（山东专用）2020版高考数学一轮复习专题24正弦定理与余弦定理的应用（含解析）.docx

专题24 正弦定理与余弦定理的应用一、【知识精讲】1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.微点提醒1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.二、【典例精练】考点一求距离、高度问题角度1测量高度问题【例11】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.【答案】100【解析】由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300(m).在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m).【解法小结】1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.角度2测量距离问题【例12】 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)【解析】在ABD中，由题意知，ADBBAD30，所以ABBD1 km，因为ABD120，由正弦定理得，解得AD km，在ACD中，由AC2AD2CD22ADCDcos 150，得93CD22CD，即CD23CD60，解得CD km(负值舍去)，BCBDCD km，两个小时小王和小李可徒步攀登1 25022 500米，即2.5千米，而1，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D无法确定【答案】A【解析】因为A和B都为三角形中的内角，由tan Atan B1，得1tan Atan B0，tan B0，即A，B为锐角，所以tan(AB)c,则bc=()A.32B.2C.3D.52【答案】B10.(2018衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，BAC60，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为OAC15，A地测得最高点H的仰角为HAO30，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210()米 B.140米C.210米 D.20()米【答案】B【解析】由题意，设ACx米，则BC(x40)米，在ABC内，由余弦定理：BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420(米).在ACH中，AC420米，CAH301545，CHA903060，由正弦定理：.可得CHAC140(米).11.(2018山东济宁二模,12)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-bcos A=23c,则tan(A-B)的最大值为()A.255B.55C.33D.3【答案】A12(2019届高三台州中学检测)在ABC中，若AB1，BC2，则角C的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为cAB1，aBC2，bAC.根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1b3，根据余弦定理cos C(a2b2c2)(4b21)(3b2)2.所以0C.故选A.13.(2019届湖北重点中学开学测试)ABC的面积S=14(a2+b2-c2),则角C的大小为.【答案】4514.(2019届山西康杰中学等名校9月联考)在ABC中,内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且asin A+bsin B-csin C=3bsin A,若c=2,则ABC面积的最大值为.【答案】2+315.(2019届安徽黄山11月八校联考)在ABC中,B=60,b=3,则当c+2a取最大值时,sin C=.【答案】27716.(2019届高三西湖区校级模拟)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos2Asin 2A2，b1，SABC，则A_，_.【答案】，2【解析】2cos2Asin 2A2，cos 2Asin 2A1，sin，0A0),则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cosAa+cosBb=sinCc中,得cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,得sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知及余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=35.所以sin A=1-cos2A=45.由(1)中sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,得45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.22.(2019届湖北、山东重点中学一联)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,已知acos A=R,其中R为ABC外接圆的半径,S为ABC的面积,a2+c2-b2=433S.(1)求sin C;(2)若a-b=2-3,求ABC的周长.【解析】(1)由正弦定理得a=2Rsin A,由已知得2Rsin Acos A=R,sin 2A=1.又02A2,2A=2,则A=4.S=12acsin B,a2+c2-b2=43312acsin B,由余弦