随机利率下双分红的变保费复合帕斯卡模型.pdf

第 卷 第 期运 筹 与 管 理 ， 年 月 收稿日期：- - 基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；江苏省研究生教育教学改革研究与实践课题资助项目（- ）；江苏省“青 蓝工程”科技创新团队资助项目（） 作者简介：殷静燕（- ），江苏无锡人，研究方向：数理金融。 随机利率下双分红的变保费复合帕斯卡模型 殷静燕 （南京航空航天大学 理学院，江苏 南京 ） 摘 要：利润最大化风险最小化是保险公司运营所追求的目标，破产概率为公司进行风险决策提供了依据。 本 文基于随机利率环境下，保费随公司盈余水平调整的双分红复合帕斯卡模型，研究了股份制保险公司的有限时 间破产概率。 我们证明了公司盈余过程的齐次马氏性，得到了有限时间破产概率的计算方法，最后给出了具体 算例。 关键词：概率论与数理统计；有限时间破产概率；齐次马氏性；复合帕斯卡模型；双分红 中图分类号： 文章标识码： 文章编号：- （）- - Compound Pascal Model with Two Dividends and Varying Premium Rate Under Random Interest - （College of Science， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing ， China） Abstract： ， ， ， ， - Key words： ； ； ； ； 引言 现在的商业保险企业在运营过程中追求的目标是在利润最大化同时将风险控制在所能承受的范围之 内。 因此，在公司运营时进行风险评估是一项重要工作。 破产概率一直以来都是风险理论中研究者们关 注的焦点，通过对它的刻画，可以对保险公司经营过程中的风险进行评估与预测，为保险公司决策者提供 一个早期的风险警示。 破产概率越小说明公司运营情况良好，经营风险也越小。 这样，对破产概率的计算 就成为核心问题。 对于经典的复合泊松模型及其离散化形式的复合二项模型和复合帕斯卡模型，研究者们已进行了较 多的研究 。 然而，随着保险业的发展，要求考虑的模型更加接近和符合现实。 利率是市场环境下不可 忽视的因素， 和 研究了利率为常数的复合泊松模型 ， 和 研究了利率为马氏链 的一般离散模型，给出了破产概率的递推式 ， 和 则考虑了利率受马氏调控的复合帕斯卡模 型 。 此外，保费率常常受到随机环境的影响，考虑变化的保费率显然更为合理， 研究了保费 率依据保险公司当前的风险盈余水平调整的风险模型的破产概率 ， 则考虑了保费收入为随机 的情形 。 为了融资或吸引投保，保险公司在考虑盈利的同时再考虑给股票持有者或者投保者分红，如 和 提出了带随机分红的复合二项模型 ，得到了折罚函数的递推式及渐进估计， 和 又 对该模型进行了推广 。 综合考虑上述利率、变化的保费率及分红这三个因素，针对在股份制保险公司中，当公司发行了分红 型保险产品，公司盈余达到一定水平之后，除了要向投保者分红，股东还有可能提出分红请求的情形，本文 研究利率按马氏环境变化，保费率依据公司盈余水平随机调整，同时随机向投保人和股东分红的复合帕斯 卡模型。 我们将证明盈余过程的齐次马氏性，借助该性质给出有限时间破产概率的计算方法，并给出具体 计算实例。 模型及预备知识 为了描述的方便，我们先引入如下记号和术语。 （）记 n为时间区间（n ，n上发生的索赔次数，n；n ，为独立同分布的随机变量序列， 且服从几何分布 P n k （ p）p k，k ，到 n 时刻的总索赔次数记为： N（n） n n i i 且 N（） ，那么，N（n）服从帕斯卡分布，即： PN（n） k n k k （ p） npk，k ，n ， （）令 Xm为第m 次索赔大小，Xm；m ，是独立同分布的随机变量序列且有共同的离散分布： pX（x） PX x，x ，分布函数：FX（x） PXx，x，期望记为 X。 记 X X Xn的概 率函数为p 倡（n） X PX X Xn x，x ， 分布函数为 F 倡（n） X（x） PX X Xnx，x 这里，我们假设 n；n ，与Xm；m ，相互独立，N（n）；n ，与Xm；m ， 相互独立，在时间区间（n ，n上的索赔均在 n 时刻发生，那么此区间上的索赔总量可记为： Z（n） N（n） i N（n ） X i （）An；n ，是具有有限状态空间a，a，aM的齐次马氏链，其初始分布为 （， ，M），转移概率为： pst PAn at An as， s，t ，M；n ，（） 且 M t pst，s ，M 。 （） （） n；n ， （） n；n ，分别为独立同分布的随机变量序列，且服从两点分布： P（ （i） n ） qi，P（ （i） n ） pi，且 qi pi ，i ，。 本文中我们假设An；n ， （） n；n ， （） n；n ，与Z（n）；n ， 相互独立。 考虑如下的离散时间风险模型： U（n） U（n ）（ I（An） C（U（n ） Z（n） （） n（U（n ）b） （） n（U（n ）b）， n ，（） 其中，U（） u 为初始准备金，I（An）表示时间区间（n ，n上的利率，C（U（n ）表示（n ， n区间上的保费收入，它是上一时间区间末公司盈余的函数，且 C（ ）非负，（ ）为示性函数，b，b为 运 筹 与 管 理 年第 卷 非负常数，且 bb u，分别表示对投保人与股东的分红阈值。 现实环境中，单位时间内公司的投资是否 能得到回报是随机的，许多因素都会对此产生影响，所以假定红利随机发放是合理的。 （） n， （） n分别表 示在 n 时刻的两次红利支付，事件 （i） n 表示在 n 时刻不发生红利支付， （i） n 则表示在 n 时刻支付一 单位红利，i ，。 当 n 时刻的盈余大于或等于 b时，那么在 n 时刻对投保人支付 （） n的红利，而盈 余大于或等于 b时，同时还将对股东发放 （） n 的红利。 下面，我们考虑（n ，n上索赔总量的分布，有如下结论： 引理 1 Z（n）；n ，是具有如下分布密度的独立同分布随机变量序列： pz（z） PZ（n） z pz j p 倡（j） X （z）（ p）p j z ， （） 其分布函数为： FZ（z） PZ（n） z （ p） j F 倡（j） X（z）（ p）p j， z （） 注：由该引理，我们可将 Z（n）简单地记为： Z（n） n i Xi。 下面讨论盈余过程 U（n），由（）通过递推可得 U（n） u n j （ I（Aj） n j （C（U（j ）Z（j） （） j（U（j ） b） （） j（U（j ） b） n m j （ I（A m）（） 本文中，若 a b，记 b i a ti， b i a ti 。 给定 A as，定义有限时间破产概率为： n（u，as） P n j （U（j） ） U（） u，A as（） 下面考虑第 n 个时间区间（n ，n上的安全负载条件 E（C（U（n ） Z（n） （） n （） n） 即 E（C（U（n ） E（Z（n） E（ （） n） E（ （） n），又 E（Z（n） E（E（Z（n） n） X p q ，E（ （） n） q，E（ （） n ） q，从而第 n 个时间区间（n ，n上的安全负载条件为： E（C（U（n ） X p q q q（） 盈余过程的马氏性 设 E 为U（n）；n的状态空间，F A n （Am，mn），F Z n （Z（m），mn），且 Fn F A n F Z n为过程 （Z（n），An）生成的 代数。 定理 1 （U（n），An），Fn，n ，是二维齐次马氏链。 证 由马氏性的定义即可证得（U（n），An）是向量马氏链。 下面令 Q（n ，y，as；n，D）表示向量马氏过程（U（n），An），Fn，n ，的一步转移概率，那么 Q（n ，y，as；n，D） PU（n） D U（n ） y，An as M m psm Py（ I（An） C（y） Z（n） （） n （y b） （） n（y b） D U（n ） y，Anam，An as，Z（n） zFZ（z） M m psm Py（ I（am） C（y） z （） n（yb） （） n（yb） DFZ（z） 第 期 殷静燕： 随机利率下双分红的变保费复合帕斯卡模型 M m psmqq Py（ I（am） C（y） z （y b） （y b） DFZ（z） qp Py（ I（am） C（y） z （y b） DFZ（z） pq Py（ I（am） C（y） z （y b） DFZ（z） pp Py（ I（am） C（y） z DFZ（z） 由上可以看出转移概率 Q（n ，y，as；n，D）与时间 n 无关，从而齐次性得证。 证毕。 有限时间破产概率 由于 u bb，那么时间区间（，上不会发生分红，在给定 Z（） z，A am时，有 U（） u（ I（am） C（u） z，为方便，我们记h（z） u（ I（am） C（u） z。 于是，在h（z） 的情况下，令 n（h（z），am） P n j （U（j） ） U（） h（z），A am， n ，（） 下面给出有限时间破产概率的相关结论。 定理 2 对任意的ubb以及 n ，有 （u，as） M m psmFZ（u（ I（am） C（u）（） n （u，as） M m psmFZ（u（ I（am） C（u） u（ I（am） C（u） n （h（z），am）FZ（z）（） 其中 （h（z），am） M m pmtqqFZ（h（z）（ I（at） C（h（z） i （h（z） bi） qpFZ（h（z）（ I（at） C（h（z） （h（z） b） pqFZ（h（z）（ I（at） C（h（z） （h（z） b） ppFZ（h（z）（ I（at） C（h（z）（） n （h（z），am） M t pmtqqFZ（h（z）（ I（at） C（h（z） i （h（z） bi） qq h（z）（ I（at） C（h（z） i （h（z）bi） n（h（z）（ I（at） C（h（z） v i （h（z） bi），at）FZ（v） qpFZ（h（z）（ I（at） C（h（z） （h（z） b） qp h（z）（ I（at） C（h（z） （h（z）b） n（h（z）（ I（at） C（h（z） v （h（z） b），at）FZ（v） pqFZ（h（z）（ I（at） C（h（z） （h（z） b） pq h（z）（ I（at） C（h（z） （h（z）b） n（h（z）（ I（at） C（h（z） v （h（z） b），at）FZ（v） ppFZ（h（z）（ I（at） C（h（z） pp h（z）（ I（at） C（h（z） n（h（z）（ I（at） C（h（z） v，at）FZ（v）（） 证 由破产概率的定义（）有 （u，as） P（U（） U（） u，Aas） M m psmPZ（） u（ I（A） C（u） U（） u，Aam，Aas 运 筹 与 管 理 年第 卷 M m psmFZ（u（ I（am） C（u） （）得证。 对 Z（） z，A am，有 U（） u（ I（am） C（u） z h（z）。 （）若 z u（ I（am） C（u），有 PU（） U（） u，Z（） z，A am，A as 进一步P n j （U（j） ） U（） u，Z（） z，A am，A as （）若 zu（ I（am） C（u）时，有 PU（） U（） u，Z（） z，A am，A as 从而 P n j （U（j） ） U（） u，Z（） z，A am，A as P n j （U（j） ） U（） u（ am） C（u） z，A am n （h（z），am） 在 zu（ I（am） C（u）的条件下，进一步考虑 Z（） v，A at的情况，此时有 U（） h（z）（ I（at） C（h（z） v i （i） （h（z） bi）。对 （） ， （） 的不同取值，与上面进行类似的讨论，分别考虑 v h（z）（ I（at） C（h（z） i （i） （h（z） bi） 及vh（z）（ I（at） C（h（z） i （i） （h（z） bi） 的情况，并根据 n（h（z），am），n ，的定义，即可得（）与（）。 从而 n （u，as） P n j （U（j） ） U（） u，Aas M m psm u（ I（am） C（u）P n j （U（j） ） U（） u，Z（） z，Aam，AasFZ（z） u（ I（am） C（u） P n j （U（j） ） U（） u，Z（） z，Aam，AasFZ（z） M m psmFZ（u（ I（am） C（u） u（ I（am） C（u） P n j （U（j） ） U（） u（ I（am） C（u） z，AamFZ（z） M m psmFZ（u（ I（am） C（u） u（ I（am） C（u） n （h（z），am）FZ（z） 证毕。 数值算例 第 节中给出了计算有限时间破产概率的方法，在本节中，我们将取定具体参数，给出有限时间破产 概率的计算结果。 假设An；n ，是具有两个状态空间a，a的齐次马氏链，转移概率为 P ， ， I（a） ，I（a） ，并取定 A a。 同时，对投保人和股东的分