（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题5.1平面向量的概念及线性运算（讲）（含解析）.docx

第01讲 平面向量的概念及运算 -讲1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.2. 向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3.高考预测：（1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等； （2）考查单位向量较多.（3）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以工具的形式出现.4.备考重点：(1) 理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是关键；(2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.知识点1向量的概念1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模2零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量【典例1】（2019重庆高二期末）下列命题中，正确的个数是（ ）单位向量都相等；模相等的两个平行向量是相等向量；若，满足且与同向，则；若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；若，则A0个B1个C2个D3个【答案】A【解析】对于，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故错误；对于，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故错误；对于，向量是有方向的量，不能比较大小，故错误；对于，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故错误；对于，时，则与不一定平行综上，以上正确的命题个数是0故选A【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混淆(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量它们的模确定，但方向不确定【变式1】设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0，假命题的个数是()A0B1C2 D3【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.知识点2平面向量的线性运算一 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：；(2)结合律：减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则二向量的数乘运算及其几何意义1定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a的方向与a的方向相同；当|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数为()A1B2C3 D4【答案】【解析】不正确当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线正确，|且.又是不共线的四点，四边形是平行四边形反之，若四边形是平行四边形，则且与方向相同，因此.不正确两向量不能比较大小不正确当时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线选.考点2 平面向量的线性运算【典例5】（2019浙江高一月考）如图所示，点是正六边形的中心，则（）ABCD【答案】A【解析】， 本题正确选项：【总结提升】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解【变式5】（2019广东高考模拟（理）已知，三点不共线，且点满足，则（ ）ABCD【答案】A【解析】已知，三点不共线，且点满足，所以= +=） （）+=，所以，故选：A考点3 利用向量线性运算求参数【典例6】（2019北京高考模拟（文）设为的边的中点，则的值分别为( )ABCD【答案】A【解析】（）-mn故选：A【总结提升】利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)比较、观察可知所求【变式6】（2019山东高考模拟（文）在正方形中，为的中点，若，则的值为（ ）ABCD1【答案】B【解析】由题得，.故选：B考点4 共线向量及其应用【典例7】设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线【答案】（1）见解析；（2）k1.【解析】(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，共线又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)假设kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.【总结提升】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公