上海市交大附中2019届高三数学一模试题（含解析）.docx

上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题一、选择题(本大题共4小题，共12.0分)1.已知定义域为的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有()A. 7对B. 8对C. 9对D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】求出函数yx关于原点对称的函数为yx，x0，利用数形结合判断当x0时，f（x）3与yx，x0的交点个数即可【详解】当时，此时关于原点对称的点此时与没有交点，函数关于原点对称的函数为，即，若函数图象上存在关于原点对称的点，等价为当时，与，的交点个数即可，作出函数在时的图象如图，由图象知，函数分别关于对称，且函数的最大值为，当时，得，即，故当时，与，的交点个数有8个，即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选：B【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键注意利用数形结合，是中档题2.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有()A. 8桶B. 9桶C. 10桶D. 11桶【答案】B【解析】【分析】主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形【详解】易得第一层有桶，第二层最少有桶，第三层最少有桶，所以至少共有桶。故选【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握读图的方法是解题的关键，主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，属于基础题。3.已知，若，则下列不等式一定成立的是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先令a=0,排除A，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B成立【详解】令a=0，则，即-1x1,4,此时A,C,D不成立，下面证明选项B成立=故选：B【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题4.若，且，则的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图所示：，点C在劣弧AB上运动，表示C、D两点间的距离。的最大值是，最小值为.故选：D二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)5.已知集合，集合，则_【答案】【解析】6.若复数，其中是虚数单位，则_【答案】25【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的公式计算得答案【详解】由，得，则故答案为：25【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数模的求法，是基础题7.函数，则_【答案】0【解析】【分析】先根据函数的解析式求出f（1）的值，再求出ff（1）即可【详解】 所以故答案为0【点睛】本题考查求分段函数的值，关键是判断出自变量所属的范围，然后将自变量的值代入相应段的解析式求出值8.已知，则_【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系式，求得的值.【详解】根据同角三角函数关系式得.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题，要注意有两个解.9.已知数列的前项和为，则数列的通项公式_【答案】【解析】【分析】由，当n1时，a1S13当n2时，anSnSn1，即可得出【详解】当，且时，又，满足此通项公式，则数列的通项公式故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题10.已知实数满足约束条件，则目标函数的取值范围为_【答案】【解析】先作可行域，如图三角形ABC及其内部，则直线过点A(2,0)取最大值6，过点B(0,1)取最小值1，所以取值范围为点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11.已知函数，若其图象关于直线对称，则直线的倾斜角_【答案】【解析】【分析】化简函数yasin2x+bcos2x为一个角的函数形式，利用x是函数yasin2x+bcos2x图象的一条对称轴，求出a，b的值，然后求直线l的斜率与倾斜角【详解】函数(不全为0)的图象关于直线对称，设， ，当时，不妨取时，得；，解得，；直线：可化为：，它的斜率为，倾斜角是；故答案为：【点睛】本题考查了三角函数性质，两角和的正弦公式，直线倾斜角，熟记三角函数性质及公式是关键，是综合题目12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表看，六根等长的正四棱分成三组，榫卯起来如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】有题意可知：该球形容器得半径最小值为，所以表面积最小值为点睛：本题主要考察空间几何体，而柱体的外接球球心即为体对角线的中点位置13.已知，且，那么展开式中的常数项为_【答案】-20【解析】【分析】由题意令x1，可得n6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项【详解】已知，且，令，可得，那么的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：20【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题14.已知正实数满足，则的最小值为_【答案】55【解析】【分析】由题可得y0，解得0x21则xy+5x+4y3x+y+423x42331，再利用基本不等式的性质即可得出【详解】正实数满足，解得则，当且仅当时取等号的最小值为55故答案为：55【点睛】本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15.已知等边的边长为2，点在线段上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是_【答案】【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，AC： 由得 ， 16.过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为_【答案】【解析】【分析】设P（t，2t），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得【详解】点为直线上的任意一点，可设，则过的圆的方程为，化简可得，与已知圆的方程相减可得的方程为，由直线的方程为，联立两直线方程可解得，故线段的中点，点到直线的距离，即故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)17.在中，分别为角的对边，已知（I）求角的值；（II）若，求得取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由，得，解得，得到结果；（2）由余弦定理易得：，即，又，从而得到又因为，求得结果.试题解析：（I）由，得，即，解得.因为，所以. （II） ， 又因为，所以 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.在如图所示的组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与重合的一个点()若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与的所成角的大小；()当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，在中，利用余弦定理求，即可求解（2）分别求和，再求比值即可【详解】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，设圆柱的底面半径为，即，在中，又所以直线与所成角的大小等于.（2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，当点是弧的中点时，且平面，.【点睛】本题主要考查异面直线所成角，圆柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题19.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜,田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在CN上，规划在小路MN与AP的交点O(O与M、N不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米5万元，小路ON段的建造费用为每百米4万元（）若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；（）设, 求的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小【答案】（）4万元；（），小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元.【解析】【分析】（）在中用余弦定理计算的长度，故可得的长度后即得段的建筑费用.（）在中用正弦定理计算的长度后得到，令，将其变形为，利用辅助角公式可得，从而得到，验证等号成立后可得何时取最小值.【详解】（）在中， 即，故或（舎去），故，所以段的建筑费用为万元.（）由正弦定理得：在中，故， ，设小路和段的建造总费用为，则，令，且，即.由，得，故，即或（舍去）.当时，故，其中，故由，符合题意.答：，小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元.【点睛】把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.求形如的函数最值，可将该函数转化为形如的方程，利用得到的取值范围，验证等号能成立后可得函数的最值.20.过抛物线(其中)的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为(1)求抛物线的方程；(2)当时，求的值；(3)对于轴上给定的点(其中)，若过点和两点的直线交抛物线的准线点，求证：直线与轴交于一定点【答案】（1） ； （2）1； （3）见解析.【解析】【分析】（1）设直线AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，可得p4，即得抛物线方程；（2）推理证明=，整理即可得到所求值；（3）设A（，y1），B（，y2），P（2，s），运用三点共线的条件：斜率相等，可得s，设AP交x轴上的点为（t，0），运用韦达定理，化简整理可得所求定点【详解】(1)过抛物线(其中)的焦点的直线为，代入抛物线方程，可得，可设， 即有，解得，可得抛物线的方程为；(2)由直线过抛物线的焦点， 由（1）可得，将代入可得；(3)证明：设，由三点共线可得，可得，设交轴上的点为，即有，代入，结合，可得，即有，可得即有直线与轴交于一定点【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，抛物线定义，韦达定理的应用，考查化简运算能力，属于难题21.已知数列an为等比数列， 公比为 为数列an的前n项和.（1）若求;（2）若调换的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；（3）是否存在正常数，使得对任意正整数n，不等式总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由【答案】（1）17（2） （3）【解析】试题分析：（1）先根据条件求公比，再利用等比数列求和公式求比值（2）分类讨论三个数成等差情况，依次求出对应公比（3）