《2.1.2求曲线的方程》课时提升作业(含答案解析).doc

课时提升作业(十)求曲线的方程(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知动点P到点(1,-2)的距离为3,则动点P的轨迹方程是()A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=3【解析】选B.设P(x,y),由题设得(x-1)2+(y+2)2=3,所以(x-1)2+(y+2)2=9.2.已知等腰三角形ABC底边两端点是A(-3,0),B(3,0),顶点C的轨迹是()A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点【解析】选B.到两定点距离相等的点的轨迹为两点连线的垂直平分线.注意当点C与A,B共线时,不符合题意,应去掉.3.(2014临沂高二检测)在ABC中,若B,C的坐标分别是(-2,0),(2,0),中线AD的长度是3,则A点轨迹方程是()A.x2+y2=3B.x2+y2=4C.x2+y2=9(y0)D.x2+y2=9(x0)【解析】选C.易知BC中点D即为原点O,所以|OA|=3,所以点A的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,又因ABC中,A,B,C三点不共线,所以y0.所以选C.【变式训练】一动点到y轴的距离比到点(2,0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为.【解析】设动点为P(x,y),则由条件得:(x-2)2+y2=|x|+2,平方得y2=4x+4|x|,当x0时,y2=8x;当x0时,y=0.所以动点的轨迹方程为y2=8x(x0)或y=0(x0).答案:y2=8x(x0)或y=0(x0,y0)B.3x2-32y2=1(x0,y0)C.32x2-3y2=1(x0,y0)D.32x2+3y2=1(x0,y0)【解析】选D.设A(x0,0),B(0,y0),则BP=(x,y-y0),PA=(x0-x,-y),因为BP=2PA,所以(x,y-y0)=2(x0-x,-y),所以x=2x0-2x,y-y0=-2y,得x0=32x,y0=3y,因此A点坐标为32x,0,B点坐标为(0,3y),又因为点Q与点P关于y轴对称,所以Q(-x,y),由OQAB=1,得(-x,y)-32x,3y=1,即32x2+3y2=1,又P点在第一象限,所以x0,y0.故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014温州高二检测)已知点M到定点F(1,0)的距离和它到定直线l:x=4的距离的比是常数12,设点M的轨迹为曲线C,则曲线C的轨迹方程是.【解析】设点M(x,y),则据题意有(x-1)2+y2|x-4|=12,则4(x-1)2+y2=(x-4)2,即3x2+4y2=12,所以x24+y23=1,故曲线C的方程为x24+y23=1.答案:x24+y23=18.(2014珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率的积为定值-12,则动点P的轨迹方程为.【解析】设P(x,y),由题意知,x2,kAP=yx+2,kBP=yx-2,由条件知kAPkBP=-12,所以yx+2yx-2=-12,整理得x2+2y2-2=0(x2).答案:x2+2y2-2=0(x2)【误区警示】解答本题时容易漏掉“x2”这个条件.这是因为忽略了直线斜率的存在性所导致.所以做题时理解要到位,避免因隐含条件未挖掘出来而导致错误发生.9.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,APB=60,则动点P的轨迹方程为.【解析】如图.|PA|=|PB|,连接PO.则OPB=30.因为|OB|=1.所以|PO|=2.所以P点的轨迹是以O为圆心以2为半径的圆,即x2+y2=4.答案:x2+y2=4三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014唐山高二检测)设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为P0,且MP0=32PP0,求点M的轨迹C的方程.【解析】设点M(x,y),P(x0,y0),则由题意知P0(x0,0).由MP0=(x0-x,-y),PP0=(0,-y0),且MP0=32PP0,得(x0-x,-y)=32(0,-y0),所以x0-x=0,-y=-32y0,于是x0=x,y0=23y.又x02+y02=4,所以x2+43y2=4,所以,点M的轨迹C的方程为x24+y23=1.【变式训练】若长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,动点C(x,y)满足AC=2CB,求动点C的轨迹方程.【解析】设A,B两点的坐标分别为(a,0),(0,b),则AC=(x-a,y),CB=(-x,b-y),因为AC=2CB,所以x-a=-2x,y=2b-2y,即a=3x,b=32y.又因为|AB|=3,所以a2+b2=9,即9x2+94y2=9,即x2+y24=1.故动点C的轨迹方程为x2+y24=1.11.(2013陕西高考改编)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程.【解题指南】由弦长的一半、半径和弦心距构成直角三角形列出方程,化简后得出轨迹C的方程.【解析】A(4,0),设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由几何图象知ME=MN2,CA2=CM2=ME2+EC2(x-4)2+y2=42+x2y2=8x.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014长沙高二检测)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|MN|MP|+MNNP=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x【解析】选B.依题意可得,4(x+2)2+y2+4(x-2)=0,整理可得y2=-8x.2.曲线f(x,y)=0关于直线x-y-3=0对称的曲线方程为()A.f(x-3,y)=0B.f(y+3,x)=0C.f(y-3,x+3)=0D.f(y+3,x-3)=0【解题指南】求对称曲线上任意一点关于直线x-y-3=0的点的坐标(x,y),又(x,y)满足方程f(x,y)=0,由此可得对称曲线方程.【解析】选D.设P为对称曲线上任意一点,其坐标为(x,y),它关于直线x-y-3=0对称点的坐标为(x,y),依题意有y-yx-x=-1,x+x2-y+y2-3=0x=y+3,y=x-3.又(x,y)适合方程f(x,y)=0,故所求对称曲线方程为f(y+3,x-3)=0,故选D.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是()A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0【解析】选D.设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.【举一反三】若题中直线方程和点的坐标不变,其他条件改为“Q是PM的中点”,则结论如何?【解析】设Q(x,y),P(x0,y0),则x=x0-12,y=y0+22,所以x0=2x+1,y0=2y-2.因为点P在直线2x-y+3=0上,所以2(2x+1)-(2y-2)+3=0.整理得4x-2y+7=0,即点Q的轨迹方程为4x-2y+7=0.4.(2014哈尔滨高二检测)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于13,则动点P的轨迹方程为()A.x2-3y2=-2B.x2-3y2=-2(x1)C.x2-3y2=2D.x2-3y2=2(x1)【解析】选B.设P(x,y),由于点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以B(1,-1).kPA=y-1x+1(x-1),kPB=y+1x-1(x1),因为kPAkPB=13,所以y-1x+1y+1x-1=13.整理得x2-3y2=-2(x1).【变式训练】定长为6的线段,其端点分别在x轴,y轴上移动,则AB中点M的轨迹方程是()A.x2+y2=9B.x+y=6C.2x2+y2=12D.x2+2y2=12【解析】选A.设M点坐标为(x,y),A(0,y0),B(x0,0),因为M为AB中点,所以x=0+x02,y=0+y02,得x0=2x,y0=2y,因为|AB|=6,所以(2x-0)2+(0-2y)2=6,整理得:x2+y2=9.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014成都高二检测)如图,动点M和两定点A(-1,0),B(2,0)构成MAB,且MBA=2MAB,设动点M的轨迹为C,则轨迹C的方程为.【解析】设M的坐标为(x,y),显然有x0,且y0,当MBA=90时,点M的坐标为(2,3),当MBA90时,x2,由MBA=2MAB,有tanMBA=2tanMAB1-tan2MAB,将tanMBA=y2-x,tanMAB=yx+1代入上式,化简可得3x2-y2-3=0,而点(2,3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x1).答案:3x2-y2-3=0(x1)6.已知sin,cos是方程x2-ax+b=0的两根,则点P(a,b)的轨迹方程为.【解题指南】根据sin,cos是方程x2-ax+b=0的两根,建立a,b与sin,cos的关系,再通过消参,消去sin,cos得到a,b的关系式.【解析】由根与系数的关系知sin+cos=asincos=b由2-2得a2-2b=1.因为a=sin+cos=2sin+4,所以-2a2,b=12sin2,所以-12b12.所以点P的轨迹方程为:a2=2b+12(-2a2).答案:a2=2b+12(-2x2)【知识拓展】参数法的定义及消参的方法(1)参数法的定义求曲线方程时,若x,y的关系不明显或难以寻找,可借助中间量(即参数)使x和y建立起联系,然后再从式子中消去参数得到曲线方程,这种方法叫做参数法求曲线的方程.(2)消去参数的常用方法代入法:从所给的一个式子中解出所要消的参数,代入另外的式子,从而消去参数;加、减、乘、除法:通过对所给式子乘以某一常数后,再借助于加、减、乘、除,消去参数;平方法:通过平方,整体代入消去参数.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014南京高二检测)ABC的顶点B,C的坐标分别为(0,0),(4,0),AB边上的中线的长为3,求顶点A的轨迹方程.【解析】设A的坐标为(x,y),AB的中点D的坐标为(x1,y1).由中点坐标公式可知x1=x2,y1=y2,因为AB边上的中线CD=3,所以(x1-4)2+y12=9,化简整理得(x-8)2+y2=36.所以点A的轨迹方程为(x-8)2+