 jkrm e r I 2 0 sin cos 2 cos 2 0 = jkrm e kr I 由此得证。 ）远区的磁场和电场为 () sin cos 2 cos 2 sin 1 0 0 0 0 = = r eI jAr rr H jkr m z 14 sin cos 2 cos 60 0 0 = r eI jHE jkr m ）由远区的电场 E，可知其方向性函数为 ( ) sin cos 2 cos =F 在极坐标中的图形如图所示。 ）坡印廷矢量的大小为 2 2 2 0 2 2 2 sin cos 2 cos 4 = r I HEHS m ）因为总的辐射功率P为 rm m A RId I AdSP 2 2 2 2 2 sin cos 2 cos 2 = = ? 所以辐射电阻为 r R dRr = 2 0 2 sin cos 2 cos 已知 609. 0 sin cos 2 cos 2 0 2 = d 所以 =73609. 0 r R ）方向性系数 15 0 P P D =（相等电场强度下） （） 或 0 2 2 E E D =（相等辐射功率下） （） 由（）式求 D 因 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 4 90sin 90cos 2 cos 4 mm I r r I P= = ? ? 而 d I P m = 2 0 2 2 sin 90cos 2 cos ? 则 64. 1 609. 0 1 sin 90cos 2 cos 1 2 0 2 0 = = d P P D ? 由（）式求 2 0 2 0 4 r P E = 2 0 2 22 2 4r I E m = 故 64. 1 sin cos 2 cos 1 sin cos 2 cos 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 = = = ddI I E E D m m 可见两种方法所求的结果是一致的。 ）半波天线的方向性函数为( ) sin cos 2 cos =F 因( )F的最大值为，则半功率点（场强为2）方向性函数为 16 ( )707. 0 sin cos 2 cos = = F 解得 ? 51 = 因此半功率点的夹角，即主瓣宽度为 () ? 78519022 5 . 0 = 例 两个互相平行的电偶极子，激励电流波长均为，振幅均为，且同相振动。两 电偶极子长度均为 ，偶极子间距 0 I h2=d，试求在远区的场强。 （已知偶极子在远区的场强为 1 sin 4 1 0 1 jkr e r hjkI H = 1 sin 4 1 0 1 jkr e r hzjkI E = 98 解：由题意，二互相平行的电偶极子如图所示，偶极子在远区（）产生的场强 1kr 1 r r 1 sin 4 1 1 jkr e r hjkI H = ? sinsin 2 1 +=+r d rr sinsin 2 2 =r d rr 偶极子在远区场产生的场强为 2 sin 4 2 0 2 jkr e r hjkI H = 则远区的合成场强为 ()( sinsin0 21 sin 4 + += rjkrjk ee r hjkI HHH ) 2 d 1 x y 2 r 17 18 ()()()() jkr ekjkkjk r hjkI += sinsinsincossinsinsincossin 4 0 () jkr ek hjkI = sincossin 2 0 同理远区的电场强度为 () jkr ek hjkI HEEE =+= sincossin 2 21 ? 例 求两个平行放置，间距为d的电流元天线系统的辐射场。 （假设，电 流元的长度为，如图所示）并讨论下面几种特殊情况下，该天线系统的方向性函数，再 绘出它们的方向图。 j eII = 12 l ） 2 1 =d，0=， 2 1 =； ） 2 1 =d，0=，0= ； ） 2 1 =d，=， 2 1 =； ） 2 1 =d，=，0=； ） 4 1 =d， 2 1 =， 2 1 =； ） 4 1 =d， 2 1 =，0=。 解：为了方便起见，把电流元1的位置放在原点，该系统的坐标关系如图所示。由于计算 的是远区场，故可近似的认为r与 r平行。这样处于原点的电流元的远区辐射场为 = = jkr jkr e r lI jE e r lI jH sin 2 sin 2 1 1 1 1 而处于B点的电流元的辐射场为 = = sin 2 sin 2 2 2 2 2 jkr jkr e r lI jE e r lI jH 它们在P点的辐射场，根据叠加原理，则有 21 HHH+= 21 EEE+= 为了求出具体的关系式，我们应当确定r天线的中心到P点的距离和 r天线 的中心到P点的距离。作，则 rOA () sinsin cossinsincossin d deeeedeeAB zyxyr = += y ? 故有 sinsin drABrr+=+= 于是可得合成的电磁场为 () () () () + = + = + = + sinsin 2 1 2 1 1 sinsin 2 1 2 1 1 sinsin 1 sinsin 2 1 cossin sinsin 2 1 cossin 1sin 2 drj drj rjdj ed r lI jE ed r lI j ee r lI jH 它们的方向性函数为 () += = = sinsin 2 1 2 1 cossin , 11 d r lI H r lI E F 代入相应的、d和值，即可求出这几种特殊情况下的方向性函数 ）当 2 1 =d，0=， 2 1 =时 19 = sin 2 1 cos, 2 1 F ）当 2 1 =d，0=，0=时 ()sin0 ,=F ） 2 1 =d，=， 2 1 =时 = sin 2 1 sin, 2 1 F ）当 2 1 =d，=，0=时 ()00 ,=F ）当 4 1 =d， 2 1 =， 2 1 =时 = += sinsinsincos sincos, 4 1 4 1 2 2 4 1 4 1 2 1 F ）当 4 1 =d， 2 1 =，0=时 sin 2 2 0 , 2 1 = F 这几种情况的方向图如图所示 20 21 由此可见，这种将几种同类天线放置在一起的系统，变形成了天线阵。而且选择并调 整天线的型式、互相之间的位置和电流关系，就可得到适合我们需要的各种形状的方向性 图。 例 设有两个电偶极子以相同的频率振动，但相位相差2，两个电偶极子的电矩p 的方向相同，振幅都是，振子间距为d，比辐射出的电磁波的波长小得多，试求远处的 电磁场、平均能流密度和辐射功率。 ? p 解：如图所示的两个沿 方向的电偶极子的电矩为 z tj z ep ? ap= 1 tj z ejp ? ap= 2 根据电偶极辐射场公式，有 o 2 P 1 P 2 R z 1 RP d y x = cos 2 2 cos 2 2 1 sin 4 sin 4 d rjk d rjk e r p e r pk E ? ? ? + = cos 2 2 2 sin 4 d rjk e r p E ? 总的辐射场为 jkr d jk d jk ejee r p EEE +=+= cos 2 cos 2 2 21 sin 4 ? jkr d jk d jk ejee cr p E c B += cos 2 cos 2 2 sin 4 1 ? 平均能流密度为 ()()nBEHES 2 22 22 sin 16 Re 2 1 Re 2 1 cr p? ? ? = 式中，为电磁波的传播方向的单位矢量。 总的辐射功率为 () = = 0 2 0 2 24 2 2 24 s 2 24 2 c16 p dd c16 p d c16 p drP ? ? sin sinnS 例 将半波天线平行放置，相距 2 ，如图所示，它们的电流振幅相等，同相激励。试 用方向图乘法草图绘出三个主平面上的方向图。 解：半波天线的方向性函数为 ( ) sin cos 2 cos 1 =f 而N元直线式天线阵的阵因子为 22 ( ) 2 sin 2 sin N f= 式中：cossinkd+=。 则天线阵的方向性函数为 ()( ) ( )fff 1 ,= 据题意知 2 =d，故 ? 0= cossincossin 2 2 cossin=+=kd 取，得二元阵的阵因子 2=N ( ) = = cossin 2 cos2 2 2cosf （）在 yz 平面（即E面）上， ? 90=单元天线的方向性函数为 ( ) sin cos 2 cos 1 =f 阵因子 ( )2cossin 2 cos2 90 = = = ? f 故xy平面上，天线阵的方向图函数为 ()( ) ( )fff 1 ,= 得出的方向图如图所示 23 ）在xz平面（即E面）上，单元天线的方向性函数为 ( ) sin cos 2 cos 1 =f 阵因子为 ( ) = sin 2 cos2f 故平面上，天线线阵的方向图因子为 ()( ) ( )fff 1 ,= 得出的方向图如图所示 ）在yz平面上（即H面）上， ? 90=，故单元天线的方向性函数为 ( )1 sin90 cos90 2 cos 1 = = ? ? f 24 阵因子为 ( ) = cos 2 cos2f 故平面上，天线阵的方向图性函数为 ()( ) ( ) = cos 2 cos2, 1 fff 得出的方向图如图所示 例15 均匀直线式天线阵的元间距 2 1 =d，若要求它的最大辐射方向在偏离天线阵轴 的方向，问单元天线之间的馈电电流的相位差应为多少？ ? 60 解：均匀直线式天线阵的辐射方向图由单元天线的方向性函数和阵因子决定，而阵因子与 阵元间距d，单元之间的馈电电流相位差有关。对于元均匀直线式天线阵，阵因子为 N ( ) 2 sin 2 N sin =f，+=coskdsin 应用以上关系式，即可根据题意求出单元之间的馈电电流相位差。 阵因子的最大值可由 ( ) 0= d df ，求得 25 ( ) 0 2 sin 2 N sin 2 cos 2 1 2 N cos 2 sin 2 N 2 sin 2 N sin d d d d 2 = = = f 故得 2 N sin 2 cos 2 1 2 N cos 2 sin 2 N = 即 2 N tan 2 Ntan = 上式只有当0=时才成立，故阵因子出现最大值的条件是 0coskdsin=+ 代入，得 ? 60= ? 90 22 1 2 2 kdcos60= 例16 如图所示， 电偶极子长为dl， 垂直放置于一无限大导电平板上， 与导电平板间距， 求方向性函数。 H 解：原来的天线和镜像天线构成一个二元阵天线，利用叠加原理，远区点的场为 P 2 EEE 1 ? += 1 E ? 原来振子产生的场； 镜像天线产生的场。 2 E ? 26 p -j 12 e EE= Hcos2k=， P点的电场为 () j2kHcos 121 e1 +=+=EEEE 原来对称振子的方向性函数为 ( )sin 1 =f 考虑大地的影响后，对称振子天线的方向性函数变为 ( )( )( ) 21 ffF= 在H平面： 2 = ( )()oskHcos 2 cf= ( )1=F E面： ( )coscos(skHinF= 因系镜像问题，则有效区为 2 0 。 例17 如图所示， 设 4 d =， 称为四分之一波长单极子天线， 在导电面上一点离天线， 电场强度为 6km. 1 mV100m，求： ( )a馈入单极子的电流; ( )b馈入天线的平均功率。 解：按题意( )a 2 =，利用镜像法，可按半波天线计算上半球区辐射场 1 . 0 1600 60I sin cos 2 cos r2 I E 00 = = 67A. 2I0= ( )b 4 单极子天线辐射电阻为半波振子的一半，即=5 .36Rr 27 130WRI 2 1 P r 2 0av = 若利用坡印廷矢量，在0半球内积分，所得结果一样。 例18 图为一半波天线，平行于地面，在离地面 4 H =处架设，求平面的方向图。 E 解：远区电场为 2 cos2EE 1 = cossin2kH+= 1 E为 jkr0 1 e sin cos 2 cos r 60I jE = 于是方向性函数为 ()() coskHsinsin sin cos 2 cos ,F = 因系镜像问题，有效区为0，E平面方向图如图所示。 .4习题 如果振荡频率分别为和50MHz， 问在电偶极子一个波长远处， 辐射场与感应场 的振幅之比应为多大？（） 50Hz 48.39 在自由空间中电流元，令mV2 4 lI 2 0 = ，l为振子长度，求；）1 l r =；）5 l r = 28 时， H E 的值。 （，） ? 23.j0 367e ? 0018.j0 376e 一中心馈电短振子天线位于自由空间，4ml=，100m=，40AI = ? 电流振幅沿天 线作线性变化（图） ，求远区点() ? 55,75,5kmP处的电场及总的平均辐射功率。 E （mV1m.j29，253W） 发射天线长度为，工作频率为20m1MHzf=，该天线可视为电偶极子天线，天线电 流振幅为A5 . 2I= ? ，求辐射功率和辐射电阻。 （，） av P r RW10 0 . 11 12 51 . 3 一天线位于原点，周围媒质为空气，已知远区场mVesin r 100 E r2 j2 =，求辐射 功率。 （） av P9W.88 6 设半波振子电流振幅为1A， 求距天线轴1609m处的： ） E0=； ） 2 =。 （； mmV29e.j37 1011 j - ） 如图所示，一短垂直单极子天线位于理想导体面上，求辐射功率和辐射电阻。 av P r R （W d I80 2 2 0 2 ； 2 2 d 160 ） 29 如7题图所示， 4 1 d =，电流按正选分布 =z 4 1 ksinII 0 ，求平均坡印廷矢量 av S ? 。 （ 2 r 2 2 2 0 mW sin cos 2 cos r2 15I a ? ） 在中心馈电的长为)h(2h=（满足电偶极子条件） = = =51. 3 300 20 80 l 3 2 R 2 2 2 r W1019. 2 300 201025 . 2 40 Il 3 P 11 2 6- 2 2 rav = = = 100KHzf =时， 3000m f c = = = = 2- 2 2 2 r 1051. 3 3000 20 80 l 3 2 R W1019. 2 3000 201025 . 2 40 Il 3 P 13 2 6- 2 2 rav = = = -2解：对称振子的方向性函数为 sin )cos()coscos( )( klkl F = (1) 当2=l时， sin 1)coscos( )( + =F (2) 当43=l时， sin )cos 2 3 cos( )(=F (3) 当=l时， sin 1)cos2cos( )( =F 下图为从0到180度的方向图，180到360度的方向图与0到180度的方向图对称。 31 32 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 /2对称振子 3/4对称振子 对称振子 l=3/4和l=的对称振子立体方向图如下所示。 -3 () = =771. 0 4 4 320 S320 R 4 2 4 4 24 r -4 见例 -5见例 -6解：）电流沿 轴分布是均匀的，z2hl =， W h I40 2 lI 40P 2 22 2 2 rav = = ? ? ）根据有效长度定义 ( )dzzI I 1 l h h e = ? 由图可知z轴上任意点的电流为 ( )z h I I