幂调和平均算子及其在模糊偏好关系群决策中的应用.pdf

第 卷 第 期运 筹 与 管 理 ， 年 月 收稿日期：- - 基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；安徽大学创新团队资助项目（，）；安徽大学青年基金资助项目 （）；安徽高等学校省级自然科学研究项目（） 作者简介：姚平（- ），男，安徽枞阳人，硕士研究生，主要研究：组合预测和决策分析；陈华友（- ），通讯作者，男，安徽和县人，教 授，博士生导师，主要研究：为预测和决策分析等；周礼刚（- ），男，安徽潜山人，讲师，博士生。 幂调和平均算子及其在模糊偏好关系群决策中的应用 姚 平， 陈华友， 周礼刚 （安徽大学 数学科学学院 ，安徽 合肥 ） 摘 要：传统的加权算术平均算子的权重没有考虑集成数据之间相互关系，是一种线性加权平均算子。 本文将 在幂平均算子和幂有序加权平均算子的基础上，考虑了集成数据之间相互支撑程度对权重的影响，提出幂调和 平均算子、幂加权调和平均算子和幂有序加权调和平均算子等概念，并且研究了它们相应的性质。 最后，探讨了 幂调和平均算子在模糊偏好关系的群决策中的应用，结果表明此方法是可行的和有效的。 关键词：群决策；模糊偏好关系；幂调和平均算子；性质 中图分类号： 文章标识码： 文章编号：- （）- - Power- Harmonic Average Operators and Its Application to Group Decision Making with Fuzzy Preference Relations ， - ， - （School of Mathematics Science， Anhui University， Hefei ， China） Abstract： ， - - （）， （） ， - - （）， （） - （） ， ， - Key words： ； ； - （）； 引言 信息集结算子为数据集结提供一个有用的工具，在过去十余年里，信息集结算子的研究越来越受到国 内外学者的广泛重视 。 文献提出有序加权平均算子在决策中的应用； 文献进一步探讨了有 序加权平均算子的理论和应用；文献提出诱导有序加权平均算子；文献提出不确定有序加权平均 算子；文献针对区间数据的集成，提出了连续区间有序加权平均算子； 文献针对语言偏好信息提 出了语言有序加权平均算子；文献把诱导有序加权平均算子推广到广义的情形，获得了一大类有序加 权平均算子；文献基于偏差的最优化模型，提出了广义有序加权对数平均算子。 在以上的多种算子集 结数据信息的过程中，对应的权重的确定方法均没有考虑数据之间的联系。 因此有必要考虑其相互之间 的支撑程度对权重系数的影响。 基于上述考虑，文献提出了幂平均算子的概念，最近文献在此基础上提出了幂几何平均算 子、不确定的幂几何平均算子和不确定的幂有序几何平均算子等。 事实上，平均集成算子包括加权算术平 均、加权几何平均和加权调和平均。 因此本文在幂平均算子和调和平均概念的基础上，提出幂调和平均算 子、幂加权调和平均算子和幂有序加权平均调和算子等新的概念，并且研究了它们相应的性质，且探讨了 幂加权调和算子在模糊偏好关系群决策中的应用，实例分析说明本文方法的可行性和有效性。 幂调和平均算子及其拓展概念和性质 1 1 幂调和平均算子 提出了幂平均（PA）算子的概念，基于算子和调和平均算子，我们提出如下幂调和平均算子。 定义 1 设 PH：R nR 为 n 元函数，若 PH（a，a，an） n i （ T（ai） n j （ T（aj） ai （） 则称函数 PH 是幂调和平均算子，简称 PH 算子。其中 ai（i ，n） 为一组集结数据 T（ai） n j ，ji（a i，aj）， （i ，n） （） 这里 （a，b）是表示数据 b 对 a 的支撑度，且满足三个性质：（） （a，b），；（）（a，b） （b，a）；（）如果 a b x y ，那么 （a，b）（x，y）；即数据 b 和 a 的距离越近，则数据 b 对 a 的 支撑度 （a，b）值就越大。 因为数据 ai的权重 （ T（ai） n j （ T（aj） 依赖所有的输入数据，所以 PH 算子是一个非线性 的加权调和算子。 对于 PH 算子，具有如下一些性质： 定理1 设 （ai，aj） k，k， 为常数， （i j；i，j ，n）， 那么 PH（a，a，an） n n i （ ai） 。 证明 当 （ai，aj） k 时，由（）式知： T（ai） （n ）k 且 T（ai） （n ）k ；则（ T（ai） n j （ T（aj） n ，由（）得 PH（a， a，an）。 证毕。 定理 表明，当所有的数据之间的支撑度都相同时，PH 算子就退化到简单的调和平均算子。 特别地，当 （ai，aj） （ij；i，j ，n），即所有数据之间支撑度为 ，则由定理 知 PH 算子 简化为简单的调和平均算子。 定理 2 设 ai（i ，n）为一组集结数据，PH 算子具有以下性质： （）（置换不变性）如果（b，b，bn）是（a，a，an）的任一置换，那么 PH（b，b，bn） PH（a， a，an）。 （）（幂等性）如果 ai a（i ，n），则 PH（a，a，an） a。 （）（有界性） i （ai）PH（a，a，an） i （ai）。 证明 （）设（b，b，bn）是（a，a，an）的任一置换，则存在一个置换函数 ：，n， ，n，使得 bi a （i），i ，n，由（）式得 T（bi） n j ，ji（b i，bj） n j ，ji（a （i），a （j） T（a （i） （） 由（）（）式，并注意到 n j T（a （j） n j T（aj） ，则有： 运 筹 与 管 理 年第 卷 PH（b，b，bn） n i （ T（bi） n j （ T（bj） bi n i （ T（a （i） n j （ T（a （j） a （i） （ n j （ T（aj） n i （ T（aj） ai） （ n j （ T（a （j） n i （ T（a （i） a （i） n i （ T（ai） n j （ T（aj） ai PH（a，a，an） （）因为 ai a（i ，n），所以 （ai，aj） （a，a），橙i，j ，n，即所有的数据之间的 支撑度都相等，由定理 可知结论成立。 （）注意到 （ T（ai） n j （ T（aj） （i ，n），且 n i （ T（ai） n j （ T（aj） ，因此有 i （ai） n i （ T（ai） n j （ T（aj） ai i （ai） 此即： i （ai） n i （ T（ai） n j （ T（aj） ai i （ai） 由（）式知 i （ai）PH（a，a，an） i （ai）。 证毕。 1 2 加权幂调和平均算子 在（）式中，仅仅考虑到数据之间的支撑度是同等重要的情形，但是在很多情况下，数据之间的重要 性是不同的，需要赋予不同的权重，为此需要提出加权幂调和平均算子。 定义 2 设 PHw：R nR 为 n 元函数，若 PHw（a，a，an） n i （wi（ T （a i） n j wj（ T （a j） ai （） 那么称 PHw是加权幂调和平均算子，也称 PHw算子。 其中 T （a i） n j ，jiw j（ai，aj），wi ，i ，n， n i wi（） 显然，如果 wi n （i ，n）时，PHw算子就退化为算子。 1 3 幂有序加权调和平均算子 基于 POWA 算子和调和平均算子，下面我们给出幂有序加权平均算子。 定义 3 设 POWH：R nR 为 n 元函数，若 POWH（a，a，an） n i ui aindex（i） （） 那么称 POWH 是幂有序加权调和平均算子，简称 POWH 算子。 其中 aindex（i）是集结数据 a，a，an中的 第 i 个大的数据值，加权向量 uig（ i j Vindex（j） n j Vindex（j） g（ i j Vindex（j） n j Vindex（j）（） 这里Vindex（i） T（aindex（i）， T（aindex（i） n j ，ji（a index（i），aindex（j） （） 基本单位区间（BUM）函数 g：，满足：（）g（） ；（）g（） ；（）如果 x y，那么g（x） g（y）。 从定义 和定义 可知，PH 算子和 POWH 算子均考虑输入数据之间的关系，它们之间不同在于 PH 算子强调若某个集结数据受到其它数据的支撑度越大，则赋的权重就越大，而 POWH 算子赋的权重不仅 与数据的支撑度有关，而且与数据所在的位置有关。 第 期 姚 平，等： 幂调和平均算子及其在模糊偏好关系群决策中的应用 下面我们将讨论 POWH 的一些性质。 定理3 设 （ai，aj） k（ij，i，j ，n），且 g（x） x，则 POWH（a，a，an） n n i ai （） 证明 因为 g（x） x，所以由（）、（）式得 ui i j Vindex（j） n j Vindex（j） i j Vindex（j） n j Vindex（j）Vindex（i） TV T（aindex（i） n j T（aindex（j）（） 因为 （ai，aj） k（ij；i，j ，n），所以 （aindex（i），aindex（j） k（ij，i，j ，n），则由（）、 （）式知： T（aindex（i） n j ，ji（a index（i），aindex（j） n j ，jik （n ）k （） 把（）式代入（）式，所以 ui n，再由（）式，从而有 POWH（a，a，an） （ n n i aindex（i） ） n n i aindex（i） n n i ai 证毕。 定理 表明，当所有集结数据之间的支撑度都相同的时候，且基本单位区间函数 g（x） x，则 POWH 算子就退化为简单的调和平均算子，即 POWH 算子是简单的调和平均算子的推广。 类似于定理 的证明方法，我们可以获得 POWH 算子的性质，限于篇幅，证明从略。 定理4 设 a，a，an为一组集结数据，那么我们有以下性质 （）（置换不变性）如果（b，b，bn）是（a，a，an）的任一置换，那么 POWH（b，b，bn） POWH（a，a，an）； （）（幂等性）如果 ai a（i ，n），则 POWH（a，a，an） a； （）（有界性） i （ai）POWH（a，a，an） i （ai）。 基于幂调和平均算子的模糊偏好关系群决策方法 设 X x，x，xn为决策方案集，E e，e，em为专家集合，设决策者的权重向量为 w w， w，wm T，w i，i ，m， m i wi ，专家对决策方案进行两两比较，按，标度进行赋值给出模 糊偏好关系矩阵 A （k） （a （k） ij）n n（也称为互补判断矩阵），（k ，m）。 为了集结专家的模糊偏好 信息，本文利用加权幂调和平均算子来集结模糊偏好关系，该群决策方法的步骤如下： Step 1 利用专家权重向量 w w，w，wm和专家给出的模糊偏好关系值之间的支撑度计算各 个专家的加权平均模糊偏好关系的支撑度，即： T （a（k） ij） m l ，lkw l（a （k） ij，a （l） ij）， （i，j ，n；k ，m）（） 其中（a （k） ij，a （l） ij） a （k） ija （l） ij m p ，pk a （k） ij，a （p） ij ， （i，j ，n）（） 特别地，如果 m p ，pk a （k） ij a （p） ij ，则令 （a （k） ij，a （l） ij） 。 这里 T （a（k） ij）表示第 k 个专家给出的模糊偏好关系值 a （k） ij来自其他 m 个专家给出的对应的模糊 偏好关系的加权平均支撑度。 令 Tk （T （a（k） ij）n n表示以 T （a（k） ij）为元素的 n 阶加权平均支撑度方阵。 Step 2 利用加权幂调和平均算子将模糊偏好关系矩阵 A （k） （a （k） ij）n n集结成群决策模糊偏好关系 矩阵 A （aij）n n，其中 运 筹 与 管 理 年第 卷 aijPHw（a （） ij，a （） ij，a （m） ij） m k （wk（ T （a（k） ij） m l wl（ T （a（l） ij） a （k） ij aji aij，j i（） Step 3 利用文献给出的行和归一化方法，可求出第 i 个方案 xi的排序值： vi n j aij n i n j aij， i ，n（） Step 4 把 vi按大小排序，vi越大，则 xi就越好。 实例分析 本文对应用文献中实例进行了改编，利用本文提出的方法探讨了幂调和平均算子在模糊偏好关 系的群决策中的应用。 假设有四个大学生，他们住一个寝室里。 他们就安装宽带问题进行了如下群决策。 因特网服务商提供了四种宽带服务，即： （）x： 宽带 ；（）x： 宽带；（）x： 宽带；（）x： 宽带。 若四个学生 ek（k ，）根据自己愿意负担的每一个月的网费的数量来确定其在群决策中权重， 设他们的决策权重向量为 w （ ， ， ， ） T。 四个大学生根据自己的需要对四种宽带网络服务给 出两两比较的模糊偏好关系矩阵 A，A，A，A。 A （） ， A （） A （） ， A （） 根据 ， 利用专家权重向量和（）、（）式，计算出每个大学生来自其他三个大学生给出的模糊 偏好关系值的加权平均支撑度方阵，则有： T