随机需求下竞争零售商的定价策略研究.pdf

第 卷 第 期运 筹 与 管 理 ， 年 月 收稿日期：- - 基金项目：国家自然科学基金资助项目（） 作者简介：高晓敏（- ），女，湖北荆门人，硕士研究生，研究方向：供应链协同，物流与供应链管理；刘志学（- ），男，湖南武冈人， 教授，博士生导师，研究方向：库存控制与优化，供应链协同，物流与供应链管理；左晓露（- ），女，湖北武汉人，博士研究生，研究方向：供 应链协同，物流与供应链管理。 随机需求下竞争零售商的定价策略研究 高晓敏， 刘志学， 左晓露 （华中科技大学管理学院，湖北 武汉 ） 摘 要：本文研究了随机需求下两竞争零售商的定价策略选择（响应性定价或清仓定价）、产品订货量及响应性 价格的联合决策问题。 通过将问题转化为一个三阶段的博弈模型，基于 - 条件求解了两零售商不同 定价策略子博弈下的均衡产品订货量及响应性定价决策，分析了不同定价策略子博弈下产品订货量及价格决策 的差别以及潜在市场需求不确定（期望和方差变动）对订货量和定价策略的影响。 数值分析结果表明，当潜在 市场需求服从均匀分布时，响应性定价子博弈是帕累托最优策略，清仓定价子博弈是零售商的均衡策略，混合定 价子博弈下两零售商的收益差距较大。 关键词：响应性定价；随机需求；清仓定价；博弈分析；均衡策略 中图分类号： 文章标识码： 文章编号：- （）- - doi： Competitive Retailers Pricing Strategy under Stochastic Demand - ， - ， - （School of Management， Huazhong University of Science and Technology， Wuhan ， China） Abstract： （ ）， - - ， - ， ， ， ， ， ， ， ， Key words： ； ； ； ； 引言 由于订单提前期较长，零售商一般在销售季节 来临之前向其供应商下订单，这常造成产品供需不 平衡进而导致库存问题。 以服装行业为例，、 、 和 等服装销售企业常年受 到缺货或库存积压问题的困扰 。 针对此问题， 许多学者研究了不同的方法帮助零售企业应对需 求不确定的问题，其中响应性定价（ - ）是缓解需求不确定的一种有效机制 。 响 应性定价是指零售商在销售季节来临之前需求不 确定时向其供应商下订单，当收到货物之后根据确 定的需求信息决定其最终投放到市场上的产品供 应量，由于产品价格受到市场上产品供应量的影 响，因而决定了产品的零售价格。 与响应性定价对 应的是清仓定价（ ），即零售商在销 售季节到来之前需求信息未知时决定其订购量，当 销售季节来临时销售其全部产品。 单零售商响应性定价或清仓定价的问题受到 了学者的广泛关注。 徐和等 研究单零售商对两 种可替代产品的定价和补货策略，分别归纳了在清 仓定价和响应性定价策略下的产品定价和补货决 策，指出当执行响应性定价需要付出相应成本，且 市场需求波动大、产品质量差距较明显时更适合采 用响应性定价策略。 和 对企业销售两 种产品并采用资源柔性和响应性定价这两种方式 应对市场不确定性进行研究，结果表明需求较大 时，响应性定价使企业的利润增加幅度更大，并能 缓解需求较低对企业利润造成的影响。 和 在不考虑竞争和需求不确定的情况下， 建立了最优清仓定价和库存管理模型，并进行了库 存敏感性分析，结果指出在清仓之前应该设定较高 的价格，而在清仓阶段应该大幅降价以最优化库 存。 和 分析了单个企业的单 商品多周期定价和库存策略，建立了随机需求下的 混合定价及库存控制模型，比较了动态定价和静态 定价的差别并探讨了安全库存的设定。 等 对企业销售多种可替代产品并采用响应性定价策 略进行研究，在需求函数中除了考虑产品自身的价 格效应还考虑了多产品之间的价格交叉效应，并提 出了一个新颖的分析方法来求解此两阶段报童模 型。 等 研究了单制造商通过单零售商将 季节性商品销售到终端市场的情形，当市场需求不 确定和产能有限时，制造商能通过采用两种策略来 最大化其利润，即批发价回购和产能扩张，研究表 明，制造商的最优策略由三大驱动力决定，即制造 商单位库存持有成本、零售商单位库存持有成本和 单位产能扩张成本，当单阶段产能较高时，均衡结 果为批发价回购契约。 竞争零售商的定价问题也受到学者的关注。 和 建立了一个两阶段古诺竞争模 型，分析了市场中产量不确定对新企业的进入和生 产决策的影响，结果表明，当竞争对手收益差时，其 将提高市场价格，因此收益较好的企业会同时从高 价格和高销量中获益。 廖萍康等 在已有双寡头 线性古诺模型的基础上加以扩展，建立了竞争寡头 存在成本差异，且需求函数为广义非线性函数的扩 展多寡头古诺模型，研究结果表明边际成本会影响 均衡产量及其在寡头之间的分配。 和 分析了随机需求下由单供应商 多 零售商组成的分散式供应链的定价均衡，建立了竞 争和非竞争零售商模型，给出了不同条件下零售商 的定价均衡策略。 申成霖等 研究了单制造商和 两个竞争零售商组成的供应链，考虑对价格和时间 双重敏感的需求函数，建立了供应链定价与交货期 联合决策模型，研究结果表明，供应链下游的渠道 竞争有利于提高分散式供应链的决策效率和缩短 承诺交货期，从而提高整个供应链的市场竞争力。 等 研究了单制造商 多零售商的差异化古 诺竞争问题，其中制造商是 领导者可获 得每个零售商有关市场的信息，并建立了相应的差 异化定价机制以引导所有零售商的完全信息共享。 分析了同时关注价格和库存竞争的零售 商，并探索供应商怎样通过供应链协同优化整个供 应链的绩效，研究结果表明，回购契约能使最优价 格和库存水平提升至帕累托最优均衡。 从以上文献综述可以看出：一方面，现有关于 响应性定价和清仓定价的研究大多考虑的是单零 售商的情形，少有研究考虑了零售商之间竞争这一 要素。 然而，零售商定价策略的选择以及订货量与 产品价格决策的制定都受到竞争对手的影响，因而 竞争零售商条件下的均衡定价策略非常值得研究。 另一方面，有关竞争零售商的研究多集中在产量不 确定、库存策略和信息共享等问题上，而对响应性 定价和清仓定价的研究却较少，特别是随机需求对 这两种定价策略的影响更少有探讨。 本文在现有 研究的基础上，考虑市场需求不确定情形下两个相 互竞争零售商的定价策略选择以及市场价格内生 条件下订货量与产品价格的联合决策。 通过求得 不同定价策略组合下两个竞争零售商的订货量及 产品价格的 均衡解，探讨响应性定价对零售 商利润以及需求波动对响应性定价价值的影响。 模型 在销售季节来临之前（需求信息未知），零售 商 和零售商 向其共同的供应商订货。 当销售 季节到来时，根据得到的市场需求信息，两个零售 商选择定价策略以确定产品供应量，即将部分或全 部产品在市场上销售。 假设零售商 和零售商 获得的产品同质无差异，未售出产品的残值为 。 产品需求的反函数为 p b（q c q c ），其中 p 表 示产品的售价，由市场产品总供应量及潜在市场需 求决定，b 表示价格敏感系数，q c 和 q c 分别为零售 商 和零售商 的产品出售量，需满足 q c q 和q c q，q和 q分别为零售商 和零售商 的订货量， L，H是潜在市场需求，其概率密度 函数和概率分布函数分别为f（ ）和 F（ ）， L H 。 为了得到零售商的均衡定价策略及产品订货 量和价格，决策可分为三阶段考虑，事件序列如图 所示。 第一阶段，零售商 和零售商 选择定价 运 筹 与 管 理 年第 卷 策略，即响应性定价 R 或清仓性定价 N，进而可得 到四种定价策略的子博弈，如图 所示。 上标代表 子博弈的类型：记 M 为混合子博弈代表其中一个 零售商选择响应性定价，另一个零售商选择清仓性 定价（也就是（R，N）或者（N，R）子博弈），如图 中或；记 R 为响应性子博弈代表（R，R）子博 弈，如图 中；记 N 为清仓子博弈代表（N，N）子 博弈，如图 中。 图 事件序列 图 四种定价策略 第二阶段，在销售季节到来之前，零售商 和 零售商 分别决策向供应商的订货量（q和 q）。 在销售季节到来后，随机潜在市场需求 的实现 值为 a。 第三阶段，零售商 和零售商 根据市场 需求制定响应性定价策略，即零售商分别决策出售 的产品量（q c 和 q c ）从而决定了产品的零售价 p。 为了求解多阶段博弈的均衡解，采用逆推方法求 解。 由于不能确定定价策略的均衡解，因而逐一分 析四种定价策略子博弈下的均衡产品订货量及价 格。 最后，通过比较四种子博弈下零售商 和零售 商 的利润，得到定价策略的 均衡解。 定价策略子博弈分析 2 1 响应性定价子博弈分析 在响应性定价策略中，假设零售商 的订货 量小于或等于零售商 的订货量，即 qq（当 q q时得到的结论对称因而省略）。 零售商的均衡出售量决策 第二阶段，在销售季节来临时，潜在市场需求 信息已知为 a，零售商 和零售商 根据现有产品 量 q和 q决策自身的最优出售量 q c 和 q c ，最大化 自身的收益。 其决策问题如下： R （q c ） p q c a b（q c q c ） q c q c q R （q c ） p q c a b（q c q c ） q c q c q （） 其中，决策表达式为零售商的销售额，即价格与出 售量的乘积；约束式表示零售商的出售量必须小于 等于其订货量。 零售商 和零售商 的响应性定 价策略如命题 所示。 命题1 在定价策略下，零售商的均衡出售 量为： q c a （b），q c a （b），若 La bq q c q，q c （a bq） （b），若bqa bq bq q c q，q c q，若 bq bqaH （） 零售商的响应性定价为： p R a ，若 La bq （a bq） ，若bqa bq bq a b（q q），若 bq bqaH （） 零售商的收益为： R a （b）， R a （b），若 La bq R （a bq）q ， R （a bq） （b），若bqa bq bq R a b（q q）q， R a b（q q）q，若 bq bqaH （） 证明 问题化为带约束的双目标函数优化问 题，构建（）的 方程如下： L R （q c ，q c ，） a b（q c q c ） q c q c （q q c ） L R （q c ，q c ，） a b（q c q c ） q c q c （q q c ） （） 其中 q c ，（q q c ） ，q c ，（q q c ） ， ，。 对（）求一阶偏导为： 抄L R 抄q c a bq c bq c 抄L R 抄q c a bq c bq c （） 利用 - 条件求解，可具体分以下 种情况讨论： 当 q c ，q c 时， ， ，由一阶条件（） 可得 a ， a ，这与 ， 矛盾。 当 q c ， q c q时， ， ， ，由一阶条件（）可得 bq c ，这与 矛盾。 当 q c ，q c q时， ， ， ，由一阶条件（）可得 bqa，a bq这与 ， 矛盾。 当 q c q，q c 时， 第 期 高晓敏，等： 随机需求下竞争零售商的定价策略研究 ， ，由一阶条件（）可得 bq c ， 这与 矛盾。 当 q c q， q c q时， ， ， ， ，由一阶条件（）可得 q c a （b），q c a （b），需满足条件 q c a （b） q， q c a （b） q，即 La bq，bq，由 q q可知 La bq，此时产品零售价为 a ，零售 商的销售额分别为 R a （b）， R a （b）。 当 q c q，q c q时， ， ， ， ，由一阶条件（）可得 （a bq） ，q c （a bq） （b），需满足 和 q c （a bq） （b） q，即 abq且 bqa bq bq，这与 qq矛盾。 当 q c q，q c 时， ， ，由一阶条件（）可得 a bq， bq a，这与 ， 矛盾。 当 q c q， q c q时， ， ， ，由一阶条件（）可得 （a bq） ， q c （a bq） （b），需满足 和 q c （a bq） （b） q，即 abq且 bqa bq bq，亦即bqa bq bq，此时产品零售价为 p （a bq） ，零售商的销售额分别为 R （a bq）q ， R （a bq） （b）。 当 q c q，q c q时， ， ， ，由一阶条件（）可得 a bq bq， a bq bq 需满足 且 ，即 bqbq，bq bqaH，此时产品零售价为 p a b（q q），零售商的销售额分别为 R a b（q q）q， R a b（q q）q 综合以上 种情况得到命题 中的结论。 命题 指出当潜在市场需求较低时，两零售商 出售的产品数量和所得收益相同，市场价格与价格 敏感系数无关，而只与潜在市场需求有关；当潜在 市场需求较大时，零售商（订货量少的零售商）出 售手中全部商品，而零售商（订货量多的零售商） 只出售部分商品。 因此，订货量少的零售商的收益 小于等于订货量多的零售商的收益；当市场需求很 大时，两零售商都出售手中的全部商品，因而订货 量多的零售商获得的利润较多。 零售商的均衡订货量决策 第一阶段，销售季节来临之前，给定供应商的 批发价格为 w，零售商 和零售商 决定向供应商 的订货量 q和 q。 由于需求信息未知，因而零售 商 和零售商 的期望利润如下： R （q） bq L bF（ ） bq bq bq （bq）q F（ ） H bq bqb（q q）qF（ ） wq qq（） R （q） bq L bF（ ） bq bq bq （bq） b F（ ） H bq bqb（q q）qF（ ） wq qq 其中，决策表达式为零售商的期望利润，即分段利 润函数对潜在市场需求积分的加和减去采购成本； 约束表达式即为不失一般性的模型分析假设。 零 售商 和零售商 的最优订货量如命题 所示。 命题2 在定价策略 下，两零售商的均衡订货量 相等，并且q，q， ）为满足式（）的不动点： H bqR倡 （bq R倡 ）F（ ） w ，q R倡 q R倡 （） 证明 问题化为带约束的双目标函数优化问 题，构建（）的 方程如下： L R （q，） bq L bF（ ） bq bq bq （bq）q F（ ） H bq bqb（q q）qF（ ） wq q（qq） L R （q，） bq L bF（ ） bq bq bq （bq） b F（ ） H bq bqb（q q）qF（ ） wq （qq） （） 运 筹 与 管 理 年第 卷 其中，q ，（q q） ， （q q） ， 。 对（）求一阶导得： 抄L R 抄q w bq bq bq （ bq）F（ ） H bq bq（bq bq）F（ ） 抄L R 抄q w H bq bq（bq bq）F（ ） （） 具体分以下 种情况逐一求解： 当 q ，q q时， ， ，由 一阶条件（）可得 bq L F（ ） H bqbqF（ ） 与 矛盾。 当 q q时， ， ， ，由一 阶条件（）可得不动点满足 （bqbq） bq F（bqbq） F（bq） bq bq bq F（ ） 令： g（q，q） （bqbq） bq F（bqbq） F（bq） bq bq bq F（ ） ，由于F（ ） 且非降，则 g（q，q） （bqbq） bq F（bq bq） F（bq） bq bq bq bq F（bq bq） F（bq） ，这与 g（q，q） 矛盾。 当 qq，q q时， ， 由一阶条件（）可得 w H bq（bq）F（ ）， w H bq（bq）F（ ） 需同时满足 ， ，则 H bq（ bq）F（ ） w ，此时 q R倡 q R倡 。 综合以上 种情况得到命题 中的结论。 命题 3 在定价策略下，零售商 和零售商 的最优期望利润相等： R倡 R倡 bqR倡 L bF（ ） H bqR倡 （ bq R倡 ）q R倡 F（ ） wq R倡 （） 证明 由命题 可知，零售商 和零售商 的 最优订货量相等即 q R倡 q R倡 ，代入式（）中零售商 和零售商 的期望利润函数，即可得到命题 。 命题 和命题 指出在响应性定价策略下，由 于两零售商同时做出决策且均衡决策相同，因而两 零售商的均衡订货量和所得收益相等；均衡订货量 与潜在市场需求、价格敏感系数和批发价格密切相 关。 2 2 混合性定价子博弈分析 在混合定价策略中，一个零售商选择响应性定 价策略，另一个选择清仓定价策略。 本文假设零售 商 选定响应性定价策略，而零售商 选择清仓定 价策略（零售商 选定响应性定价策略，而零售商 选择清仓定价策略的情形相似，因而省略）。 零售商的均衡出售量决策 第二阶段在销售季节来临时，零售商 出售全 部可获产品 q，而零售商 根据现有产品量 q决 策自身的最优出售量 q c ，其出售量决策问题如下： M p q c a b（q c q）q c q c q（） 其中，决策表达式为零售商 的销售额，即价格与 出售量的乘积；约束式表示零售商 的出售量必须 小于等于其订货量。 零售商 的收益为： M p q a b（q c q）q（） 其中，决策表达式为零售商 的销售额，即价格与 出售量的乘积，出售量与订货量相等。 零售商的混 合定价策略如命题 所示。 命题4 在定价策略下，零售商的均衡出售 量为： q c ，q c q，若 Labq q c （a bq） （b），q c q，若 bq a bq bq q c q，q c q，若bq bqaH （） 零售商的混合定价策略为： p M ，若 Labq （a bq） ，若 bq a bq bq a b（q q），若bq bqaH （） 零售商的收益为： 第 期 高晓敏，等： 随机需求下竞争零售商的定价策略研究 M ， M ，Labq M （ bq） （b）， M （ bq）q ，bq a bq bq M b（q q）q， M b（q q）q，bq bqaH （） 证明 问题化为带约束的单目标函数优化问 题，构建（）的 方程如下： L M （q c ，） a b（q c q）q c q c （q q c ） （） 其中， q c ，（q q c ） ，。 对（）求一阶导为： 抄L M 抄q c a bq c bq （） 具体分以下 种情况逐一求解： 当 q c 时， ，由一阶条件（） 可得 bq a，需满足 ，即 Labq，此时 产品零售价为 p a bq，因此，p，销售额为 。 当 q c q时， ， ，由一阶条件（） 可得q c （a bq） （b），需满足 q c （a bq） （b） q，即bq a bq bq，此时产品零售价为p （a bq） ，销售额为 M （a bq） （b）。 当 q c q时，由一阶条件 （）可得 a bqbq，需满足 ，即 bq bqaH，此时产品零售价为 p a b（q q），销售额为 M a b（q q）q。 综合以上 种情况得到命题 中的结论。 命题 指出零售商 在任何情况下都出售全部 订购的产品，当潜在市场需求非常小时，零售商 选 择无偿出售产品，因而利润为，零售商 退出市场。 只有当潜在市场需求达到一定范围时，零售商 才 开始出售手中部分产品；当市场需求较大时，零售商 （订货量少的零售商）的利润小于零售商 （订货量 多的零售商）的利润；当市场需求很大时，两个零售 商都出售手中的全部产品，订货量少的零售商的利 润小于等于订货量多的零售商的利润。 零售商的均衡订货量决策 第一阶段，销售季节来临之前，零售商 和零 售商 根据均衡出售量 q c 和 q c 决定自身的订货 量 q和 q，批发价格为 w。 其期望利润如下： M bq bq bq （bq） b F（ ） H bq bqb（q q）qF（ ） wq M bq bq bq （bq）q F（ ） H bq bqb（q q）qF（ ） wq（） 其中，决策表达式为零售商的期望利润，即分段利 润函数对潜在市场需求积分的加和减去采购成本。 零售商 和零售商 的最优订货量如命题 所示。 命题5 在定价策略下，零售商的均衡订货 量 q，q， ）为满足式（）的不动点： bqM倡 bqM倡 bqM倡 F（ ） H bqM倡 bqM倡 bq M倡 F（ ） H bqM倡 bq M倡 F（ ） w H bqM倡 bqM倡 （bq M倡 bq M倡 ）F（ ） （） 证明 对式（）求一阶导可得： 抄 M 抄q w H bq bq（bq bq）F（ ） 抄 M 抄q w bq bq bq （ bq）F（ ） H bq bq（bq bq）F（ ）（） 对式（）求二阶导得： 抄 M 抄（q） b H bq bq（bq bq）F（ ） 抄 M 抄（q） b H bq bqF（ ） b bq bq bq F（ ） b（bqbq ）f（bqbq）（） 由于式（）中 抄 M 抄（q） 可正可负，因此 M 不是 q的凹函数，不能由一阶条件直接得到唯一的最 优订货量。 但是通过式（）可得到一阶条件不动 点（可能有多个），使两个零售商的期望利润最大 的非负不动点即为最优订货量。 2 3 清仓性定价子博弈分析 清仓定价策略是指零售商在销售季节来临时， 出售手头的所有产品，批发价格为 w。 零售商 和零售商 的利润如下： N （q） H L b（qq） w qF（ ） N （q） H L b（qq） w qF（ ） （） 运 筹 与 管 理 年第 卷 其中，决策表达式为零售商的期望利润，即分段利 润函数对潜在市场需求积分的加和减去采购成本。 零售商 和零售商 的最优订货量如命题 所示。 命题 6 在定价策略下，零售商的均衡订货 量相等，并且 q，q， ）为： q N倡 q N倡 H w H L F（ ） （b）（） 证明：对式（）求一阶导可得： N q H H L F（ ）（bqbqw） N q H H L F（ ）（bqbqw）（） 对式（） 求二阶导得： d N d（q） b ， d N d（q） b ，即 N 和 N 分别是 q和 q的 凹函数，因此令式（）等于零可解得命题 中两 个零售商的均衡订货量。 命题 7 在定价策略下，零售商 和零售商 的最优期望利润相等： N倡 N倡 H L bq N倡 w q N倡 F（ ） （） 证明 由命题 可知，清仓性定价策略下，零 售商 和零售商 的最优订货量相等即 q N倡 q N倡 ，代入式（）可得，零售商 和零售商 的最 优期望利润相等即命题。 命题 和命题 指出清仓性定价策略下，与响 应性定价策略情形一致，两零售商同时做出决策且 均衡决策相同。 因此，两零售商的均衡订货量相 等，并且与潜在市场需求、价格敏感系数和批发价 格密切相关。 进一步地，由于市场价格为一定值， 两零售商的期望利润相等。 均衡定价策略分析 3 1 纯策略均衡定价的求解 将均衡定价策略的求解问题转化为如图 的 策略式博弈 均衡问题进行分析。 图 策略式博弈 均衡 命题8 纯策略定价的 均衡解为： （R，R）若 R MN 且 R MN （R，N）若 MR N 且 MN R （N，R）若 MN R 且 MR N （N，N）若 N MR 且 N MR （） 证明 策略式博弈共有 中纯策略 均衡，下面分 种情况讨论： 当零售商 选择R 时，只有当 R MN 时， 零售商 才会选择 R；同理，当零售商 选择 R 时， 只有当 R MN 时，零售商 才会选择 R；即只有 同时满足 R MN 且 R MN ，才能得到纯策略 均衡（R，R）。 当零售商 选择R 时，只有当 MN R 时， 零售商 才会选择 N；同理，当零售商 选择 N 时， 只有当 MR N 时，零售商 才会选择 R；即只有 同时满足 MR N 且 MN R ，才能得到纯策略 均衡（R，N）。 当零售商 选择 N 时，只有当 MR N 时，零售商 才会选择 R；同理，当零售商 选择 R 时，只有当 MN R 时，零售商 才会选择 R；即 只有同时满足 MN R 且 MR N ，才能得到纯 策略 均衡（N，R）。 当零售商 选择 N 时，只有当 N MR 时，零售商 才会选择 N；同理，当零售商 选择 N 时，只有当 N MR 时，零售商 才会选择 N；即 只有同时满足 N MR 且 N MR ，才能得到纯 策略 均衡（N，N）。 综合以上 种情况得到命题 中的结论。 命题 指出两零售商定价策略的纯策略均衡 有多组，并且每个纯策略均衡的获得只需满足两个 约束，因此，纯策略均衡一般较容易获得。 3 2 混合策略均衡定价的求解 若不存在纯策略 均衡，则存在混合策略 均衡解。 假设零售商 和零售商 的混合策 略分别为 （，）和 （，），混合策略定 价的 均衡解由命题 给出。 命题 9 混合策略定价的 均衡解为 （ 倡 ， 倡 ），（ 倡 ， 倡 ），其中零售商 和零 售商 选择响应性定价策略的概率相等为： 倡 倡 MR N MR MN R N （） 证明 由于零售商 与零售商 定价策略的 选择相互独立，因此在混合策略组合 （， ） 下，战略组合（R，R）、（R，N）、（N，R）和（N，N）出现 第 期 高晓敏，等： 随机需求下竞争零售商的定价策略研究 的概率分别为 、和 。 因此，零售 商 采用纯策略 R 和 N 的期望效用分别为 v（R， ） R MR v（N， ） MN N （） 同理，零售商 采用纯策略 R 和 N 的期望效用分 别为 v（，R） R MR v（，N） MN N （） 对于零售商 ，其子集R，N中每个纯策略获得的 期望利润相同，对于零售商 ，其子集R，N中每 个纯策略获得的期望利润相同，即 v（R， ） v（N， ） v（，R） v（，N） （） 亦即 R MR MN N R MR MN N （） 解此方程组可得 倡 MR N MR MN R N 倡 MR N MR MN R N （） 而由于 MR MR ， N N ， MN MN ， R R ， 因此 倡 倡 ，混合战略 均衡为（ 倡 ， 倡 ），（ 倡 ， 倡 ）。 命题 指出由于零售商 和零售商 都只有 两种相同的定价策略选择，即清仓定价或响应性定 价，因而混合策略均衡下选择响应性定价的概率相 等，且与四种子策略下同一零售商的利润有关。 数值分析 首先分析潜在市场需求变化时，定价策略的四 种子博弈下零售商 和零售商 及市场总利润的 变化。 随后，探究潜在市场需求对响应性定价及混 合性定价策略价值的影响。 在潜在市场需求变化 的研究中，常假设其服从均匀分布进行数值分 析 。 以下分析假设潜在市场需求服从均匀分 布即 UL，H，假设 b ，w 作为数值实验 的参数，经过多次实验发现当参数 b 和 w 为其他参 数值时，所得结论一致，例如 b 和 w 、b 和 w 、b 和 w 。 4 1 潜在市场需求期望的影响 本文选取 （ ） 作为需求方差相同 时的参数值，经过多次实验发现当市场需求方差 （ ） 为其他参数值时，所得结论一致，例如 （ ） ， 和 。 随着潜在 市场需求 E（ ）的增加，三种子博弈下零售商 和 零售商 的订货决策及投放到市场上的货物量 （记为 z j倡 i，其中 i ， 分别表示零售商 和零售 商，j R，M 分别表示响应性定价子博弈和混合 型定价子博弈）如表 所示。 从表 的数据可以发 现，响应性定价策略（表 第 列和第 列）和清仓 性定价策略（表 第 列和第 列）下，零售商 和零售商 的订货量分别相等，这与命题 （即在 定价策略下，两零售商的均衡订货量相等）和命 题（在定价策略下，零售商的均衡订货量相等） 相吻合；当市场需求的方差一定时，响应性子博弈 下与清仓性子博弈下，零售商投放到市场上的货物 量相等（表 第 列、第 列、第 列和第 列）， 并且，零售商投放到市场上的货物量随着市场需求 期望的增加也随之增加（表 第 列、第 列、第 列、第 列、第 列和第 列）；响应性子博 弈下，选择清仓定价的零售商投放到市场上的货物 量与订货量相等，选择响应性定价的零售商投放到 市场上的货物量随着市场需求期望的增加虽然随 之增加，但却比竞争对手的投放到市场上的货物量 小；潜在市场需求期望的提高使得零售商 和零售 商 的订货量均增加，清仓性定价策略子博弈下零 售商的订货量最少。 从图 中（）可以发现，零售商在混合定价策 略子博弈下选择清仓定价的利润（图中方形线）与 响应性定价子策略下所获得的利润（图中实线）基 本相等，并且为所有定价策略子博弈中获利最高的 策略；在清仓性定价策略子博弈下所获得的利润相 对较低（图中圆形线）；而在混合性定价策略子博 弈下选择响应性定价策略所获的利润最低（图中 菱形线）。 这说明竞争市场上，若两零售商选择不 同的定价策略，均衡下两零售商的收益差距较大； 如果两零售商都选择响应性定价策略或清仓定价 策略时，两零售商的收益差距较小。 当潜在市场需 求的期望增加时，四种定价策略子博弈下零售商的 利润都增加，并且，清仓性子博弈下利润的增幅大 于混合性子博弈下选择响应性定价策略的零售商 利润增幅。 图 中（）显示，市场总利润在响应性 定价策略子博弈下最高（图中实线），在混合性定 价策略子博弈下较低（图中菱形线），而在清仓定 运 筹 与 管 理 年第 卷 价策略子博弈下市场利润最低（图中方形线）；当 潜在市场需求的期望增加时，三种定价策略子博弈 下的市场总利润都增加；并且，混合性子博弈的市 场中利润增速慢于清仓性子博弈。 表 1 潜在市场需求期望的影响 LHE（ ） 响应性混合性清仓性 订货量出售量订货量出售量订货量（出售量） qR倡 ? qR倡 zR倡 zR倡 j qM倡 qM倡 L zM倡 ? zM倡 ) qN倡 qN倡 :E?z? :E?z? :E?z? :E?z? :E?z? :E?z? 图 需求期望对零售商策略选择的影响 4 2 潜在市场需求波动的影响 本文选取 E（ ） 作为需求期望