2020版高考数学第九章平面解析几何第11讲定点、定值、探索性问题分层演练理（含解析）新人教A版.docx

第11讲 定点、定值、探索性问题1(2019郑州质量预测(一)已知直线l与双曲线y21相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则的值为()A3B4C5D与P的位置有关解析：选A.依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x4y4，则直线l的方程是y0y1，题中双曲线的两条渐近线方程为yx.当y00时，直线l的方程是x2或x2.由，得，此时(2，1)(2，1)413，同理可得当直线l的方程是x2时，3.当y00时，直线l的方程是y(x0x4)由，得(4yx)x28x0x160(*)，又x4y4，因此(*)即是4x28x0x160，x22x0x40，x1x24，x1x2y1y2x1x2x1x2x1x23.综上所述，3，选A.2(2019湖南湘中名校联考)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足0，则_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由，得y1y2y30.因为kAB，所以kAC，kBC，所以0.答案：03已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，求证：直线AB恒过定点解：(1)设P(x，y)，则(y1)1x28y.所以E的方程为x28y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入x28y中，得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b.x1x2y1y2x1x28bb216b4，所以直线AB恒过定点(0，4)4椭圆C：1(ab0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A，B两点当m0时，.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：|PA|2|PB|2为定值解：(1)因为离心率为，所以.当m0时，l的方程为yx，代入1并整理得x2.设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，xyx.又因为，所以a225，b216，椭圆C的方程为1.(2)证明：l的方程为xym，代入1，并整理得25y220my8(m225)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则|PA|2(x1m)2yy，同理|PB|2y.则|PA|2|PB|2(yy)(y1y2)22y1y241.所以|PA|2|PB|2为定值1(2019太原市模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：ykxm与椭圆C相交于A，P两点，与x轴，y轴分别相交于点N和M，且|PM|MN|，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆C于点B，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由解：(1)由题意得解得，所以椭圆C的方程为1.(2)存在这样的直线l.因为ykxm，所以M(0，m)，N，因为|PM|MN|，所以P，则Q，所以直线QM的方程为y3kxm.设A(x1，y1)，由，得(34k2)x28kmx4(m23)0，所以x1，所以x1，设B(x2，y2)，由，得(336k2)x224kmx4(m23)0.所以x2，所以x2，因为点N平分线段A1B1，所以x1x2，所以，所以k，所以P(2m，2m)，所以1，解得m，因为|m|b，所以直线l的方程为yx.2(2019福州市综合质量检测)已知圆O：x2y24，点A(，0)，B(，0)，以线段AP为直径的圆C1内切于圆O.记点P的轨迹为C2.(1)证明：|AP|BP|为定值，并求C2的方程；(2)过点O的一条直线交圆O于M，N两点，点D(2，0)，直线DM，DN与C2的另一个交点分别为S，T.记DMN，DST的面积分别为S1，S2，求的取值范围解：(1)如图，因为圆C1内切于圆O，所以|OC1|2|AP|.依题意，O，C1分别为AB，AP的中点，所以|OC1|BP|.所以|AP|BP|2(2|OC1|)2|OC1|4|AB|.所以C2是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，所以C2的方程为y21.(2)依题意，设直线DM的方程为yk(x2)(k0)，因为MN为圆O的直径，所以MDN90，所以直线DN的方程为y(x2)，所以圆心O(0，0)到直线DM的距离为，