（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题2.3函数的奇偶性与周期性（讲）（含解析）.docx

第03讲 函数的奇偶性与周期性 -讲1理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性.2. 高考预测：（1）判断函数的奇偶性与周期性；（2）函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，浙江卷常通过三角函数加以考查3.备考重点：（1）抽象函数的奇偶性与周期性；（2）利用奇偶性与周期性求参数取值范围；（3）函数性质的综合应用问题.知识点1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称【典例1】（2019北京高考模拟（理）下列函数中为偶函数的是( )ABCD【答案】B【解析】对于A，f（x）x3x（x3x）f（x），是奇函数.对于B，f（x）（x）24x24f（x），是偶函数.C、D是非奇非偶函数，所以，选B.【规律方法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断与是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(奇函数)或(偶函数)是否成立.【变式1】（2019天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）ABCD【答案】D【解析】易知和为奇函数，为偶函数.令，则，即且.所以为非奇非偶函数.故选D.知识点2函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【典例2】（2019广东高考模拟（文）已知是定义在上的奇函数，满足，且，则（ ）A0BCD【答案】B【解析】因为函数满足，所以关于直线对称，所以，又是定义在上的奇函数，所以，又由可得，所以，故，因此，函数是以4为周期的周期函数，所以，又因此.故选B【重点总结】1求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如yAsin(x)，用公式T计算递推法：若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以周期T2a.换元法：若f(xa)f(xa)，令xat，xta，则f(t)f(t2a)，所以周期T2a2判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题3根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期【变式2】（2019河南高三高考模拟（理）设函数，则下列结论正确的是（ ）A的值域为B是偶函数C不是周期函数D是单调函数【答案】B【解析】函数的值域为，故A错误；当为有理数时，是有理数，则当为无理数时，是无理数，则即为偶函数，故B正确；对于任意的有理数，当为有理数时，也是无理数，则当为无理数时，也是无理数， 则即函数是以任意非0有理数为周期的周期函数，故C错误；显然不是单调函数，故D错误故选B.考点1 函数奇偶性的判断【典例3】【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】函数，则 （ ）A. 是非奇非偶函数 B. 奇偶性与有关C. 奇偶性与有关 D. 以上均不对【答案】A【解析】由题得函数的定义域为R.因为，所以所以【总结提升】判断函数的奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图象法：【变式3】【山东省青岛市2018年春季高考二模】下列函数是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用偶函数的定义判断函数的奇偶性.详解：对于选项A,，所以函数是偶函数.考点2 函数奇偶性的性质及应用【典例4】（2019全国高考真题（文）设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)=，则当x0时，f(x)= （ ）ABCD【答案】D【解析】是奇函数，x0时，当时，得故选D【总结提升】函数奇偶性的应用(1)求函数解析式将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；将转化后的自变量代入已知解析式；利用函数的奇偶性求出解析式(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(x)f(x)或偶函数满足f(x)f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)0列式求解，若不能确定则不可用此法【变式4】（2019江西江西师大附中高三高考模拟（文）若函数为奇函数，则实数的值为（）ABCD【答案】B【解析】为奇函数 当时， 又时， 本题正确选项：【典例5】【2018届河南省南阳市第一中学高三第二十次考】若函数为偶函数，则_【答案】或【解析】令，根据函数为偶函数，可知为奇函数，利用，可得，所以或.【变式5】（2019天津南开中学高三高考模拟（文）已知是定义域为a，a+1的偶函数，则（ ）ABCD【答案】B【解析】f（x）在a，a+1上是偶函数，aa+1a，所以f（x）的定义域为，故：f（x）x2bx+1，f（x）在区间，上是偶函数，有f（）f（），代入解析式可解得：b0；故选：B考点3 函数周期性及其应用【典例6】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上， 则的值为_【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此【思路点拨】1.根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.2.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想【变式6】【2018届广东省东莞市考前冲刺】已知奇函数满足，且当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为函数为奇函数满足，所以，即函数表示以为周期的周期函数，因为当时，所以，故选D.考点4 函数性质的综合应用【典例7】（2019山东高考模拟（文）已知定义在上的奇函数满足，当时，则（ ）A2019B0C1D-1【答案】B【解析】由得：的周期为又为奇函数， 即： 本题正确选项：【规律方法】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解【变式7】(2019哈尔滨六中二模)定义在R上的奇函数f(x)满足ff(x)，当x时，f(x)log (1x)，则f(x)在区间上是()A减函数且f(x)0B减函数且f(x)0C增函数且f(x)0 D增函数且f(x)0【答案】D【解析】当x时，由f(x)log (1x)可知f(x)单调递增且f(x)0，又函数为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)0.由ff(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)0，故选D.【典例8】（2019山东高考模拟（理）已知函数的定义域为,为偶函数，且对，满足.若，则不等式的解集为（ ）ABCD 【答案】A【解析】因为对,满足，所以当时，是单调递减函数，又因为