（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题3.2利用导数研究函数的单调性（讲）（含解析）.docx

第02讲 利用导数研究函数的单调性 -讲1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.2. 高考预测：（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； （2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性3.备考重点：（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；（）熟练掌握利用导数研究函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.知识点1利用导数研究函数的单调性在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数在上为减函数【典例1】（2019年高考北京理）设函数（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.【规律方法】利用导数研究函数的单调性的方法步骤：确定函数的定义域；求导数；由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.【变式1】（2019浙江高考模拟）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由， 得：即 令F（x）=x2f（x），则当 时，得 即上是减函数， 即不等式等价为 在 是减函数，由F 得， ，即故选B考点1 判断或证明函数的单调性【典例2】（2019天津高三期中（理）已知函数，。（）若 ，求的值；（）讨论函数的单调性。【答案】()a=3；()答案见解析.【解析】 ()由题意可得：，故，.()函数，其中a1，f(x)的定义域为(0,+)，令f(x)=0,得x1=1,x2=a1.若a1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+)单调递增.若0a11，即1a2时，由f(x)0得，a1x0得，0x1.故f(x)在(a1,1)单调递减,在(0,a1),(1,+)单调递增.若a11，即a2时，由f(x)0得,1x0得，0xa1.故f(x)在(1,a1)单调递减,在(0,1),(a1,+)单调递增.综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+)单调递增；当1a2时,f(x)在(1,a1)单调递减,在(0,1),(a1,+)单调递增.【易错提醒】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论讨论的标准有以下几种可能：(1)f(x)0是否有根；(2)若f(x)0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小【变式2】（2018届河南省洛阳市第三次统考）已知函数，其中.（1）函数的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能，请说明理由；（2）讨论函数的单调性.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】（1）由于.假设函数的图象与轴相切于点，则有，即.显然，将代入方程中，得.显然此方程无解.故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切.（2）由于，当时，当时，递增，当时，递减；当时，由得或，当时，当时，递增，当时，递减，当，递增；当时，递增；当时，当时，递增，当时，递减，当时，递增.综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数.考点2 求函数的单调区间【典例3】（2018年全国卷II文）已知函数（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点【答案】（1）f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）见解析.【解析】（1）当a=3时，f（x）=，f （x）=令f （x）=0解得x=或x=当x（，）（，+）时，f （x）0；当x（，）时，f （x）0故f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）由于，所以等价于设=，则g （x）=0，仅当x=0时g （x）=0，所以g（x）在（，+）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点又f（3a1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点综上，f（x）只有一个零点【总结提升】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)0或f(x)0求出单调区间(2)当方程f(x)0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f(x)的符号，从而确定单调区间(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f(x)结构特征，利用图象与性质确定f(x)的符号，从而确定单调区间温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开【变式3】(2019广东省中山一中等七校联考)已知函数.(1)求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间【答案】（1）y(ae21)(x2)；（2）见解析.【解析】(1)函数的导函数为，可得曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为ae21，切点坐标为(2,0)，即切线的方程为y0(ae21)(x2)，即y(ae21)(x2)(2)f(x)的导函数为当a0时，f(x)(x1)，若x1，则f(x)0，f(x)单调递减，若x1，则f(x)0，f(x)单调递增当a0时，若x1，则f(x)0，f(x)单调递减；若x1，则f(x)0，f(x)单调递增当a0时，若，则f(x)(x1)(ex11)，f(x)在R上单调递增若，则f(x)0即为，可得x1或x；f(x)0即为，可得x1.若，则f(x)0即为，可得x1或；f(x)0即为，可得1x.综上可得，当a0时，f(x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)；当时，f(x)的单调递增区间为R；当时，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为；当时，f(x)的单调递增区间为，(，1)，单调递减区间为.考点3 利用函数的单调性研究函数图象【典例4】（2018全国高考真题（文）函数的图像大致为（ ）A BC D【答案】D【解析】函数过定点，排除，求得函数的导数，由得，得或，此时函数单调递增，排除，故选D.【规律方法】函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.【变式4】（2019云南高考模拟（文）函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】如下图所示：当时，单调递增；当时，单调递减，所以整个函数从左到右，先增后减，再增最后减，选项A中的图象符合，故本题选A.考点4 利用函数的单调性解不等式【典例5】（2019山东枣庄八中高三月考（理）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】设则，所以函数是R上的减函数，函数是偶函数，函数，函数关于对称，原不等式等价为，不等式等价，在R上单调递减，故选：B【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系【变式5】（2019四川高考模拟（文）设定义在上的函数的导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）ABCD 【答案】A【解析】设，则，是上的增函数，又，的解集为，即不等式的解集为.故选A.考点5 利用函数的单调性比较大小【典例6】（2019天津高考模拟（理）已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,，则的大小关系是（ ）ABCD【答案】D【解析】，当时，；当时，即在上递增，的图象关于对称，向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，即为偶函数，即，即.故选D.【总结提升】在比较，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小【变式6】（2019山西高考模拟（理）定义在上的函数的导函数为，若，且，则（ ）AB CD 【答案】C【解析】因为，所以.构造函数：，所以.所以函数在上单调递增，所以，即，即故选：C考点6 利用函数的单调性求参数的范围（值）【典例7】（2018届浙江省名校协作体高三上学期）已知函数（）在上为增函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题函数为增函数，则在上恒成立，则，设则令得到 ，可知函数 在上单调递增，在 上单调递减，则， 即的取值范围是，选A【总结提升】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时