2019秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第3课时空间角与空间距离练习新人教A版.docx

第3课时 空间角与空间距离A级基础巩固一、选择题1三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1，n2，则二面角ABDC的大小为()A.B. C.或 D.或解析：只需搞清二面角的范围是0，答案：C2直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以(1，1，2)，(1，0，2)，故与所成角的余弦值cos .答案：C3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与平面BCC1B1所成角的正切值为()A. B.C. D.答案：C4.如图所示，M，N是直角梯形AB-CD两腰的中点，DEAB于E，现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为()A45 B90 C135 D150解析：建系如图所示，由题意知ABE为等腰直角三角形设CD1，则BE1，AB1，AE.设BCDE2a.则E(0，0，0)，A(1，0，1)，N(1，a，0)，D(0，2a，0)，M，所以，(1，0，1)，所以(1，0，1)0.故，从而MN与AE所成的角为90.答案：B5.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A. B.C. D.解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)因O为A1C1的中点，所以O，设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，则有即取n(1，0，1)所以O到平面ABC1D1的距离为d.答案：B二、填空题6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，(1，x1，2)，(2，0，1)所以0，所以直线BM与OP所成的角为.答案：7在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA12AB2，则B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，2)故(1，1，0)，(0，1，2)，(0，1，0)，设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y2，x2，即平面BDC1的一个法向量为n(2，2，1)，设直线CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.答案：8已知RtABC中，C90，B30，AB4，D为AB的中点，沿中线将ACD折起使得AB，则二面角ACDB大小为_答案：120三、解答题9已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离解：(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，设平面PEF的法向量n(x，y，z)，则n0，且n0，所以令x2，则y2，z3，所以n(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离为d，因此，点D到平面PEF的距离为.(2)因为，所以点A到平面PEF的距离为d，所以AC到平面PEF的距离为.10如图所示，BD平面ABC，AEBD，ABBCCABD2AE2，F为CD的中点(1)求证：EF平面BCD；(2)求点A到平面CDE的距离；(3)求二面角CDEA的余弦值(1)证明：取BC的中点G，连接AG，FG，因为F，G分别为DC，BC的中点，所以FGBD且FGBD.又AEBD且AEBD，所以AEFG且AEFG，所以四边形EFGA为平行四边形，则EFAG.因为BD平面ABC，所以BDAG.因为G为BC的中点，且ACAB，所以AGBC，所以AG平面BCD，所以EF平面BCD.(2)解：取AB的中点O和DE的中点H，分别以，所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则C(，0，0)，D(0，1，2)，E(0，1，1)，A(0，1，0)，(，1，2)，(0，2，1)设平面CDE的法向量n1(x，y，z)，则取n1(，1，2)，(0，0，1)，点A到平面CDE的距离d.(3)解：取面ABDE的法向量n2(1，0，0)，由cosn1，n2，故二面角CDEA的余弦值大小为.B级能力提升1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于()A. B. C. D.解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则O(1，1，0)，E(0，2，1)，F(1，0，0)，D1(0，0，2)故(1，1，1)，(1，0，2)，cos，故OE与FD1所成角的余弦值是.答案：B2.如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值为_解析：建立如图所示的空间坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0，0)，F(2，1，0)，E(1，0，0)，设M(0，m，2)(0m2)，则(2，1，0)，(1，m，2)，cos .令t2m(0t2)，cos .答案：3.(2018全国卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆孤所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值解：(1)由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点由题设得D(0，