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第二章 平面体系几何组成分析。 内容提要 1 几个基本概念 （1） 几何不变体系。不考虑材料应变，在任意载荷作用下能保持 其原有的几何形状和位置的体系。 （2） 几何可变体系。不考虑材料应变，在任何载荷作用下其原有 的几何形状和位置发生变化的体系。 （3） 瞬变体系。如果一个几何可变体系在发生微小的位移后，即 成为几何不变体系，称为瞬变体系。 （4） 刚片。在几何组成分析中，由于不考虑材料的变形，故可以 把每一杆件或体系中已被肯定为几何不变的某个部分看作刚 体，刚体在平面体系中称为刚片。 （5） 自由度。一个体系的自由度，是指该体系在运动时确定其位 置所需的独立坐标的数目。 （6） 约束。指减少物体或体系自由度的装置。 （7） 多余约束。如果在体系中增加一个约束，体系的自由度并不 因此而减少，则该约束称为多余约束。 2自由度计算公式 （1）平面刚片体系 （15.1） 式中： 体系的计算自由度; 体系中的刚片数。 单铰数； 支座链杆数。 （2）平面链杆体系 （15.2） 式中：体系中的节点数； 链杆数; 支座链杆数。 若（对于不和基础相连的独立体系为），则体系为几何可变；若 （对 于不和基础相连的独立体系为），说明体系满足几何不变的必要条 件，还要应用 几何不变体系的基础组成规则作进一步分析。 3几何不变体系的简单组成规则 （1）两刚片规则。两刚片用一个铰及一根不通过铰心的链杆相连结，组 成无多余约束的 几何不变体系。 两刚片永不全交于一点也不全平行的三根链杆相联结，也组成无多余 约束的几何不变体系。 （2）三刚片规则。三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联，组成无 多余约束的几何不变体系。 （3）加减二元体规则。在一个体系上增加或减少二元体，不改变原体系 的几何可变或不变性。 4解题技术 （1）应用基本组成规则进行分析的关键是恰当地选取基础、体系中的杆 件或可判别为几何不变的部分作为刚体，应用规则扩大其范围， 如能扩大至整个体系，则体系为几何不变的；如不能的话，则应 把体系简化为二至三个刚片，再应用规则进行分析，体系中如有 二元体，则先将其逐一撤除，以使分析简化。 (2) 当体系与基础是按两刚片规则连接时，可先撤去支座链杆，只分析 体系内部杆件的几何组成性质。 （3）当两个刚片用两个两根链杆相连时，相当于在两杆轴线的交点处 用一虚铰相连，其作用与一个单铰相同。当两个轴线相互平行时， 可认为两杆轴线在无穷远处相交，交点在无穷远处。 （4）对体系作几何组成分析时，每一根杆件都要考虑，不能遗漏，但 也不能重复使用。分析结果要说明整个体系是什么性质的体系，有 无多余约束，如有多余约束，有几个。 题 解 题2-1 试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =33-22-5=0 （2）几何组成分析。首先，刚片AB由三根不共点的链杆与基础相连， 组成一个大的刚片。其次，刚片BC由不共线的铰B和链杆4和 刚片相连，组成一个更大的刚片。用同样的方法分析刚片 CD。最后得知整个体系为几何不变，且无多余约束。 题2-2试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =31-4=-1 （2）几何组成分析。由于支座A为固定端支座，可把杆AB和基础作为刚 片,刚片BC由不共线的铰B和链杆1与刚片相连，链杆2为多余 约束。因而整个体系为几何不变，有一个多余约束。 题2-3试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3j-b-r =210-16-4=0 （2）几何组成分析。将AFG部分作为一刚片，然后依次增加二元体 ABG、BCG、CHG、ACFH部分为以扩大了的刚片。这个刚片与 基础用不共点的三根链杆1、2、3相联，组成一个更大的刚片 。 同理，可把DERJ部分作为刚片，它由不共点的三根链杆CD、HR、 4与刚片相联，因而整个体系为几何不变，且无多余约束。 题2-4试对图示体系进行几何组成分析。 解：体系的自由度为 W=3m-2h-r =35-24-5=2 体系缺少足够的约束，为几何可变体系。 5 题2-5试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =33-22-5=0 （2）几何组成分析。 首先刚片ABCG由四根不共点的链杆与基础相连，组成一个大 的刚片（但有一个多余约束）。其次，刚片EF由两根链杆 DE和5与刚片相联，缺少一个约束。最后得知整个体系为几 何可变。 题2-6试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =34-23-6=0 （2）几何组成分析。 首先从体系中撤除二元体DAB、1D2。其次，将链杆3、4作为 二元体，加到基础上，刚片BC由不共点的三根链杆BE、5、6 与扩大了的基础相连，因而整个体系为几何不变，且无多余约 束。 题2-7试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =28-9-7=0 （2）几何组成分析。首先把三角形ACD和BCE分别看作刚片和刚片 ，把基础看作刚片，则三个刚片用不共线的三个铰A、B、C分 别两两相联，组成一个大的刚片，在这个大的刚片上依次增加二元 体12、DGF、CHG、EIH、IJ3. B A 最后得知整个体系为几何不变， 且无多余约束。 题2-8试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =36-27-4=0 （2）几何组成分析。刚片AF和AB由不 共线的单铰A以及链杆DH相联，构 成刚片，同理可把BICEG部分看 作刚片，把基础以及二元体12、34 看作刚片三，则、三由不共线 的三个铰F、B、两两相联，构成几 何不变体系，且无多余约 束。 题2-9试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =314-219-4=0 （2）几何组成分析。在刚片HD上依次增加二元体DCJ、CBI 、BAH构成 刚片，同理可把DMG部分看作刚片，把基础看作刚片三，则 刚片、三由不共线 的单铰D，虚铰N、O相联，构成几何不变体系，且无多余约束。 题2-10试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =27-11-3=0 （2）几何组成分析。由于AFG部分有基础简支，所以可只分析AFG部 分。可去掉二元体BAC只分析BFGC部分，把三角形BDF、CEG 分别看作刚片和，刚片和由三根平行的链杆相联，因 而，整个体系为瞬变。 题2-11试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =29-13-5=0 （2）几何组成分析。首先在基础上依次增加二元体 12 、AE3、AFE、ABF、FI4，组成一个大的 刚片。其次，把CDHG部分看作刚片， 刚片、由三根共点的链杆BC、IG、5相 联，因而，整个体系为瞬变。 题2-12试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =27-11-3=0 （2）几何组成分析。由于ABCDEF 部分有基础简支，所以可只分析 ABCDEF部分。把三角形ABD 看作刚片、BCF看作刚片 ，杆件CE看作刚片三，则 三个刚片由不共线的单铰B，虚铰O1、O2分别两两相联，构 成几何不变体系，且无多余约束。 题2-13试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =26-8-4=0 （2）几何组成分析。把三角形CDF看作刚片，杆 件AB看作刚片, 基础和二元体23看作刚片 三，刚片和刚片由链杆CE、4相联，相当 于虚铰O1,刚片和三由链杆EB、1相联，相 当于一个虚铰，三个虚铰不共线，构成几何不变体系，且无多 余约束。 题2-14试对图示体系进行几何组成分析。 C B A 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =212-21-3=0 （2）几何组成分析。由于ABCGLKD部分有基础简支， 所以可只分析ABCGLKD部分。 在三角形ADE上依次增加二元体ABE 、BFE、 BCF 、CGF 、FHE组成刚片，将三角形HJI看成 刚片，杆件KL看成刚片三，刚片和 由单铰 H相联，刚片 和三由链杆KI和JL相联，即在H 点由虚铰相联；刚片刚片三由链杆EK、FL相联， 即在无穷远处有虚铰相联；显然，这三个铰共线，因而，整个 体系为瞬变。 题2-15试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =37-29-3=0 （2）几何组成分析。由于ACEFG部分由基础简支，所以可只分析 ACEFG部分。在杆件ABC上增加二元体BGA构成刚片，同理可 把CDEF部分看作刚片，刚片和刚片由不共线的单铰C及链 杆GF相联，因而，整个体系为几何不变体系，且无多余约束。 题2-16试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =39-213-3=-2 （2）几何组成分析。由于ADEFG部分由基础简支, 所以可只分析 ADEFG部分。把三角形AED看作刚片，杆BE看作多于约束，把 三角形AFG看作刚片，杆CF看作多余约束。刚片和刚片由 不共线的铰A及链杆EF相联，因而整个体系为几何不变体系，且有 2个多余约束。 题2-17试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =29-15-3=-0 （2）几何组成分析。由于ADIHGFEB部分由基础简支, 所以可只分析 ADIHGFEB部分。在三角形BEF上依次增加二元体 BCE 、CGF 组 成刚片，同理可把CDHI部分看成刚片，刚片和 由不共线 的铰C及链杆GH相联，构成一个更大的刚片，然后再增加二元体 BAD.最后得知整个体系为几何不变，且无多余约束。 I F G 题2-18试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由 度为 W=3m-2h-r =36-28-3=-1 （2）几何组成分析。由于ABCDFE部分由基础简支, 所以可只分析 ABCDFE部分。在杆件ABCD上增加二元体AEB、CFD构成几何不 变体，链杆EF可看作多余约束。因而，整个体系为几何不变体系， 且有一个多余约束 题2-19试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =26-8-4=-0 （2）几何组成分析。 把三角形BCE看作刚片，杆件DF看作刚片, 基础上增加二元 体12看作刚片三，刚片和三由链杆AD、3相联，即由虚铰F相 联， 刚片和 由链杆BD、EF相联，交点在无穷远处；刚片 和 三由链杆AB、4相联， 即由虚铰C 相联；显然，这三个铰共 线，因而，整个体系为瞬变。 题2-20试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =28-13-3=-0 （2）几何组成分析。首先，在三角形A EF上依次增加二元体ABF 、 BCF 、 CGF 组成刚片，而杆件BG可看作一个多余约束。其 次，去掉二元体CDH、GH3。把基础上增加二元体12看作刚片， 则刚片和 刚片只用铰E相连，因而，整个体系为几何不变体 系，但在BCGF部分有一个多余约束。 题2-21试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =29-14-4=-0 （2）几何组成分析。首先在体系上依次去掉二元体DAB、BCF、DBF不 改变原体系的几何组成性质，所以下面只分析DEF以下部分即可。 把三角形EFI看作刚片，把杆件DH看作刚片，把基础上增加二元体 12看作刚片三。刚片和 由虚铰F相联，刚片和 三由链杆GE及 链杆4相连，交点在CI直线上，刚片和三由平行链杆DG及链杆3相 联，由于链杆DG、3和直线CI平行，且三直线将在无穷远处相交。所 以三个虚铰在同一条直线上，因而整个体系为瞬变。 题2-22试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =310-214=2 （2）几何组成分析。该体系没有和基础相连，只需要分析其内部几何性 质。杆件AH和杆件HJ由不共线单铰H和链杆相连构成刚片；同理 可把DMJ部分看作刚片，再把折杆ABCD和二元体BFC看作刚片 三。刚片、三由三个不共线的单铰A、J、D两两相联，构成几 何不变体系，链杆FJ可看作多余约束。因而整个体系内部为几何不 变，且有一个多余约束。 题2-23试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =34-24-4=0 （2）几何组成分析。把曲杆ACF看作刚片；曲杆BDE看作刚片，基 础和二元体12、34看作刚片三。刚片、三由不共线的三铰A、 B、G两两相联，因而整个体系为几何不变，且无多余约束。 题2-24试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =34-23-5=1 体系缺少足够的约束，为几何可变体系。 题2-25试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =32-21-4=0 （2）几何组成分析。把 ABD看作刚片； BCE看作刚片，基础 看作刚片三。刚 片、由单铰 B相联，刚片、和三由 链杆3、4相联（即在两杆轴线的交点出用 以虚铰相联），刚片和三由链杆1、2相 联（即在两杆轴线的交点出用以虚铰相 联），显然，这三个铰不在一条直线上，因 而整个体系为几何不变，且无多余约束。 题2-26试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =39-210-7=0 （2）几何组成分析。首先在体系上依次去掉二元体EAB、CDH、IEF、 EHL、1I2、6L7、不改变原体系的几何组成性质，所以下面只分析 JBCK和基础部分即可。 把折杆JBCK看作刚片；基础 看作刚片，刚片和刚片 由不共点的三根链杆3、4、5相联，因而整个体系为几何不 变，且无多余约束。 题2-27试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =29-14-4=-0 （2）几何组成分析。首先，在三角形GHE上依次增加二元体GKH、 KLH，把EGKLH部分看作刚片，同理，把LMJFI部分看作刚片 ，基础看作刚片三，则三个刚由不共线的三个铰G、L、J分别两 两相联， 因而，整个体系为几何不变体系，且无多余约束。 题2-28试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =213-20-6=-0 （2）几何组成分析。首先在体系上依次去掉二元体JAB、BCD、 DEM、FBG、KFG、KGH、HDI、LHI不改变原体系的几何组成性 质，所以下面只分析余下部分即可。 杆件JK由三个不共点的链杆1、2、3与基础相联，组成刚片；杆件 LM由三个不共点的链杆4、5和KL与刚片相联，组成更大的刚 片，但链杆6为一多余约束。杆件IL与更大的刚片只有一个单铰 相联，缺少足够的约束，因而整个体系为几何不变。 题2-29试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =25-6-3=-1 体系缺少足够的约束，为几何可变体系。 题2-30试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =33-22 -5=-0 （2）几何组成分析。把折杆ACD看作刚片，折杆 CE看作刚片,即 除看作刚片三。刚片、由单铰C相联，刚片、三由链杆4、5 相联（即用铰E相联），刚片和刚片由链杆2、3相联（即用铰 D相联），显然，这三个铰不在一条直线上，刚片、三构成 一个大的刚片。刚片BA由不共线的铰A和链杆1与上述大的刚片相 联， 因而整个体系为几何不变，且无多余约束。 题2-31试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =33-23-6= -3 （2）几何组成分析。由于支座A为固定端支座，可把折杆ABCE和基础 作为刚片(铰E为多余约束)，把折杆BD看作刚片，两个刚片由 不共线的铰B和链杆CD相联。链杆DF为多余约束。因而整个体系 为几何不变，且有三个多余约束。 题2-32试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=3m-2h-r =34-24-4= 0 （2）几何组成分析。首先 在基础上依次增加二 元体HDE、DCG、CBF 构成刚片，再把折杆 AC看作刚片，折杆 AB看作刚片三。刚片 、由铰C相联， 刚片、三由铰A相 联，刚片和三由铰B 相联，显然，这三个铰 不在一条直线上，因而 整个体系为几何不变， 且无多余约束。 题2-33试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为 W=2j-b-r =210-18-4= -2 （2）几何组成分析。首先在三角形EJI上依次增加二元体EDI、DCI、 CHI、CBH、CGH、BAG、BFG构成刚片(链杆AF为多余约束)，把 基础看作刚片，则两个刚片有三根不共点的链杆1、2、3相联（链 杆2为多余约束）。因而整个体系为几何不变，且有两个多余约束。 题2-34试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。 体 系的自由度为 W=3m-2h-r =38-211-3= -1 （2）几何组成分 析。由于 ABEJGFC部 分由基础简支, 所以可只分析 ABEJGFC部分。 把ABD部分看作刚片，FDG部分看作刚片，刚片 和 由不共线的铰D 及链杆AF相联，构成一个大的刚片。把折杆 AC看作刚片三，再把折杆CF看作刚片 ，则刚片、 和刚片 、组成的大刚片由三个不在一条直线上的铰A、C、F相 联，构成几何不变体系。同理折杆BE、EG和刚片、 、 组成的几何不变部分构成几何不变体系（链杆BG可看作 多余约束）。最后得知整个体系为几何不变，且有一个多余约 束。 题2-35试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的 自由度为 W=2j-b-r=218-33-3=0 （2）几何组成分析。由于ACELRPOMF部分由基础简支，所以可只分析 ACELRPOMF部分。 首先在三角形KLR上依次增加二元体LEK、KQR、KJQ、EDJ、JPQ、 JIP、DCI，把CELRPI部分看作刚片，再在三角形FGM上依次 增加二元体FAG、MNG、NHG、ABH、HON，把BAFMOIH部分 看作刚片，刚片和刚片由不共线的铰及链杆BC相联，因 而整个体系为几何不变，且无多余约束。 题2-36试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度 为 W=3m-2h-r=37-28-7=-2 （2）几何组成分析。首先把三角形ACD和BCE分别看成刚片和刚片 ，把基础看成刚片，则三个刚片用不共线的三个铰A、B、 C、两两相联，构成一个大的刚片。在这个大刚片上依次增加二 元体12、FHC（链杆DG可看作多余约束）、HJ3(链杆EI可看作多 余约束)。最后得知整个体系为