（山东专用）2020版高考数学一轮复习专题23正弦定理与余弦定理（含解析）.docx

专题23 正弦定理与余弦定理一、【知识精讲】1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解微点提醒1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sincos；(4)cossin.2.三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3.在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin Asin Bcos Acos B.二、【典例精练】考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A_. (2)(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A.B.C.D.【答案】(1)75(2)C【解析】(1)由正弦定理，得sin B，结合bc得B45，则A180BC75. (2)因为a2b2c22abcos C，且SABC，所以SABCabsin C，所以tan C1.又C(0，)，故C.【解法小结】1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二判断三角形的形状【例2】 (1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【答案】(1)A(2)B【解析】(1)由cos A，得0，所以sin Csin Bcos A，即sin(AB)sin Bcos A，所以sin Acos B0，所以cos B0，sin A1，即A，ABC为直角三角形.【解法小结】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度1与三角形面积有关的问题【例31】 (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积.【解析】(1)由sin Acos A0及cos A0，得tan A，又0A，所以A.由余弦定理，得284c24ccos .即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.角度2与三角形周长有关的问题【例32】 (2018江苏)在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为【答案】9【解析】因为，的平分线交于点，所以，由三角形的面积公式可得，化简得，又，所以，则，当且仅当时取等号，故的最小值为9【解法小结】1.对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【思维升华】1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在ABC中，若a2b2c2，由cos Cb，则B()A. B.C. D.【答案】A【解析】asin Bcos Ccsin Bcos Ab，根据正弦定理可得sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，即sin B(sin Acos Csin Ccos A)sin Bsin B0，sin(AC)，即sin B.ab，AB，即B为锐角，B.3. (2019山西五校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Aacos Bc2，ab2，则ABC的周长为()A7.5B7C6 D5【答案】D【解析】bcos Aacos Bc2，由余弦定理可得bac2，整理可得2c22c3，解得c1，则ABC的周长为abc2215.4.(2019枣庄二模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，则A()A.B.C.D.【答案】B【解析】(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理得(ab)(ab)c(cb)，即b2c2a2bc.所以cos A，又A(0，)，所以A.5(2019山西大同联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos Aacos B)c2，b3,3cos A1，则a()A. B3C. D4【答案】B【解析】由正弦定理可得2(sin Bcos Asin Acos B)csin C，2(sin Bcos Asin Acos B)2sin(AB)2sin C，2sin Ccsin C，sin C0，c2，由余弦定理得a2b2c22bccos A32222329，a3.6.(2019开封模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，2sin Asin B，且b6，则c()A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】在ABC中，A，b6，a2b2c22bccos A，即a236c26c，又2sin Asin B，2ab，即cos C，a2364c2，由解得c4或c6(不合题意，舍去).因此c4.7.(2019郑州二模)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2cos 2C1，4sin B3sin A，ab1，则c的值为()A.B.C.D.6【答案】A【解析】由2cos2cos 2C1，可得2cos21cos 2C0，则有cos 2Ccos C0，即2cos2Ccos C10，解得cos C或cos C1(舍)，由4sin B3sin A，得4b3a，又ab1，联立，得a4，b3，所以c2a2b22abcos C1691213，则c.8（江西省红色七校2019届高三第一次联考）的内角，的对边分别为，已知，则角（ ）A B C D【答案】D【解析】由正弦定理可得sinB=sinAcosC+33sinAsinC,由sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC,所以有tanA=3，A=3,再有正弦定理得：232=263sinC,sinC=22，ca,CA,C=49.(2019广州调研)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，c4，cos B，则ABC的面积等于()A3B.C9 D.【答案】【解析】由余弦定理b2a2c22accos B，代入数据，得a3，又cos B，B(0，)，所以sin B，所以SABCacsin B.10(2019安徽名校联盟联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc1，b2ccos A0，则当角B取得最大值时，ABC的周长为()A2 B2C3 D3【答案】A【解析】由b2ccos A0，得b2c0，整理得2b2a2c2.由余弦定理，得cos B，当且仅当ac时等号成立，此时角B取得最大值，将ac代入2b2a2c2可得bc.又因为bc1，所以bc1，a，故ABC的周长为2.11.（湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试）中有：若，则；若，则定为等腰三角形；若，则定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】由正弦定理及大对大角可知正确；或是直角三角形或等腰三角形；所以错误；由已知及余弦定理可得，化简得，所以正确. 故选C.12.(2019武汉模拟)在ABC中，C，AB3，则ABC的周长为()A.6sin3 B.6sin3C.2sin3 D.2sin3【答案】C【解析】设ABC的外接圆半径为R，则2R2，于是BC2Rsin A2sin A，AC2Rsin B2sin.于是ABC的周长为232sin3.13.(2018泰安二模)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角B_.【答案】【解析】由正弦定理可得，c2b2aca2，c2a2b2ac，cos B，0B，B.14.(2019合肥模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S.若a2sin C4sin A，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为_.【答案】【解析】根据正弦定理及a2sin C4sin A，可得ac4，由(ac)212b2，可得a2c2b24，所以SABC.15.(2019荆州一模)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2，cos A，sin B2sin C，则ABC的面积是_.【答案】【解析】由sin B2sin C，cos A，A为ABC一内角可得b2c，sin A，由a2b2c22bccos A，可得84c2c23c2，解得c2(舍负)，则b4.SABCbcsin A24.16.(2019长春一模)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos Asin Acos C，且a2，则ABC面积的最大值为_.【答案】3【解析】因为cos Asin Acos C，所以bcos Asin Ccos Asin Acos C，所以bcos Asin(AC)，所以bcos Asin B，所以，又，a2，所以，得tan A，又A(0，)，则A，由余弦定理得(2)2b2c22bcb2c2bc2bcbcbc，即bc12，当且仅当bc2时取等号，从而ABC面积的最大值为123.17(2019绵阳模拟)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状【解析】(1)由已知，结合正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.又由余弦定理，得a2b2c22bccos A，所以bc2bccos A，即cos A.由于A为ABC的内角，所以A.(2)由已知2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，结合正弦定理，得2sin2A(2sin Bsin C)sin B(2sin Csin B)sin C，即sin2Asin2Bsin2Csin Bsin Csin2.又由sin Bsin C1，得sin2Bsin2C2sin Bsin C1，所以sin Bsin C，结合sin Bsin C1，解得sin Bsin C.因为BCA，所以BC，所以ABC是等腰三角形18.(2019潍坊一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a