仿射变换原理解析课件

仿射变换 1. 透视仿射对应 定义 对于空间中两平面 , , 给定一个与两平面不平行的投射方向 , 则确定了 到 的一个 透视仿射对应 (平行投影 ). 上任一点 P在 上的像即为过P且平行于投射方向的直线与 的交点 P. 注 1. 透视仿射对应的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射 , 且对应点连线相互平行； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比 , 从而保持两平行线段的比值不变 . 注 2. , 的交线称为透视仿射的 轴 . 若 /则没有轴 . 仿射变换 2. 仿射变换 定义 对于空间中一组平面 , 1, 2, , n, , 设以下对应均为透视仿射对应： 0 1 1 1 2: , : , . . . , : nn 则称这 n个透视仿射的积 为 到 的一个 仿射对应 . 若 , 则称 为平面 上的一个 仿射变换 . 注 . 仿射变换的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比 , 从而保持两平行线段的比值不变 . 仿射变换 定义 设 为平面 上的一个点变换 , 满足 (1) 为一个使共线点变为共线点的双射； (2) 使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比； (3) 使得相互平行的直线变为相互平行的直线 , 则称 为 上的一个 仿射变换 . 定理 仿射变换是双射 .设 A表示平面上全体仿射变换的集合 . 则有 (1) , A, 有 A. (2) 恒同变换 iA. (3) S, 存在 1A, 满足 11i. 上述性质使得 A对于变换的乘法构成一个 群 , 叫做 仿射变换群 . 而且 MSA. 仿射变换 3. 仿射坐标系 定义 设在平面上取定一点 O和以 O为起点的两个 线性无关向量 ex, ey, 则由此构成平面上一个 仿射坐标系 (或 仿射坐标架 ), 记作O-exey. 平面上任一点 P的仿射坐标 (x, y)由下式唯一确定 , .xyO P x e y e反之 , 对任意给定的有序实数偶 (x, y), 由(1.12)式可唯一确定仿射平面上的一个点具有坐标 (x, y). 建立了仿射坐标系的平面称为 仿射平面 , ex, ey称为 基向量 . 注 若 ex, ey为单位正交向量 , 则 O-exey成为笛卡儿直角坐标系 . ()()xxxxyyyyOPx P E OOEOPy P E OOE 仿射变换 定理 设在平面 上取定了一个 仿射坐标系 O-exey, 点变换 为 上的一个仿射变换 有表达式 1 1 1 2 1 3 1 31 1 1 22 1 2 2 2 3 2 32 1 2 2. x a x a y a aaax xy a x a y a aaayy 或其中 (x, y)与 (x, y)为任一对对应点 P, P 的坐标 , 矩阵 1 1 1 22 1 2 2aaAaa 满足 |A|0, 称为仿射变换 的矩阵 . 平面仿射几何就是研究在仿射变换群 A的作用下保持不变的几何性质与几何量 . 由定义 , 这些不变的性质和数量必定只与平行性、共线三点的简单比有关 . 定理 平面 上的仿射变换 将一个仿射坐标系 O-exey变为另一个仿射坐标系 O-exey. 仿射变换 一、正交变换 定义 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上的一个 正交变换 . 定理 正交变换是双射 .设 M表示平面上全体正交变换的集合 . 则有 (1) , M, 有 M. (2) 恒同变换 iM. (3) M, 存在 1M, 满足 1=1=i. 注 ：设 为平面上的一个正交变换 , A, B为平面上两个点 , 且 (A)=A, (B)=B , 则 |AB|=|AB|. 上述性质使得 M对于变换的乘法构成一个 群 , 叫做 正交变换群 . 几种特殊的仿射变换 定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点 ; 不共线三点变成不共线三点 , 而且保持两直线的夹角不变 . 证明 设 A, B, C为平面上三点 , 为正交变换 , 且上述三点在 下的像依次为 A, B, C. 若 A, B, C共线且 B在 A, C之间 , 则有 |AB|+|BC|=|AC|. 由正交变换的定义有 | | | | | | | | | | | | .A B B C A C A B B C A C 即 A, B, C仍然为共线三点且 B在 A, C之间 . 若 A, B, C不共线 , 则必有 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |A B B C A C A B B C A CA B B C A C A B B C A C 即 A, B, C仍然为不共线三点 . 几种特殊的仿射变换 定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点 ; 不共线三点变成不共线三点 , 而且保持两直线的夹角不变 . 证明 设 A, B, C为平面上三点 , 为正交变换 , 且上述三点在 下的像依次为 A, B, C. 设 A, C分别在 B两边上且异于 B, 则 A, B分别在 B的两边上 . 且 |AB|=|AB|, |BC|=|BC|, |AC|=|AC|. 即 ABCABC, 于是 , B =B, 即正交变换保持两直线的夹角不变 . 推论 (1) 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形 . 进而 , 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形 , 使得任何平面图形变为可以与其叠合 (合同 )的图形 . (2) 正交变换使得平行直线变为平行直线 , 矩形变为与之全等的矩形 . 几种特殊的仿射变换 推论 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系 . 正交变换 将平面上的一个直角坐标系 O-exey变为另一个直角坐标系 O-exey,有下述可能 右手系 右手系 右手系 左手系 几种特殊的仿射变换 定理 对于平面上的一个取定的直角坐标系 , 点变换 是正交变换 具有表达式 1 1 1 2 1 3 1 31 1 1 22 1 2 2 2 3 2 32 1 2 2. ( 1 . 1 ) x a x a y a aaax xy a x a y a aaayy 或其中 (x, y)与 (x, y)为 的任一对对应点 P, P的坐标 , 矩阵 1 1 1 22 1 2 2aaAaa 注 ：对于正交变换 的矩阵 A, 显然有 A1=AT, 且 |A|=1. 当 |A|=1时 , 将右手系变为右手系 , 称 为 第一类正交变换 ； 当 |A|= 1时 , 将右手系变为左手系 , 称 为 第二类正交变换 . 称为 的矩阵 , 满足 AAT=ATA=E, 为二阶 正交矩阵 . 几种特殊的仿射变换 (1). 平移变换 定义 将平面上的每个点都向着同一个方向移动相同的距离的变换称为平面上的一个 平移变换 , 简称 平移 . 定理 设在平面上取定了一个笛氏直角坐标系 O-exey, 并给定一个向量 c(c1, c2). 则由此可惟一确定平面上的一个平移 , 其直角坐标表示为 1122 1 0( 1 . 3 ) 0 1x x c cxxy y c cyy 或其中 (x,y)与 (x,y)为平面上任一点 P与其在 下的像点 P的坐标 . 注 ： 显然 , 平移是正交变换 . 正交变换特例 几种特殊的仿射变换 定义 将平面上的每个点都绕着同一个点旋转相同的角度的变换称为平面上的一个 旋转变换 , 简称 旋转 . (2). 旋转变换 定理 设旋转 使得平面上的每个点都绕着坐标原点 O旋转角度 , 则 的直角坐标表示为 c o s s i n c o s s i n . ( 1 . 4 ) s i n c o s s i n c o sx x y x xy x y y y 或证明 设 |OP|=|OP|=r, OP与 x轴正向夹角为 . 则 c o s , s i n ; c o s ( ) , s i n ( )x r y r x r y r c o s ( ) c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i n s i n c o sx r r r x yy r r r x y 利用三角恒等式展开 , 可得 几种特殊的仿射变换 注 ： 显然 , 旋转变换是正交变换 . 定理 平面上的一个平移与一个旋转的乘积是一个第一类正交变换 . 进而 , 平面上有限多个平移与旋转的乘积是一个第一类正交变换 . 第一类正交变换称为平面上的 刚体运动 . 几种特殊的仿射变换 (3). 轴反射变换 怎样的变换可以使得 ABC 重合于 ABC ? 仅平移和旋转是不可能的 . 几种特殊的仿射变换 定义 设 l为平面上取定的一条直线 . 将平面上的每个点都变为关于 l的对称点的变换称为平面上的一个轴反射变换 , 简称 轴反射 , 直线 l称为反射轴 . 1 0. ( 1 . 5 ) 0 1x x x xy y y y 或关于 y轴的轴反射变换为 1 0. ( 1 . 6 ) 0 1x x x xy y y y 或注 1. 显然 , 轴反射是一个第二类正交变换 . 注 2. 应用 (1.5)于上述平面 , 即可将 ABC变为 ABC. 定理 关于 x轴的轴反射变换为 几种特殊的仿射变换 定理 平面上的一个轴反射与一个第一类正交变换的乘积是一个第二类正交变换 . 从而 , 平面上一个点变换 是正交变换 可表示为有限次平移、旋转与轴反射的乘积 . 归纳 ： 以几何变换的观点看待欧氏几何 . 欧氏几何就是研究在正交变换群 M的作用下保持不变的几何量和几何性质 , 即所有与距离有关的几何量和几何性质 . 几种特殊的仿射变换 注 . 位似变换的基本性质 (1) 对应点连线经过定点 (位似中心 ); (2) 保持共线三点的简单比不变 ; (3) 使得直线 (不过 O)变为其平行直线 ; (4) 使得任意一对对应线段的比值等于位似比 k. 几种特殊的仿射变换 定义 设 O为 上取定的一点 , 为 上的一个点变换 . 满足 (1) (O)O, (2) 对于 OP, (P)P, 则 P在 OP上 , 且 (PPO)=k(k0), 则 称为 上的一个以 O为 位似中心 , k为 位似比 的 位似变换 . 二、相似变换 1. 位似变换 定理 设在平面 上取定了一个笛氏直角坐标系 O-exey, k0为任意实常数 . 则 上的一个点变换 是以 O为位似中心 , k为位似比的位似变换 可 表示为 0( 1 . 8 ) 0x k x x k xy k y y k y 或其中 (x,y)与 (x,y)为平面 上任一点 P与其在 下的像点 P的坐标 . 一个一般的位似变换是一个以原点为中心的位似与一个平移的积 , 若 k1则为平移 , 故平移是特殊的位似 . 若位似中心的坐标为 C(c1, c2), 则 (1.8)可化为 1 3 1 32 3 2 3 0( 1 . 9 ) 0x k x a ax k xy k y a ay k y 或几种特殊的仿射变换 2. 相似变换 定义 设 为 上的一个点变换 , P, Q为 上任意相异二点 , (P)P, (Q)Q. 满足 则称 为 上的一个以 k为 相似比 的 相似变换 . 注 . 相似变换的基本性质 (1) 保持共线三点的简单比不变 . (2) 使得任意图形变成其相似图形 ; 使平行直线变为平行直线 . (3) 保