四川省华文大教育联盟2019届高三数学第二次质量检测试题理（含解析）.docx

四川省2019届高三第二次质量检测考试数学（理）试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=R，集合，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用补集的概念及运算得到结果.详解】故选：D【点睛】本题考查补集的概念及定义，考查函数的值域，属于基础题.2.若为实数，则复数在复平面内对应的点在A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算化简复数，结合复数的几何意义得到结果.【详解】，且复数在复平面内对应的点在虚轴上，故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3.国家统计局统计了我国近10年(2009年2018年)的GDP(GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标)增速的情况，并绘制了下面的折线统计图根据该折线统计图，下面说法错误的是A. 这10年中有3年的GDP增速在900以上B. 从2010年开始GDP的增速逐年下滑C. 这10年GDP仍保持6.5以上的中高速增长D. 2013年2018年GDP的增速相对于2009年2012年，波动性较小【答案】B【解析】【分析】利用折线统计图，逐一作出判断即可.【详解】由图可知，这10年中有3年GDP的增速在900以上，则选项A正确；2017年相比于2016年GDP的增速上升，则选项B错误；这10年GDP增速均超过6.5，则选项C正确；显然D正确.故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题4.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为，若，则B=A. 45B. 45或135C. 30D. 30或150【答案】A【解析】【分析】根据边长确定的大小，由正弦定理得到结果.【详解】，又，由正弦定理可得 B=45.故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，学生求B度数时注意先求出B的范围5.函数的大致图象是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；当时，可排除D选项；当时，当时，即，可排除C选项，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题6.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对(p，p+2)称为孪生素数在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意明确不超过30的素数有10个，满足题意的孪生素数对有4个，利用古典概型公式可得结果.【详解】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，根据素数对(p，p+2)称为孪生素数，则由不超过30素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)，共有4组，能够组成孪生素数的概率为，故选：D【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力.7.执行下面的程序框图，若输入，则输出的A. B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】第一次循环，得，第二次循环，得，第三次循环，得，第四次循环，得第五次循环，不满足则输出，故选：D【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答8.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，线段的中点M到原点的距离为，则此双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意明确线段的中点M的坐标，结合距离公式，即可得到结果.【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为，易求点P的坐标为，中点M的坐标为，即.故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程与简单的几何性质，考查计算能力与转化能力，属于基础题.9.如图，在长方体，且异面直线所成角的余弦值为，则该长方体外接球体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由异面直线所成角的余弦值为可得侧棱长，长方体的体对角线长为外接球的直径，从而得到外接球体积.【详解】异面直线所成角的余弦值为，且，中，设.，则长方体外接球直径为，半径为 故选：B【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法与长方体的外接球体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10.已知函数，若，且，则当时，的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出函数的图，数形结合得到结果.【详解】函数的图象如图所示，作轴，且设点，点，当时，；当时，故选：D【点睛】本题考查了正弦型函数的图像与性质，考查数形结合思想，属于中档题.11.若定义在R上的函数满足，且当时，则满足的的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的单调性与对称性，把抽象不等式转化为具体不等式即可.【详解】当时，则在内是增函数.由得的图象关于直线x=1对称，在内是减函数.将的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则为偶函数，且在内是减函数.,从而等价于，即，解得故选：D【点睛】本题考查了函数的单调性与对称性，考查了利用导数判断函数的单调性，考查了函数方程思想与转化思想，属于中档题.12.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆C上一点，O为坐标原点，若，且，则椭圆C的离心率是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义与余弦定理建立关于离心率的方程即可.【详解】设.由椭圆的定义，得，.在中，由余弦定理，得，.得：，将代入，得.在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，+，得，化简，得，故，故选：C【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量满足，则向量的夹角的大小为_【答案】【解析】【分析】利用条件得到，结合向量夹角公式即可得到结果.【详解】，向量的夹角为故答案为：【点睛】本题考查了向量夹角的求法，考查了向量的运算律，考查了计算能力，属于基础题.14.已知实数满足不等式组的最大值为_【答案】3【解析】【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，数形结合得的最大值【详解】画出可行域，如图所示，当直线通过点时，最小，最大，故答案为：3【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，以及目标函数的最值，其中画出满足条件的可行域是解答的关键，属于基础题15.在平面直角坐标系中，已知，点是角终边上一点，则的值是_【答案】【解析】【分析】利用三角函数定义与两角和正切公式可得的值.【详解】，且点在第一象限，为锐角，的值是，故答案为：【点睛】本题考查三角函数定义，考查两角和正切公式，考查计算能力与转化能力，属于基础题.16.如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且ABCD，若平面平面现有以下四个结论：AD平面SBC；若E是底面圆周上的动点，则SAE的最大面积等于SAB的面积；与平面SCD所成的角为45其中正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】利用线面平行判定定理说明的正误；利用线面平行性质定理说明的正误；由，讨论ASB的锐钝可说明的正误；利用与平面SCD所成的角等于AD与平面SCD所成的角可判断的正误.【详解】由AB和CD是圆O得直径及ABCD，得四边形ABCD为正方形，则ADBC，从而AD平面SBC，则正确；又因为平面SAD，且平面，所以，则正确；因为，当ASB为钝角时，；当ASB为锐角或直角时，则不正确；由，得与平面SCD所成的角等于AD与平面SCD所成的角，即为ADO，又因为ADO=45，故正确.故答案为：【点睛】本题以圆锥为载体，考查线面的位置关系，考查面积的最值问题及线面角的大小，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题。考生根据要求作答。17.在等比数列中，公比，其前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列的前项和为，则是否成等比数列?并说明理由【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)利用等比数列通项公式即可得到数列；(2) 由（1）知，求出，结合等比中项即可证明.【详解】（1）由，得.两式相减，得，即，由，得，解得，所以数列的通项公式，（2）由（1）知所以，所以，所以成等比数列.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等比中项，及等差数列前n项和，考查计算能力，属于基础题.18.如图，在三棱柱侧面(1)求证：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)要证平面平面，转证平面AB，即证，；(2) 以G为坐标原点，以的方向为x轴正方向，以的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.分别求出两个半平面的法向量，代入公式即可得到结果.【详解】(1)如图，设，连接AG.因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以G为的中点，因为，所以为等腰三角形，所以，又因为AB侧面，且平面，所以又因为，所以平面AB，又因为平面，所以平面平面；（2）由（1）知平面AB，所以B以G为坐标原点，以的方向为x轴正方向，以的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.由B易知四边形为菱形，因为所以，则可得，所以设平面的法向量，由得：，取z=1，所以，由（1）知=为平面AB的法向量，则易知二面角的余弦值.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.在某公司举行的一次真假游戏的有奖竞猜中，设置了“科技”和“生活”这两类试题，规定每位职工最多竞猜3次，每次竞猜的结果相互独立猜中一道“科技”类试题得4分，猜中一道“生活”类试题得2分，两类试题猜不中的都得0分将职工得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于4分就认为通过游戏的竞猜，立即停止竞猜，否则继续竞猜，直到竞猜完3次为止竞猜的方案有以下两种：方案1：先猜一道“科技”类试题，然后再连猜两道“生活”类试题；方案2：连猜三道“生活”类试题设职工甲猜中一道“科技”类试题的概率为0.5，猜中一道“生活”类试题的概率为0.6(1)你认为职工甲选择哪种方案通过竞猜的可能性大?并说明理由(2)职工甲选择哪一种方案所得平均分高?并说明理由【答案】（1）职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大；（2）职工甲选择方案1通过竞猜的平均分高【解析】【分析】(1)利用互斥概率加法公式及独立乘法公式计算出两种方案的概率，从而作出判断；(2)分别计算出两种方案的期望值，从而作出判断.【详解】猜中一道“科技”类试题记作事件A，猜错一道“科技”试题记作事件；猜中一道“生活”类试题记作事件B，猜错一道“生活”试题记作事件；则，（1）若职工甲选择方案1，通过竞猜的概率为：.若职工甲选择方案2，通过竞猜的概率为：职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大.(2) 职工甲选择方案1所得平均分高，理由如下：若职工甲选择方案1，X的可能取值为：0,2,4，则，数学期望若职工甲选择方案2，X的可能取值为：0,2,4，数学期望因为，所以职工甲选择方案1所得平均分高.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.20.在平面直角坐标系中，抛物线的准线为，其焦点为F，点B是抛物线C上横坐标为的一点，若点B到的距离等于(1)求抛物线C的方程，(2)设A是抛物线C上异于顶点的一点，直线AO交直线于点M，抛物线C在点A处的切线m交直线于点N，求证：以点N为圆心，以为半径的圆经过轴上的两个定点【答案】（1）；（2）定点，【解析】【分析】(1) 由题意，得，则BOF为等腰三角形，求出线段OF中点的横坐标即可得到抛物线C的方程；(2) 设切线m的方程为：，联立方程，借助韦达定理可得，再求出，表示以为半径的圆的方程即可得到两个定点.【详解】(1)由题意，得，则BOF为等腰三角形，因为点B的横坐标为，所以线段OF的中点的横坐标为，从而点F的横坐标为1，即，所以p=2，故所求抛物线C的方程为；(2)证明：设切线m的方程为：，由 （*）由题意知，即所以方程（*）的根为 ，从而，直线OA的方程为由，得，由，得，所以以点N为圆心，以为半径的圆的方程为，令，得，解得，所以圆N经过x轴上的两个定点和.【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意21.已知函数(1)求证：；(2)用表示中的最大值，记，讨论函数零点的个数【答案】（1）见解析，（2）见解析【解析】【分析】(1) 设求出函数的最小值即可；(2) 对x和a的范围进行讨论，得出f（x），g（x）在（0，+）上的单调性，利用单调性及最值判断f（x），g（x）的零点个数，从而得出h（x）的零点个数【详解】（1）证明：设，定义域为，则.当时，；当时，故在内是减函数，在内是增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，所以，所以（2）解：函数的定义域为，当时，；当时，所以在内是减函数，在内是增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，即若，则，当时，；当时，；当时，.所以，于是只有一个零点.当，则当时，此时，当时，此时所以没有零点.当，则当时，根据（1）可知，而，所以又因为，所以在上有一个零点，从而一定存在，使得，即，所以.当时，所以，从而，于是有两个