市场约束条件下的非寿险费率厘定.pdf

第2 l 卷第3 期 2 0 1 2 年6 月 运 筹 与 管理 O P E R A T I O N SR E S E A R C HA N D M A N A G E M E N TS C I E N C E V 0 1 2 l ，N o 3 J u n 2 0 1 2 市场约束条件下的非寿险费率厘定 孟生旺，邱怡轩，肖宇谷 ( 中国人民大学统计学院，北京1 0 0 8 7 2 ) 摘要：在非寿险费率厘定中，经常遇到的一个实际问题是某些风险类别的费率不能过高或不能过低。在这种 约束条件下，传统的广义线性模型将不能直接用于费率厘定。本文给出了一种在一般线性约束条件下，如何应 用迭代算法对常用的广义线性模型进行调整，从而得到满足特定约束条件的费率厘定结果。本文的实证研究结 果表明，该方法具有灵活性和现实可行性，能够解决非寿险费率厘定中常见的市场约束问题。 美键词：保险；非寿险；市场约束；广义线性模型：费率厘定 中图分类号：F 8 4 0 6 3文章标识码：A文章编号：1 0 0 7 - 3 2 2 1 1 2 0 1 2 ) 0 3 0 1 9 3 0 7 N o n - l i f eI n s u r a n c eR a t e m a k i n gU n d e rM a r k e tC o n s t r a i n t s M E N GS h e n g w a n g ，Q I uY i - x l l a n ，X I A OY u g u ( S c h o o lo f S t a t i s t i c s ，R e n m i nU n i v e r s i t yo f C h i n a ，B e 寄 i n g1 0 0 8 7 2 ，C h i n a ) A b s t r a c t ：I nn o n l i f ei n s u r a n c er a t e m a k i n g ，a c t u a r i e so f t e nf a c et h ec h a l l e n g i n go fc o n t r o l l i n gt h ep r e m i u mo f s o m es p e c i a lr i s kc l a s s e sw i t h i nas p e c i f i e di n t e r v a l G e n e r a l i z e dl i n e a rm o d e l sc a nn o tb es t r a i g h t l ya p p l i e di n t h i sc i r c u m s t a n c e T h ep a p e r p r o p o s e sam e t h o dt oa d j u s tt h eg e n e r a l i z e dl i n e a rm o d e l sb yr e c u r s i v ea l g o r i t h mt o p r o d u c et h ep r e m i u mr a t e st h a tc a nm e e tt h eg e n e r a ll i n e a rc o n s t r a i n t s O u ra p p l i c a t i o ns h o w st h a tt h em e t h o di s f l e x i b l ea n df e a s i b l ea n dc a ns o l v et h ec o m m o np r o b l e m so fm a r k e tc o n s t r a i n t s0 nn o n 1 i f ei n s u r a n c er a t e m a k i n g K e yw o r d s ：i n s u r a n c e ；n o n l i f ei n s u r a n c e ；m a r k e tc o n s t r a i n t ；G L M ；r a t e m a k i n g 0 引言 在非寿险定价中，通常需要对个体风险进行分类，并在分类的基础上厘定各个风险类别的费率，得到 所谓的分类费率。广义线性模型是厘定分类费率最常用的模型。针对不同的因变量，广义线性模型可以 有各种不同的具体形式，譬如，预测索赔频率可以用泊松回归，预测索赔强度可以用伽马回归，而预测纯保 费则可以用T w e e d i e 回归等，参见孟生旺。 对广义线性模型回归系数的估计，最常用的方法是极大似然法。对于指数分布族而言，具体方法包括 N e w t o n - R a p h s o n 迭代法和得分法等。然而在一些特殊情况下，传统的估计方法可能并不完全适用。譬如， 有时由于市场因素或政策因素的影响，需要对某些风险类别的保费水平进行限制。在我国的机动车辆保 险中，拖拉机在2 0 0 9 年的经验赔付率超过了1 6 0 ，远远高于机动车辆的平均赔付率7 8 ，这说明拖拉机 的费率是偏低的，而这正是政策干预的结果。即拖拉机的保费水平受到了上限约束。 收蓓日期：2 0 1 l 一0 4 - 2 6 基金项目：回家自然科学垂金习i 目( 7 1 1 7 1 1 9 3 ) ；教育郜重点研究基地重大项目( 1 2 J J l 3 7 9 0 0 2 5 ) ；中国人民大学科擘研宄基全礓目( 中央 高校基本科研业务费专项费全资助) ( 1 0 X N i 0 0 1 ) 作者简介：盂生旺( 1 9 6 6 ) ，男，教授。博士生导师。研究方向为风险管理与精鼻；邱怕轩男研究生；肖宇各。男讲师研究方向为风险 管理与精算。 万方数据 1 9 4运筹与管理2 0 1 2 年第2 l 卷 在特定的约束条件下。传统的处理方法是假设约束前后所有风险类别的总保费不变并将受约束风险 类别的保费设定为临界值，然后将这些约束造成的保费不足在其它风险类别中按某种比例进行分摊，通常 采用的分摊比例是基于各个风险类别的保费计算的，参见W e m e re ta 1 1 1 。这种方法虽然可以确保各个 风险类别的保费满足特定的约束条件，但它对保费不足部分的分摊是一种事后调整，没有准确反映各个风 险类别之间的相互关系，从而可能导致最终的费率厘定结果是不公平的。 解决费率约束问题的另一种方法是利用广义线性模型中的抵消项( O f f s e t ) ，参见Y a he ta 1 ”1 和 S h i 4 j 。这种方法在参数估计过程中就加入了给定的约束条件，且没有违背广义线性模型的基本假定，可 以解决简单的等式费率约束问题。但这种方法只适用于对费率因子的等式约束，如果约束条件较为复杂， 这种方法也无法应用。 本文将在更加一般的约束条件下，探讨如何应用广义线性模型厘定分类费率。广义线性模型的参数 估计通常采用极大似然法。在费率约束条件下，似然蠡数中豹参数取值范围会受到一定限制，因此。这对 的极大似然估计实际上是一个有约束的最优化问题。具体到广义线性模型，本文给出了一种迭代算法用 以实现约柬条件下的极大似然估计。在这种方法下，对费率的约束可以是不等式，也不再局限于单一的自 变量，可以是自变量的任意线性组合。同时，基于指数分布族的一些优良性质，参数的极大似然估计可以 通过易于实现的迭代算法求得。 本文第2 部分简要介绍了在等式约束条件下如何应用广义线性模型的抵消项厘定分类费率；第3 部 分讨论了在一般线性约束条件下，如何应用迭代算法估计广义线性模型的参数，从而厘定分类费率；第4 部分是在般费率约束条件下应用广义线性模型厘定费率的一个实例；第5 部分对本文进行了简要总结。 1 等式约束下的费率厘定 如果费率约束可以表示为一种简单的等式关系，那么应用抵消项就可以解决广义线性模型中的参数 估计问题。下面通过一个简例来说明这种方法的基本思想。令p 表示某个风险类别的保费，受两个分类 变量A 和8 的影响。A 和召各有四个水平，分别是A ；。A ：，A ，A 。，B ；。B ：。色和吼，不妨假定A ；和占，是基 准水平，采用对数连接函数( 注：本文的l o g 表示自然对数) ，则模型可以表示为 l o g ( 让) = 卢0 + 卢o A 2 + 卢2 3 + 卢3 A 4 + J B 4 8 2 + 风口，+ I B 6 8 4( 1 ) 在式中，当分类变量的取值为某个水平时，该水平的值为1 ，其他水平的值为0 。譬如。如果分类变量 A 的取值为A ：，则A ：= 1 。其他水平的值为0 ，即A 。= A ，= 。= 0 。 现在假设把分类变量A 的第二个和第三个水平的相对费率系数分别限定为1 I 和1 2 ，亦即 l o g 卢。= 1 1 ，l o g 卢：= 1 2 。在这种约束条件下，为了对其余的参数进行估计，首先需要构造一个新的自变 量C ，它是一个三水平的分类变量，且满足当A = A 。时。C = C 。；当A = A 2 或A 3 时C = C 2 ；当A = A 时， c = C ，；并设定C 。为基准费率，则式( 1 ) 可以变形如下： 堍( 弘) = l o g ( o f f s e t ) + + 氆I e l + q 2 q + a 3 岛+ 在矗，+ 毋 2 ， 其中o f f s e t 即为抵消项，可以看作是回归系效被固定为l 的一个特殊自变量。当A = A ：时，够d = 1 1 ；当 A = A ，时，碜以= 1 2 ；对于其它水平o f f s e t = 1 。 在( 2 ) 式中，原来有约束的广义线性模型就转变成了无约束的模型，因此可以应用传统的方法进行参 数估计。通过抵消项可以处理筒单的等式约束，但无法处理更为复杂的般线性约束问题。例如。如果要 求风险类别( A ：，B ：) 的保费不超过1 0 0 0 ，则约束条件可以表示为： 口o + 口l + 3 4 l o g ( 1 0 0 0 ) 显然，很难通过抵消项来处理此类较为复杂的约束问题。下面将给出处理一般线性费率约束问题的 广义线性模型及其参数估计方法。 2 一般线性约束下的费率厘定 为了便于表述，首先引入一些记号。令K 表示因变量的第i 个观测，如第i 个风险类别的随机损失i = I 2 ， 万方数据 第3 期孟生旺，等：市场约束奈件下的非寿险费率厘定 1 9 5 ，l 。纵= ( y f ) 是期望，表示第i 个风险类别的纯保费。假设r 的分布属于指数分布族，其密度函数为： ，( y ；) ：。( ，。，币) 。；p 盟；盟 ( 3 ) U 其中仍表示自然参数，与地具有一一对应关系，不同的风险类别有不同的取值。口( ) 和c ( ，) 是已知 函数，对所有风险类别具有相同的形式。币是离散参数。对所有风险类别取相同的值。n 个观测数据的对 数似然函数可以表示为： j ：童 l n c ( 咖) + 盟；盟 ( 4 ) 两【， 广义线性模型的基本形式为 g ( I 上；) = 并留 ( 5 ) 其中g ( ) 是连接函数石：是一个( P + 1 ) 维向量( 包括截距项和P 个解释变量) ，表示第i 个观测所对应的 自变量取值，3 是这个( P + 1 ) 变量的回归系数。 由式( 5 ) 可以看出，对纯保费他的约束，实际上就是对回归系数卢的线性约柬。为了叙述上的统一， 可以将所有的约束条件表达成式( 6 ) 的形式： 因为风表示基础类别的费率，它的变化对所有风险类别具有相同的影响，所以在( 6 ) 式中，风的系数 通常取1 或一1 ，即= l ，f = 1 ，h 。 需要注意的是，如果约束条件中存在等式约束，例如卢。+ 帮：= 5 ，则可以将其改写成 瓮二- 5 以满足式中的约定腻记 ，c = ( c l ，C 2 ，c ) 则( 6 ) 式可以简写为印一c 。，约束条件下的极大似然估计可以表述为： 茅竺：。 上述的极大似然估计事实上就是一个有约束的最优化问题，可以通过引入惩罚函数将其转化为一般 的无约束优化问题，为此令 出) 筹川舻邯H 吲邸_ c ) ( 7 ) 其中 是一个很大的正数。当约束条件郎一c O 不满足时，式( 7 ) 的右边将减去一个很大的正数，这相 当于对目标函数进行了“惩罚”。特别地，当A 的取值趋于正无穷时，为了避免惩罚项的影响，芦将被迫满 足约束条件。从而使得惩罚项趋于0 。 容易看出，妒( ) 具有连续的一阶和二阶导数，因此为了求得J B 的最优解，可以采用N e w t o n R a p h s o n 迭 代法。记 帅) = 警，耶) = 等 ( 8 ) 则求解| I B 的迭代公式为卢_ “= 卢h 一日( 卢h ) “，I ( 卢佃) ( 9 ) 由于似然函数的二阶导数形式一般比较复杂，所以往往会用其期望值来代替真实值，这也就是广义线 性模型的参数估计中常用的F i s h e r 得分法。 根据广义线性模型中已有的结果，参见d eJ o n ge ta 1 川，有 警：1 ，孵( y 一弘) ( 1 0 ) 旧函 、 6 q 包 气 v ， p P P j 捕。 哺 口 n 口 + + + + + + 袖 蛐 口 o d + + + 8 8 8 口 口 口 + + + 风风 风 鲫 唰 一 蛳 舢 印 ， 鼬 万方数据 1 9 6 运 筹与管 理 2 0 1 2 年第2 l 卷 E 哿 - - 唧 ( 1 1 ) 其中X 是设计矩阵，Y 是因变量观测值。弘是因变量的期望，形和G 都是对角矩阵，其对角线上的元素分别 为瓦灭瓦而和( 地) ，( ) 是连接函数的一阶导数( ) 是分布的方差函数。 对于式( 7 ) 等号右边的第二项。记P = 妒( 帮一c ) ，J = ( 1 ，1 ，1 ) 。并令s 是一个对角阵，对角线上的 第i 个元素为s = m a x ( O ，0 0 + 口n 反+ 口茳l s 2 + + 口自岛一q ) ，则可以证明： 芸- 3 A ，s 2 卜翥矧S A ( 1 2 ) 将式( 7 ) 、( 1 0 ) 、( 1 1 ) 和( 1 2 ) 代入式( 8 ) ，即可得到 矗( 卢) = x7 V f G ( y - I z ) 3 , ，a A S 2 ， ，目( 芦) * 一 x W X + 6 咖A A 5 A o0 考虑到A 本身是一个很大的正数，其选择具有一定的任意性，因此不妨令A = 3 咖A ，则A 也是一个 任意指定的很大的正数。于是由式( 9 ) 可知，约束条件下求解卢的迭代公式可以表示为： 卢“+ ”= 卢”+ ( X 7 W X + 2 A A S A ) 一1 X W G ( Y p ) + A A S 2 ， ( 1 3 ) 在式中，每得到一个薪的芦h ，矽、S 、G 和p 都要进行相应的更新；当前后两步迭代中p h 与芦佃“的 差距小于一个给定水平时，即可停止迭代，此时的舟m 川即为最终的回归系数估计值。 3 应用实例 在分类费率厘定中，通常需要分别建立索赔频率和索赔强度的广义线性模型，然后将它们合并得到纯 保费的广义线性模型。为简化起见。不失般性，本文假设索赔强度对所有的风险类别是相同的，不妨假 设为1 0 0 0 0 ，因此索赔频率的估计结果乘以1 0 0 0 0 就是纯保费的估计值。 本文的数据来自I s m a i le ta 1 6 1 和C h e o n ge ta 1 7 1 。是一组汽车保险的数据，因变量是各个风险类别的 索赔次数，解释变量包括保障类型、汽车产地、汽车用途、驾驶员性别、车龄和驾驶员的居住地区。该组数 据中同时给出了各个风险类别的风险单位数( 即车年数) ，可以作为权数使用。解释变量都是分类变量， 它们各自的水平如表1 所示。表2 给出了部分数据的格式。 衰1 分类变量及其水平 表2 数据格式示例 分类变量水平 保障类型 汽车产地 综合险 非综合险 国内 国外 用途及性别 男性个人 女性个人 商务 车龄 0 至1 年 2 至3 年 4 至5 年 6 年以上 地区 中部 北酃 东部 南部 东马 保障汽车用途及 车龄地区 索赔风险 类型产地性别 次数单位敷 中部 3 3 l4 2 4 3 j 部 1 4 62 5 6 7 男性个人。至1 年东部 4 45 9 8 南部 1 6 l1 2 S l 综 东马 8 2 1 9 合 国内 险 中部 04 6 8 北部 l9 3 齑务6 年以上东部 O3 3 南部 O7 7 东马 O2 5 在索赔次数或索赔频率的预测中，通常使用泊松回归模型。下面假设索赔次数y j 服从泊松分布。满 足如下关系：E ( ) = z 。，V a r ( ) = 心。 在泊松回归中，通常取对数连接函数，此时解释变量对纯保费的影响表现为乘法关系。泊松回归的一 般形式为： l o g ( 吐f ) = l o g ( n ) + 卢o + 卢I 茁f I + + 卢P 石咖 ( 1 4 ) 在( 1 4 ) 式中，风险单位数珏；被称作是抵消项。不难看出，在泊松回归中，实际上是对每个风险单位的 万方数据 第3 期盂生旺，等：市场约束条件下的非寿险费率厘定 1 9 7 索赔频率弘n 进行估计。 初步的参数估计结果表明，“地区”变量的一个水平“南部”在统计上不显著，所以将其与基准水平 “中部”合并为“中南部”，最后剩余1 1 个系数需要进行估计，估计结果如表3 所示。从P 值可以看出表3 中的回归系数都是高度显著的。 表3 无约束条件下回归系数的估计结果 在没有约束的条件下，索赔频率的观测值与拟合值之间的关系如图1 的左侧所示。为了说明约束条 件下的费率厘定，表4 给出了三个任意选定的风险类别。下面假设对表4 中的这三个风险类别，纯保费 不能超过3 0 0 元，且不能低于1 0 0 元，亦即索赔频率的拟合值要落在区间 0 O l ，0 。0 3 内。 囊4 任意选定的三个风险类别 根据( 6 ) 式和( 1 4 ) 式，对这三个风险类别的约束条件可以用矩阵表示如下： A = l o g ( 0 0 3 ) 一l o g ( O 0 1 1 l o g ( O 0 3 ) 一l o g ( 0 0 1 ) l o g ( 0 0 3 ) 一l o g ( O 0 1 ) 矩阵A 和C 的1 2 行是对第1 个风险类别的约束3 4 行是对第2 个风险类别的约束，5 6 行是对第3 个风险类别的约束。以矩阵A 的第1 行为例，它对应第1 个风险类别，所以该行的元索取值分别为：截距项 ( 风= 1 ) 。综合险( J B l = O ) ，国内生产( 岛= 0 ) ，男性个人( 岛= O ，风= 0 ) ，车龄2 3 年( 岛= 1 ，风= O ，卢，= O ) ，区 域为东马( 犀。= I ，岛= l ，犀。= O ) 。由于要求这个风险类别的索赔频率拟合值小于0 0 3 ，所以c 中的对应项为 l o g ( 0 0 3 ) 。矩阵A 和c 的第2 行约束表示第1 个风险类别的索赔频率拟合值还应该大于0 0 1 。 应用本文的方法，通过迭代算法可以求得上述约束条件下的回归系数估计值如表5 的第2 列所示。 如果只对表4 中任意选定的三个风险类别实施约束，则所有风险类别的索赔频率拟合值如图1 的右 边所示。加入约束条件以后，表4 中这三个风险类别的索赔频率拟合值分别为0 0 3 、0 O l 和0 0 1 1 5 。相 应的纯保费估计值分别为3 0 0 元、1 0 0 元和1 1 5 元，满足纯保费大于1 0 0 元，小于3 0 0 元的约束条件。在前 述约束条件下，其他风险类别的费率也会相应调整，从而确保总体保费水平不受影响。在该例中，由于只 对三个风险类别进行了约束，所以从图1 右边可以看出，对其他风险类别的拟合值影响不是很大。 0 O O O O O l l l 1 一 l 一 1 一 O O 0 O O Ol O O O O l 一 0 D 0 O 0 D l l l 一 1 一 O O l O 0 O 0 1 一 l 0 0 l O O l O O 0 0 l - O O O O O 0 1 1 l l l l 一 万方数据 1 9 8运筹与管理2 0 1 2 年第2 l 卷 d掣 磊d 量 鍪 莹 薹葛 善 。 蠹 愀 8 o 0 0 00 0 40 0 80 1 2 索赔频率脱测值 砻 ；豸 基 糌 器 蛮 氆 g 善 蠹 = 0 0 00 0 40 0 80 1 2 索赔领率观测值 图1 对任意三个风险类别约束前后的索赔频率预测值 在某些情况下，所有风险类别的费率可能同时会受到上限的约束。不妨假设所有风险类别的保费不 能超过5 0 0 ，即索赔频率的拟合值不超过0 0 5 ，则回归系数的估计值如表5 的第三列所示。约束前后的索 赔频率预测值如图2 所示。在无约束的条件下，有9 个风险类别的索赔频率预测值超过了0 0 5 ，如图2 左 侧的实心圆点所示。在约束条件下，它们的索赔频率预测值都没有超过0 0 5 。由于这里对所有风险类别 进行了约束，所以与图1 相比，更多风险类别的索赔频率预测值受到了影响。 g 著 疆 静 骤 誊 餐 S 善 蒜 鲁 ；彭 g 释 器 誊 釜 譬 善 意 o O 。0 00 ，0 40 0 80 ，1 20 0 00 0 40 0 80 1 2 索赔频率怼铡位索嫩频率或测值 图2 对所有风险类别约束前后的索赔频率预测值 田0 6 寸o o o o o 万方数据 第3 期盂生旺，等：市场约束条件下的非寿险费率厘定 1 9 9 4 结论 市场约束在非寿险定价中是一个比较常见的问题。对某些风险类别的费率实施特定的上限约束通常 会导致总保费的不足。处理这种问题的常用方法是，把费率约束所导致的保费不足按照某种比例在其他 风险类别之间进行分摊。这种处理方法简单易行，但存在的问题是未能考虑风险类别之间的相互关系，分 摊结果可能导致新的不公平。在应用广义线性模型厘定分类费率的情况下可以通过抵消项事先设定某 些风险类别的费率，并在此基础上厘定其他风险类别的费率。这种方法比常用的比例分摊方法有所改进， 考虑了风险类别之间的相互关系，费率厘定结果的公平性有所改善，但其不足是仅适用于简单的等式费率 约束，每次只能考虑一个水平的约束。不能解决更为一般的线性约束问题。本文提出的方法可以在一般线 性约束条件下对广义线性模型的参数进行极大似然估计，从而可以解决各种类型的线性费率约束问题。 实证研究结果表明，这种方法具有较大的灵活性和现实可行性，能够有效解决非寿险费率厘定中常见的市 场约束问题。 参考文献： 【1 孟生旺广义线性模型在汽车保险定价中的应用 J 数理统计与管理，2 0 0 7 ，( 1 ) ：2 4 2 9 2 W c m e r G 。M o d l i nc B a s i cr a t e m a k i n g M C a s u a l yA c t u a r i a lS o c i e t y ，2 0 1 0 【3 Y a nJ ，G u s z c z aJ ，F l y n nM W uC A p p l i c a t i o n so ft h eo f f s e ti np r