2020版高考数学第三章导数及其应用第6讲利用导数研究函数零点问题分层演练理（含解析）新人教A版.docx

第6讲 利用导数研究函数零点问题1(2017高考全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()ABCD1解析：选C.由f(x)x22xa(ex1ex1)，得f(2x)(2x)22(2x)ae2x1e(2x)1x24x442xa(e1xex1)x22xa(ex1ex1)，所以f(2x)f(x)，即x1为f(x)图象的对称轴由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x1，即f(1)1221a(e11e11)0，解得a.故选C.2已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(，2)C(1，)D(，1)解析：选B.f(x)3ax26x，当a3时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f(x)0；x时，f(x)0，注意f(0)1，f0，则f(x)的大致图象如图(1)所示：不符合题意，排除A、C.当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，注意f(0)1，f，则f(x)的大致图象如图(2)所示不符合题意，排除D.3.函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)的导函数的图象如图所示：(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)有三个零点，求c的取值范围解：(1)因为f(x)x3ax2bxc，所以f(x)x22axb.因为f(x)0的两个根为1，2，所以解得a，b2，由导函数的图象可知，当1x2时，f(x)0，函数单调递减，当x1或x2时，f(x)0，函数单调递增，故函数f(x)在(，1)和(2，)上单调递增，在(1，2)上单调递减(2)由(1)得f(x)x3x22xc，函数f(x)在(，1)，(2，)上是增函数，在(1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(1)c，极小值为f(2)c.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得c.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.4已知f(x)3，F(x)ln x3x2.(1)判断f(x)在(0，)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，)上零点的个数解：(1)f(x)，令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)F(x)f(x)3，由(1)得x1，x2，满足0x11x2，使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，)上大于0，即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，而F(1)0，x0时，F(x)，x时，F(x)，画出函数F(x)的草图，如图所示故F(x)在(0，)上的零点有3个1已知函数f(x)(2a)(x1)2ln x(aR)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在上无零点，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x12ln x，则f(x)1，由f(x)0，得x2，由f(x)0，得0x2，故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，)(2)因为f(x)0在区间上恒成立不可能，故要使函数f(x)在上无零点，只要对任意的x，f(x)0恒成立，即对x，a2恒成立令h(x)2，x，则h(x)，再令m(x)2ln x2，x，则m(x)0，故m(x)在上为减函数，于是，m(x)m42ln 30，从而h(x)0，于是h(x)在上为增函数，所以h(x)h23ln 3，所以a的取值范围为23ln 3，)2(2019豫南九校联考)对于函数yH(x)，若在其定义域内存在x0，使得x0H(x0)1成立，则称x0为函数H(x)的“倒数点”已知函数f(x)ln x，g(x)(x1)21.(1)求证：函数f(x)有“倒数点”，并讨论函数f(x)的“倒数点”的个数；(2)若当x1时，不等式xf(x)mg(x) x恒成立，试求实数m的取值范围解：(1)证明：设h(x)ln x(x0)，则h(x)0(x0)，所以h(x)在(0，)上为单调递增函数而h(1)0，h(e)0，所以函数h(x)有零点且只有一个零点所以函数f(x)有“倒数点”且只有一个“倒数点”(2)xf(x)mg(x)x等价于2xln xm(x21)，设d(x)2ln xm，x1.则d(x)，x1，易知mx22xm0的判别式为44 m2.当m1时，d(x)0，d(x)在1，)上单调递减，d(x)d(1)0，符合题意；当0m1时，方程mx22xm0有两个正根且0x11x2，则函数d(x)在(1，x2)上单调递增，此时d(x)d(1)0，不合题意；当m0时，d(x)0，d(x)在(1，)上单调递增，此时d(x)d(1)0，不合题意；当1m0时，方