（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题2.4指数与指数函数（讲）（含解析）.docx

第04讲 指数与指数函数 -讲1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。2理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.4. 高考预测：（1）指数幂的运算；（2）指数函数的图象和性质的应用；（3）与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等5.备考重点：（1）有理指数幂的运算；（2）指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类讨论问题.知识点1根式和分数指数幂1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.【典例1】计算：【答案】.【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.详解： 【规律方法】化简原则：化根式为分数指数幂；化负指数幂为正指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序【变式1】计算：0_.【答案】【解析】原式1.知识点2指数函数的图象和性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0恒成立，排除选项B，故选：A【典例3】(2019天津河西区一模)已知f(x)|2x1|，当abc时，有f(a)f(c)f(b)，则必有()Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0C2a2c D12a2c2【答案】D【解析】作出函数f(x)|2x1|的图象，如图所示，因为abc，且有f(a)f(c)f(b)，所以必有a0,0c1，且|2a1|2c1|，所以12a2c1，则2a2c2，且2a2c1，故选D.【变式3】（改编自2019天津河西区一模）直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？【答案】【解析】y|ax1|的图象是由yax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的当a1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当0a1时，要使两个图象有两个交点，则02a1，得到0a，如图(2)综上，a的取值范围是. 考点1 根式、指数幂的化简与求值【典例4】化简的结果为（）A5 B C D5【答案】B【解析】，故选【易错提醒】1.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算2.结果要求：若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂【变式4】计算：1.5080.25()6【答案】【解析】原式.考点2 根式、指数幂的条件求值【典例5】已知则的值为_【答案】【解析】题意，故答案为【总结提升】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：化简已知条件；化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，解题时要善于应用公式变形【变式5】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）【答案】【解析】（1）将两边平方得，所以.（2）将两边平方得，所以.（3）由（1）（2）可得考点3 指数函数的图象及其应用【典例6】（2019安徽马鞍山二中高三月考（文）若函数（且）的图象恒过定点，则_【答案】7【解析】函数（且）的图象恒过定点，令，可得，可得函数的图象经过定点.再根据函数的图象经过定点，解得，则，故答案为：7【总结提升】 (1)画指数函数yax(a0，a1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2)yax与的图象关于y轴对称；(3)当a1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0a1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减【变式6】(2019河北省衡水模拟)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是 【答案】1,1【解析】曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1考点4 指数函数的性质及其应用【典例7】【2016新课标全国III】已知，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以，故选A【技巧点拨】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大【变式7】（2019安徽高三开学（文）若为自然对数底数，则有（ ）ABCD【答案】D【解析】令，则在R上单调递增，又，所以，解，所以，即.故选D【典例8】（2019天津高三高考模拟）若，则函数的值域是A B C D【答案】B【解析】将化为，即，解得，所以，所以函数的值域是.故选C.【总结提升】1.简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断3.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解【变式8】(2019辽宁抚顺模拟)已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x满足f(x)f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”若函数f(x)4xm2x3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是()A，) B2，)C(，2 D2，【答案】B【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，方程f(x)f(x)有解即可，即4x