（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题2.2函数的单调性与值域（讲）（含解析）.docx

第02讲 函数的单调性与值域 -讲1理解函数的单调性，会判断函数的单调性.2理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.3. 高考预测：（1）确定函数的最值（值域）（2）以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性结合，有时与导数综合考查.4.备考重点：（1）判断函数的单调性方法；（2）求函数最值的方法；（3）利用单调性比较函数值大小、解不等式、确定参数取值范围.知识点1函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.【典例1】（2019江西高三期中（文）下列函数中，在区间上为增函数的是( )A B C D【答案】B【解析】选项A中，函数在上为减函数，不符合题意；选项B中，函数在上为增函数，符合题意；选项C中，函数在上为减函数，在上为增函数，不符合题意；选项D中，函数在上为减函数，在上为增函数，不符合题意故选B【规律方法】复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数简称“同增异减”【变式1】（2018吴起高级中学高三期中（理）下列函数中，定义域是R且为增函数的是()Ayex B Cyln x Dy|x|【答案】B【解析】对于选项A，yet为增函数，tx为减函数，故yex为减函数，对于选项B，易知幂函数yx3的定义域为R，且为增函数，对于选项C，函数的定义域为x0，不为R，对于选项D，函数y|x|为偶函数，在（0）上单调递减，在（0，）上单调递增，故选：B知识点2函数的最值1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.【典例2】【2018届浙江省绍兴市3月模拟】已知，函数在区间上的最大值是2，则_【答案】3或【解析】当时， =函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，经检验，a=3满足题意.令，经检验a=5或a=1都不满足题意.令，经检验不满足题意.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像得函数的最大值是.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，令,所以.综上所述，故填3或.【重点总结】求函数最值（值域）的常见方法：1.单调性法： 利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.3. 利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.4.利用三角函数的有界性,如.5.利用“分离常数”法:形如y= 或(至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.6.利用换元法:形如型,可用此法求其值域.7.利用基本不等式法:8.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域9.求分段函数的最值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围 10.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.【变式2】【2018届浙江省杭州市高三上期末】设函数，记为函数在上的最大值， 为的最大值.（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】C【解析】由题意得， 则若，则，此时任意有则，在时与题意相符，故选考点1 单调性的判定和证明【典例3】（2019贵州高三高考模拟（文）关于函数的下列结论，错误的是（ ）A图像关于对称B最小值为C图像关于点对称D在上单调递减【答案】C【解析】由题意可得：，绘制函数图像如图所示，观察函数图像可得：图像关于对称，选项A正确；最小值为，选项B正确；图像不关于点对称，选项C错误；在上单调递减，选项D正确；故选：C.【总结提升】掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法(1)定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性【变式3】【2018届河南省南阳市第一中学高三实验班第一次考试】已知，那么 ( )A. 在区间上单调递增 B. 在上单调递增C. 在上单调递增 D. 在上单调递增【答案】D【解析】，在记，则当时，单调递增，且而在不具有单调性，故A错误；当时，不具有单调性，故B错误；当时，单调递增，且而在不具有单调性，故C错误；当时，单调递减，且而在单调递减，根据“同增异减”知，D正确.故选：D考点2 求函数的单调区间【典例4】【2019届四川省成都市第七中学零诊】函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】得或，令，则为增函数，在上的增区间便是原函数的单调递增区间，原函数的单调递增区间为，故选D.【总结提升】确定函数的单调区间常见方法：1.利用基本初等函数的单调区间2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.【变式4】（2019山西山西大附中高三月考）函数的单调递增区间是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可得x2-3x+20，解得x1或x2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为：（-，1）故选：A考点3 利用单调性比较大小【典例5】（2019江苏扬州中学高考模拟）设，则比较的大小关系_.【答案】【解析】是单调增函数，所以有，当时，是单调增函数，所以有，所以函数是上的增函数.,所以有，而函数是上的增函数，所以的大小关系为.【思路点拨】先判断出函数的单调性，然后判断之间的大小关系，利用单调性比较出之间的大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解【变式5】（2019天津高三期末（文）已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，则下面结论正确的是（ ）A BC D【答案】C【解析】因为，得函数关于对称，又对任意（0，3)都有，所以函数在（0，3)时单调递减，因为，所以，又，所以，所以，故选C.考点4 利用单调性确定参数取值范围【典例6】（2019陕西西安中学高三期中（文）若函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是A B C D【答案】C【解析】因为函数为R上的减函数，所以,是减函数，且当时，故只需满足，解得，故选C.【规律方法】利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的【变式6】（2018吉林东北师大附中高考模拟（文）已知函数满足对任意，都有成立， 则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】因为函数对任意，都有成立，所以函数在定义域内单调递减，所以.故答案为：B考点5 利用函数的单调性解决不等式问题【典例7】（2019广东高考模拟（文）已知，则满足的的取值范围为_【答案】【解析】根据题意，f（x）x|x|，则f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（2x1）+f（x）0f（2x1）f（x）f（2x1）f（x）2x1x，解可得x，即x的取值范围为，+）；故答案为：，+）【规律方法】求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)h(x)【变式7】【2018届云南省昆明市5月检测】已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数. 由得.解得.故选A.考点6 函数的单调性和最值（值域）及其综合应用【典例8】（2018河北高三期末（理），使，则实数的取值范围是( )A B C D【答案】B【解析】由题意可知：，使，则.由于函数是定义域内的单调递增函数，故当时，函数取得最小值，综上可得，实数的取值范围是.本题选择B选项.【思路点拨】1.由