北京市第四中学2019届高三数学调研卷（二）文（含解析）.docx

北京市第四中学2019届高三数学调研卷（二）文（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集，那么等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可【详解】由题得或， ，.故选：C【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知曲线，则下面结论正确的是（ ）A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果【详解】对于选项A, 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项A是错误的；对于选项B, 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线,所以选项B是错误的；对于选项C,曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项C是正确的；对于选项D, 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，所以选项D是错误的.故选：【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是( )A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为，中位数为所以D错误.选D.【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题.5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：6【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：；下部为：，截去部分与剩余部分体积的比为：故选：A【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力.6.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则；B. 若，则；C. 若，则；D. 若，则【答案】D【解析】【分析】在中，则或；在中，则与相交、平行或；在中，则与相交或平行；由线面平行的性质定理得【详解】由，是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在中，若，则或，故错误；在中，若，则与相交、平行或，故错误；在中，若，则与相交或平行，故错误；在中，若，则由线面平行的性质定理得，故正确故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题7.九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A. ；B. ；C. ；D. 【答案】C【解析】【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得内切圆的面积为，豆子落在内切圆外部的概率，故选：【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：；其中为“柯西函数”的个数为 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.,画出f(x)在x0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k2，此时，所以（x0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；显然都是柯西函数.故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分9.曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】本题首先可以求出曲线的导函数，然后将带入曲线中计算出纵坐标，再然后将带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果。【详解】因为曲线，所以将带入曲线中可得，带入导函数中可得，所以曲线在点处的切线方程为，即。【点睛】本题考查了曲线的某一点处的切线方程的求法，首先可以根据曲线方程计算出切点坐标，然后根据曲线的导函数计算出切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出切线方程，考查计算能力，考查对导数的理解，是简单题。10.若变量满足则目标函数则目标函数的最大值为_【答案】28【解析】【分析】本题首先可以通过不等式组在平面直角坐标系上画出可行域，然后将目标函数化为直线方程的斜截式，通过数形结合即可得出最优解，最后带入目标函数中即可得出结果。【详解】如图所示，根据不等式组可画出可行域并求出可行域的三个顶点坐标为、，然后画出函数的图像，通过对函数平移可知过点时目标函数取最大值，最大值为。【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题。11.将数列3，6，9，按照如下规律排列，记第行的第个数为，如，若，则_【答案】44【解析】【分析】本题首先可以通过数列来确定2019是数列的第673项，然后通过计算前多少行共有多少个数来确定第673项在哪一行，最后即可得出的值并计算出结果。【详解】由题意可知，数列是一个首项为3、公差为3的等差数列，令数列为数列，则有，2019是数列的第673项，再由图可知：前1列共有1个数；前2列共有个数；前3列共有个数；前4列共有个数；前36列共有个数；前37列共有个数；所以2019是第37列第7个数，故。【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查数列的某一项的项数以及数列的前项和，考查推理能力以及计算能力，考查学生从题意中获取信息并寻找规律的能力，是中档题。12.已知函数，实数满足，且，若在区间上的最大值是2，则的值为_【答案】【解析】【分析】利用函数的单调性可得|2，或2，分别检验两种情况下的最大值是否为2，可得结论【详解】由题意得，n，且,又函数在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数，|2，或2当|2时，m，又n，ne，此时，f（x）在区间m2，n上的最大值为2，满足条件当2时，n，m，此时，f（x）在区间m2，n上的最大值为|4，不满足条件综上，ne，m,故答案为【点睛】本题考查了含绝对值函数的单调性、函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题13.设为所在平面内一点，若，则_【答案】-3【解析】【分析】直接利用向量的线性运算求出结果【详解】为所在平面内一点, ，B，C，D三点共线.若 ，化为： =+，与=+，比较可得： ，解得.即答案为-3.【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题14.若圆与圆相切，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据两圆相切得圆心之间距离等于半径之和或之差的绝对值，解得的值.【详解】因为，所以,因为两圆相切，所以或，解得或.【点睛】本题考查两圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基本题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.若数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和【答案】(1) 或.(2) .【解析】分析：（1），即或，或；(2) 由，可得，利用裂项相消法求和即可.详解： （1）当时，则当时，即或或（2）由，16.设函数的图象的一个对称中心为，且图象上最高点与相邻最低点的距离为求和的值；若，求的值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】根据图象上相邻两最高点与最低点之间的距离由勾股定理列方程可得，再根据对称中心列式可解得；根据已知等式解得，再得，由和角的余弦公式可得【详解】解：由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为得函数的图象的一个对称中心为由知： 【点睛】本题考查由的部分图象性质确定其解析式，考查同角三角函数关系式和两角和差公式的应用，属基础题17.某商场营销人员进行某商品市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数12345销量（百件）/天0.50.611.41.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量（百件）与该天返还点数之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间（百分比）频数206060302010将对返还点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.（参考公式及数据：回归方程，其中，；.）【答案】（1），返回6个点时该商品每天销量约为2百件；（2）（i），中位数的估计值为，（ii）见解析【解析】【分析】(1)求出变量的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程； 代入线性回归方程求出对应的的值，即可预测返回6个点时该商品每天销量；(2)利用分层抽样方法求得“欲望膨胀型”消费者与 “欲望紧缩型”消费者中抽取的人数，利用列举法得到所有的抽样情况共20种，其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况有16种，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】（1）易知，则y关于x的线性回归方程为，当时，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.（2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取人，由分层抽样的定义可知，解得，在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为，则所有的抽样情况如下：共20种，其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况有16种，记事件A为“抽出的3人中至少有1名欲望膨胀型消费者”，则.【点睛】本题主要考查回归方程的求法与应用、分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于中档题. 利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.18.如图，四棱锥中，/，为正三角形. 且.（）证明：平面平面；（）若点到底面的距离为2，是线段上一点，且/平面，求四面体的体积. 【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（）证明，可证平面平面；（）如图，连接，交于点，因为/，由（）点到平面的距离为2，所以点到平面的距离为，所以由可求四面体的体积.【详解】（）证明：，且，又为正三角形，所以，又，所以，又，/，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（）如图，连接，交于点，因为/，且，所以，连接，因为/平面，所以/，则，由（）点到平面的距离为2，所以点到平面的距离为，所以，即四面体的体积为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及锥体体积的实际，属中档题.19.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于两点若的面积为，求直线l的方程【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为因为圆O的直径为，所以其方程为（2）设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即由，消去y，得（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以因为，所以因此，点P的坐标为因为三角形OAB的面积为，所以，从而设，由（*）得，所以因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为综上，直线l的方程为点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适