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第 2 章 刚体静力学基本概念 第 2 章 刚体静力学基本概念 第 2 章 刚体静力学基本概念 2-1 填空题填空题： 2-1(1) 在任何外力作用下,大小和形状保持不变的物体称_。 2-1(2) 力的三要素是_、_、_。 2-1(3) 一个刚体受不平行的三个力作用而平衡时，这三个力的作用线必_ _。 2-2 单项选择题单项选择题： 2-2(1) 既限制物体任何方向运动，又限制物体转动的支座称_支座。 A：固定铰 B：可动铰 C：固定端 D：光滑面 2-2(2) 只限物体垂直于支承面方向的移动，不限制物体其它方向运动的支座称_支 座。 A：固定铰 B：可动铰 C：固定端 D：光滑面 2-3 是非判断题是非判断题： 2-3(1) 作用力与反作用力总是一对等值、反向、共线的力。( ) 2-3(2) 作用在物体上的力可以沿作用线移动，对物体的作用效果不变。( ) 2-3(3) 合力一定比分力大。( ) 2-4 举例说明由rFrF= 21 ，或者由rFrF= 21 ，不能断定 21 FF =。 2-5 给定力)32(3kjiF+=，其作用点的坐标为)6, 4, 3(。已知轴上的单 位矢量 OE )( 3 3 kjie+=，试求力F在轴上的投影以及对轴之矩。 OEOE 2-6 长方体的长、宽和高分别为cm8=a、 、，力和分别作用于棱 角 cm4=bcm3=h 1 F 2 F A和B， 方 向 如 图 示 ， 且N10 1 =F， 。试求在图示各坐标轴上的投影和 对各坐标轴之矩。 N5 2 =F 1 F 2 F - 1 - 工程力学习题 2-7 轴AB在平面内，与铅锤的AyzAz轴成角。悬臂CD垂直地固定在AB轴上，与 平面成Ayz角，如图所示。如在点作用铅直向下的力。并设， 试求力对点之矩及对轴之矩。 D P FaCD=hAC= P FAAB 2-8 正三棱柱的高为OABCDEcm210， 底面正三角形的边长为。 大小为的 力作用于棱角，力的作用线沿侧面的对角线，如图示。设沿图示各坐标轴的基 矢量为 、和，试求力的矢量表示，以及力对O点之矩和对轴之矩。 cm10N10 P FDDB ijk P F P FCE 2-9 单位矢量分别为和的两相交轴的夹角为 1 e 2 e，处于两轴所在平面内的力F在这 两轴上的投影分别为和，试求力 1 F 2 FF的矢量表示。 2-10 给定三力：kjiF543 1 +=，作用点为；) 1 , 2 , 0(kjiF622 2 +=，作用点 为；)4 , 1, 1 ( kjiF23 3 +=，作用点为。试求力系的主矢，及其对坐标原点O) 1 , 3 , 2( - 2 - 第 2 章 刚体静力学基本概念 的主矩。 2-11 如图所示，已知aOBOA=，aOC3=，力、和的大小均等于。 试求力系的主矢，及其对坐标原点O的主矩。 1 F 2 F 3 F P F 2-12 如上右图所示，已知aOCOBOA=， P321 FFFF=。试求力系的主矢， 及其对坐标原点O的主矩。 2-13 证明：任意给定力系对空间任意两点的主矩在这两点连线上的投影彼此相等。 2-14 证明：力系的主矢和主矩的标积是一个与矩心位置无关的常数。 2-15 试证明三力平衡汇交定理：刚体受不平行三力作用而平衡时，此三力的作用线必 汇交于一点(提示：首先证明此三力共面) 2-16 试画出下列图示物体的受力图。除已表明者外，各物体自重不计，摩擦不计。 解解：(a)圆柱C - 3 - 工程力学习题 (b)杆 AB (c)梁 AB (d)梁 AC 三力汇交形式 (e)杆、ABBD - 4 - 第 2 章 刚体静力学基本概念 (f)梁AB (g)杆、 ABCD CDE是二力构件 2-17 试画出下列图示物体的受力图。除已表明者外，各物体的自重不计，摩擦不计。 (a)圆柱、AB (b) 杆、ABDH (c) 杆AB、 AC - 5 - 工程力学习题 (d) 杆、OABD和整体 (e) 圆柱、AB (f)杆、和滑块OAABB (f)梁、和整体 ACBC - 6 - 第 2 章 刚体静力学基本概念 (g)杆AB、滑轮和整体 C (i)杆OA、(含滑块) AB (i)构件、CD和整体（上右图） AB - 7 - 工程力学习题 (k)杆、和整体 ACBC (k)杆、ACBCDE (m)钢架、CD、ABDE和整体 - 8 - 第 2 章 刚体静力学基本概念 - 1 - 第 2 章 刚体静力学基本概念 第 2 章 刚体静力学基本概念 2-1 填空题填空题： 2-1(1) 在任何外力作用下,大小和形状保持不变的物体称_刚体_。 2-1(2) 力的三要素是_大小_、_方向_、_作用点_。 2-1(3) 一个刚体受不平行的三个力作用而平衡时，这三个力的作用线必_汇交于同一点 _。 2-2 单项选择题单项选择题： 2-2(1) 既限制物体任何方向运动，又限制物体转动的支座称_C_支座。 A：固定铰 B：可动铰 C：固定端 D：光滑面 2-2(2) 只限物体垂直于支承面方向的移动，不限制物体其它方向运动的支座称_B_支 座。 A：固定铰 B：可动铰 C：固定端 D：光滑面 2-3 是非判断题是非判断题： 2-3(1) 作用力与反作用力总是一对等值、反向、共线的力。() 2-3(2) 作用在物体上的力可以沿作用线移动，对物体的作用效果不变。() 2-3(3) 合力一定比分力大。() 2-4 举例说明由rFrF= 21 ，或者由rFrF= 21 ，不能断定 21 FF =。 解解：若 1 F与 2 F都与r垂直，则0 21 =rFrF，但显然不能断定 21 FF =； 若 1 F与 2 F都与r平行，则0 21 =rFrF，也不能断定 21 FF =； 2-5 给定力)32(3kjiF+=，其作用点的坐标为)6, 4, 3(。已知OE轴上的单 位矢量)( 3 3 kjie+=，试求力F在OE轴上的投影以及对OE轴之矩。 解解：力F在OE轴上的投影 4321)( 3 3 )32(3=+=+=kjikjieF OE F 力F对坐标原点O之矩 工程力学习题解答 - 2 - )1015(3 33323 643)(kj kji Fm= = O 根据力系关系定理，力F对OE轴之矩 51015)( 3 3 )1015(3)()(=+=kjikjeFmF OOE m 2-6 长方体的长、宽和高分别为cm8=a、cm4=b、cm3=h，力 1 F和 2 F分别作用 于棱角A和B，方向如图示，且N10 1 =F，N5 2 =F。试求 1 F在图示各坐标轴上的投 影和 2 F对各坐标轴之矩。 解解：力 1 F在坐标轴上的投影 8.48NN 89 80 1 222 1 = + =F hba a F x N24. 4N 89 40 1 222 1 = + =F hba b F y N18. 3N 89 30 1 222 1 = + =F hba h F z 力 2 F在坐标轴上的投影 0 2 = x F N4 2 22 2 = + =F hb b F y N3 2 22 2 = + =F hb h F z 力 2 F作用线上的B点坐标为)3 , 0 , 8(), 0 ,(=ha，则 2 F对坐标原点O之矩为 cmN)322412( 340 308)( 2 += =kji kji FmO 根据力系关系定理， 2 F对各坐标轴之矩为 第 2 章 刚体静力学基本概念 - 3 - cmN12)( 2 =F x m，cmN24)( 2 =F y m，cmN32)( 2 =F z m 2-7 轴AB在Ayz平面内， 与铅锤的Az轴成角。 悬臂CD 垂直地固定在AB轴上，与Ayz平面成角，如图所示。如 在D点作用铅直向下的力 P F。并设aCD=，hAC=， 试求力 P F对A点之矩及对AB轴之矩。 解解：由于力 P F平行于z轴，所以， 0 PP = yx FF， PP FF z =， 0)( PPP = yxz yFxFmF )( P F x m和)( P F y m只与D的x及y坐标有关。 D的x坐标：sina； D的y坐标：coscossinah+； P F对x轴之矩：)coscossin()( PP ahFmx+=F； P F对y轴之矩：sin)( PP aFmy=F； 所以 P F对点A之矩为：jFiFFm)()()( PPPyxA mm+= 轴AB的方向向量：)cos(sinkje+= 于是得到 P F对轴AB之矩：sinsin)()( PPP aFm AAB =eFmF 2-8 正三棱柱OABCDE的高为cm210， 底面正三角形的边长为cm10。 大小为N10的 力 P F作用于棱角D，力的作用线沿侧面的对角线DB，如图示。设沿图示各坐标轴的基 矢量为i、j和k，试求力 P F的矢量表示，以及力 P F对O点之矩和对CE轴之矩。 解 解：D点坐标：)0 ,10,210(；B点坐标：)35 , 5 , 0(； 矢量DB的单位矢量： ) 2 1 , 6 3 , 3 6 (= DB n； 所以力 P F的矢量表示为： 工程力学习题解答 - 4 - N )5 3 35 3 610 ( PP kjinF+= DB F P F对O点之矩(取点B为 P F作用点) cmN )6 3 50 25050( 5 3 35 3 610 3550)( P += =kji kji FmO 而 P F对C点之矩(取点D为 P F作用点) cmN )6 3 100 50( 5 3 35 3 610 )( P += =ki kji Fm CDCDCDC zzyyxx 而 P F对CE轴之矩： cmN 250 ) 2 3 2 1 ()6 3 100 50()()( PP = +=kjkinFmF CECCE m 2-9 单位矢量分别为 1 e和 2 e的两相交轴的夹角为，处于两轴所在平面内的力F在这 两轴上的投影分别为 1 F和 2 F，试求力F的矢量表示。 解法一解法一：构建两个正交的单位矢量，并用此二矢量来表达力F。 由题意知， 11 F=eF， 22 F=eF。 若令ie = 1 ，则问题的关键在于寻求与i垂直的单位矢量j。 定义矢量j： 121122 cos)(eeeeeej=，即图中的黑色矢量。显然有： 0coscos)cos( 121 =eeeji， 及 j 与 1 e(或i)垂直。定义j为 j 的归一化矢量： sin cos 12 ee j j j = =，(注意图中的几何关系) 第 2 章 刚体静力学基本概念 - 5 - 于是得到力F在两正交方向上的投影： 11 FFi=eFiF sin cos sin cos 1212 FF Fj = = ee FjF 最终，力F的矢量表示为 2 1212 11 sin )cos)(cos(ee ejiF +=+= FF FFF ji 2 2 12 1 2 21 sin cos sin cos ee FFFF + = 解法二解法二：也可将力F通过 1 e和 2 e方向上的两个分力来表示，如图 根据几何关系，有： 243 143 cos cos F F =+ =+ FF FF 联立求解后，得： 2 12 4 2 21 3 sin cos sin cosFFFF = =FF 因此，力F的矢量表示为 2 2 12 1 2 21 2413 sin cos sin cos eeeFeFF FFFF + =+= 2-10 给定三力：kjiF543 1 +=，作用点为) 1 , 2 , 0(；kjiF622 2 +=，作用点 为)4 , 1, 1 ( ；kjiF23 3 +=，作用点为) 1 , 3 , 2(。试求力系的主矢，及其对坐标原点O 的主矩。 解解：主矢 kjFF+= 3 iR 主矩 kji kjikjikji M9413 231 132 622 411 543 120= + += O 工程力学习题解答 - 6 - 2-11 如图所示，已知aOBOA=，aOC3=，力 1 F、 2 F和 3 F的大小均等于 P F。 试求力系的主矢，及其对坐标原点O的主矩。 解解： 1 F的矢量为：) 2 2 2 2 ( P ji +F； 2 F的矢量为：) 2 3 2 1 ( P kj +F； 3 F的矢量为：) 2 3 2 1 ( P ki F； 力系的主矢)( 2 21 jiFF = iR 主矩 )233( 2 2 3 0 2 1 300 2 3 2 1 0 00 0 2 2 2 2 00 P PP PPPP kji kjikjikji M += + + = aF FF a FF a FF a O 2-12 如 图 所 示 ， 已 知aOCOBOA=， P321 FFFF=。试求力系的主矢，及其对坐标原点 O的主矩。 第 2 章 刚体静力学基本概念 - 7 - 解解： 1 F的矢量为：) 2 2 2 2 ( P ji +F； 2 F的矢量为：) 2 2 2 2 ( P kj +F； 3 F的矢量为：) 2 2 2 2 ( P ki F； 力系的主矢0= iR FF 主矩 )( 2 2 2 2 0 2 2 00 2 2 2 2 0 00 0 2 2 2 2 00 P PPPPPP kji kjikjikji M += + = aF FF a FF a FF a O 2-13 证明：任意给定力系对空间任意两点的主矩在这两点连线上的投影彼此相等。 解解： 如图，任取两点A、B，力 i F对其矢径分别为 Ai r和 Bi r。对A和B点主矩分别为 = i iAiA FrM； = i iBiB FrM 注意到 BiABAi rrr+= 由于 i iAB Fr与 AB r和 i i F都垂直，因此有 ABBABB i iABABA rMrMFrrM=+= )( 由此得证。 2-14 证明：力系的主矢和主矩的标积是一个与矩心位置无关的常数。 工程力学习题解答 - 8 - 解解：接上题，由于 i iAB Fr与 i i F垂直，因此有 =+= i iB i iB i iAB i iA FMFMFrFM)( 所以A、B的任意性，可知力系的主矢与主矩之标级与矩心为之无关。 2-15 试证明三力平衡汇交定理：刚体受不平行三力作用而平衡时，此三力的作用线必 汇交于一点(提示：首先证明此三力共面) 解解：设三力为 1 F、 2 F和 3 F，由于三力平衡，因此该力系的主矢为零，主矩也为零。 考察 2 F和 3 F构成的子力系，显然，该子力系的主矢为 1 FF= R ，对力 1 F作用线上 任意点A的主矩0= A M。 再考察该子力系对力 2 F作用线上任意点B的主矩：)( 3 FmM BB =，即，该子力系 对点B的主矩就是力 3 F对B之矩。 根据题 2-14 的结论，有 13) (0FFmFMFM= BRBRA 即， 3 F对B之矩与 1 F垂直。 显然， 3 F位于点B与 1 F作用线确定的平面内， 也即 3 F与 1 F 共面。 同理， 2 F与 1 F共面。 即刚体受不平行三力作用而平衡时， 此三力的作用线必共面。 如图，设 2 F和 3 F交于点O，则将此二力平移至该点，则 2 F和 3 F的合力可根据平 行四边形定律确定为作用于点O的力 R F。 由于 1 F、 2 F和 3 F构成平衡力系， 则 1 F和 R F 也构成平衡力系。根据二力平衡定理， 1 F和 R F共线，即 1 F也过点O。由此得证。 2-16 试画出下列图示物体的受力图。除已表明者外，各物体自重不计，摩擦不计。 第 2 章 刚体静力学基本概念 - 9 - 解解：(a)圆