傅立叶变换的推导课件

第二章 确定信号分析 第一节 确定信号的傅里叶变化及其推导 第二节 典型信号的傅里叶变换 第三节 傅里叶变换的性质 第四节 周期信号的傅里叶变换及抽样定理 QH2.0.2 第一节 确定信号的傅里叶变换及其推导 1， 傅里叶变换的基本结论 2， 三角形式的傅里叶级数的推导 3， 三角形式的傅里叶级数的分析 4， 指数形式的傅里叶级数的推导 5， 指数形式的傅里叶级数的分析 6， 傅里叶变换的推导 7， 傅里叶变换的分析 QH2.1.1 （ 1） 三角形式的傅里叶级数 （ 2） 复数形式的傅里叶级数 （ 3） 傅里叶变换 0111( ) c o s ( ) s i n ( )2 nnnaf t a n t b n t 1() j n tnnf t F e 2( ) ( ) j f tf t F f e d f 1， 傅里叶变换的基本结论 QH2.1.2 式 2.1.1 根据三角函数的正交性，对式 2.1.1两边积分，得： 0111( ) c o s ( ) s i n ( )2 nnnaf t a n t b n t 002 2 21112 2 2( ) c o s ( ) s i n ( )22T T TnnT T Tnaaf t d t d t a n t b n t d t T 2022 ()TTa f t d tT 2， 三角形式的傅里叶级数的推导 QH2.1.3 对式 2.1.1两边同乘 再在 积分，得： 1c o s ( )nt , 22TT212( ) c o s ( )TT f t n t d t20221 1 1 11c o s ( ) c o s ( ) s i n ( ) c o s ( )2TTnnna n t d t a n t b n t n t d t 2na T2122 ( ) c o s ( )Tn Ta f t n t d tT 2， 三角形式的傅里叶级数的推导 QH2.1.4 同理，对式 2.1.1两边同乘 再在 积分，得： 1s i n ( )nt , 22TT212( ) s i n ( )TT f t n t d t2nb T20221 1 1 11s i n ( ) c o s ( ) s i n ( ) s i n ( )2TTnnna n t d t a n t n t b n t d t 2122 ( ) s i n ( )Tn Tb f t n t d tT 2， 三角形式的傅里叶级数的推导 QH2.1.5 由此可得三角形式的傅里叶级数： 其中： 0111( ) c o s ( ) s i n ( )2 nnnaf t a n t b n t 2022 ()TTa f t d tT 2122 ( ) c o s ( )Tn Ta f t n t d tT 2122 ( ) s i n ( )Tn Tb f t n t d tT 2， 三角形式的傅里叶级数的推导 式 2.1.2 式 2.1.3 式 2.1.4 QH2.1.6 （ 1） 奇偶性 为偶函数 为奇函数 2122 ( ) c o s ( )Tn Ta f t n t d tT 2122 ( ) s i n ( )Tn Tb f t n t d tT 3， 三角形式的傅里叶级数的分析 QH2.1.7 （ 2） 同频合并 ： 其中： 被称为频率谱， 被称为相位谱。 011( ) c o s ( )2 nnncf t c n t 00ca 22n n nc a b a r c t a n ( )nnnba nc n3， 三角形式的傅里叶级数的分析 QH2.1.8 令 ，则 （奇偶性） 令 ，则得： 111 1c o s ( ) ( )2 j n t j n tn t e e 1111s i n ( ) ( )2j n t j n tn t e ej 0111( ) c o s ( ) s i n ( )2 nnnaf t a n t b n t 1 1 1 101( ) ( )2 2 2j n t j n t j n t j n tnnna a be e e ej 1101( ) ( )2 2 2j n t j n tn n n nna a j b a j bee 1() 2nna j bFn 1() 2nna j bFn 0( 0 )2aF 1() j n tnnf t F e 4， 指数形式的傅里叶级数的推导 QH2.1.9 1() 2nna j bFn 21121 ( ) ( c o s ( ) s i n ( )TT f t n t j n t d tT 1221 ()T j n tT f t e d tT 4， 指数形式的傅里叶级数的推导 22111 2 2( ( ) c o s ( ) ( ) s i n ( ) )2TTf t n t d t j f t n t d tTT QH2.1.10 （ 1） 指数形式的傅里叶级数对 式 2.1.5 式 2.1.6 （ 2） 思考：其中的 2到哪去了？ 1() j n tnnf t F e 1221( ) ( )T j n tTF n f t e d tT 2122 ( ) c o s ( )Tn Ta f t n t d tT 1221( ) ( )T j n tTF n f t e d tT 5， 指数形式的傅里叶级数的分析 QH2.1.11 （ 3） 其中频率谱 相位谱 （ 4） 当 为偶函数时， ，则 为实函数， 当 为奇函数时， ，则 为纯虚函数， 11( ) ( )2njnna j bF n F n e 2211()22nnncF n a b a r c t a n ( )nnnba 2122 ( ) c o s ( )Tn Ta f t n t d tT 2122 ( ) s i n ( )Tn Tb f t n t d tT ()ft 0nb 1()Fn()ft 0na 1()Fn5， 指数形式的傅里叶级数的分析 QH2.1.12 由上一节的推导可知， 两边同乘 T，得： ，其中 当 时， 令 ， 则 12121( ) ( )T j n tTF n f t e d tT 1212( ) ( )Tj n tTT F n f t e d t 2T T 12 0T 1n112 ( ) ( ) jtF n f t e d t 112( ) ( )F F n( ) ( ) jtF f t e d t 1111()() j n tnFnf t e 6， 傅里叶变换的推导 QH2.1.13 ， 且 ， 112( ) ( )F F n1 d() 1( ) ( )22j t j tFf t e d F e d 6， 傅里叶变换的推导 2() j f tF f e d f QH2.1.14 （ 1） 傅里叶变换对： 式 2.1.7 式 2.1.8 规律：正变换为负，反变换为正。 （ 2） 傅里叶变换的基本条件：无限区间绝对可积 2( ) ( ) j f tf t F f e d f 2( ) ( ) j f tF f f t e d t 7， 傅里叶变换的分析 QH2.1.15 第二节 典型信号的傅里叶变换 1， 冲击函数 2， 冲击偶函数 3， 单边指数信号 4， 双边指数信号 5， 符号函数 6， 指数函数 7， 余弦函数 8， 矩形窗函数 QH2.2.1 ( ) ( )f t t2( ) ( ) 1j f tF f t e d t 1， 冲击函数 思考： 0频率与冲击的区别。 QH2.2.2 ( ) ( )f t t 2 2( ) ( ) ( )j f t j f tF f t e d t t e 2jf2( ) ( 2 ) j f tt j f e d t 2， 冲击偶函数 QH2.2.3 ()0ateft 00tt2( ) ( ) j f tF f f t e d t 3， 单边指数信号 2012a t j f te e d ta j f QH2.2.4 () atf t e 2( ) ( ) j f tF f f t e d t 221 1 222 ( 2 )aa j f a j f af 4， 双边指数信号 0 220a t j f t a t j f te e d t e e d t QH2.2.5 可以看成是 ， 1( ) s g n ( ) 1f t t 00tt s g n ( )t0l i m atae 22( ) ( ) j f t j a t j f tF f f t e d t e e d t 22022 1l i m( 2 )ajfjfaf5， 符号函数 QH2.2.6 02 0( ) ( )j f tf t e f f ( ) 1t 2() j f tt e d f 2() j f tf e d t 0222( ) ( ) j f tj f t j f tF f f t e d t e e d t 6， 指数函数 QH2.2.7 0 0 01( ) c o s ( 2 ) ( ) ( ) 2f t f t f f f f 00220 1c o s ( 2 ) ( )2j f t j f tf t e e 001( ) ( ) ( ) 2F f f f f f 7， 余弦函数 QH2.2.8 ( ) ( ) 0T Af t G t 22TTto t h e r 2( ) ( ) j f tF f f t e d t 2 2 s i n ( ) 22fTA jjf8， 矩形窗函数 2222 222()2T TTj f j fj f tTAA e d t e ejf () s i n ( )A T S i n f T A T c f TfTQH2.2.9 第三节 傅里叶变换的性质 1， 对称性 2， 尺度变换 3， 时移特性 4， 频移特性 5， 奇偶虚实性 6， 傅里叶变换综合例题 QH2.3.1 1， 对称性 若 ，则 推导： 互换 和 ，得： 也即 ( ) ( )f t F f ( ) ( )F t f f2( ) ( ) j f tf t F f e d f 2( ) ( ) j f tf t F f e d f f t 2( ) ( ) j f tf f F t e d t ( ) ( )F t f fQH2.3.2 2， 尺度变换 若 ，则 推导： 令 则 ( ) ( )f t F f1( ) ( )ff a t Faa21 ( ) ( )j f tF f f a t e d t x at 1d t d xa2111( ) ( ) ( )fjx a fF f f x e d x Fa a a2111( ) ( ) ( )fjx a fF f f x e d x Fa a a 1( ) ( )ff a t Faa0a 0a QH2.3.3 3， 时移特性 若 ，则 推导： 令 则 ( ) ( )f t F f020( ) ( ) j f tf t t F f e 210( ) ( )j f tF f f t t e d t 0x t t 0t x t02 ( )1 ( ) ( ) j f x tF f f x e d x 002221 ( ) ( ) ( )j f t j f tj f xF f f x e d x e F f e QH2.3.4 4， 频移特性 若 ，则 推导： 令 则 ( ) ( )f t F f 020( ) ( ) j f tF f f f t e 210( ) ( )j f tf t F f f e d f 0x f f0f x f02 ( )1 ( ) ( ) j x f tf t F x e d x 022() j f tj x tF x e d x e 02() j f tf t e QH2.3.5 5， 奇偶虚实性 若 ，则： （ 1） （ 2） （ 3） 推导： （ 1） ( ) ( )f t F f( ) ( )f t F f *( ) ( )f t F f*( ) ( )f t F f2( ) ( ) j f tF f f t e d t 21 ( ) ( )j f tF f f t e d t xt( 2 )( ) ( 1 )j f xf x e d x ( 2 )( ) ( )j f xf x e d x F f ( 2 ) ( )( ) ( ) ( 1 )j f tf t e d t QH2.3.6 5， 奇偶虚实性 （ 2） 2( ) ( ) j f tF f f t e d t *21 ( ) ( )j f tF f f t e d t 2* ( ) j f tf t e d t ( 2 ) * ( ) j f tf t e d t * ()Ff（ 3） 由 (1)(2)即可得。 QH2.3.7 6， 傅里叶变换综合练习题 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） ( ) s i n ( )f t c t( ) ( )2T Tf t g t( ) ( )tft T1()ftt2( ) ( )2jffH f r e c eWQH2.3.8 0( ) c o s ( 2 )cf t f t6， 傅里叶变换综合练习题 （ 1） ( ) s i n ( )f t c t( ) s i n ( )TG t A T c f T1 ( ) s i n ( )G t c f11s i n ( ) ( ) ( )c t G f G f QH2.3.9 6， 傅里叶变换综合练习题 （ 2） ( ) ( )2 bT Tf t G t( ) s i n ( )TG t A T c f T( ) s i n ( )T b b bG t A T c f T2 2( ) s i n ( )2bTjfT b b bTG t A T c f T e s i n ( ) bj f Tb b bA T c f T e QH2.3.10 6， 傅里叶变换综合练习题 （ 3） ( ) ( )tft T ( ) s i n ( ) s i n ( )j f T j f Tf t A c f T e A c f T e s i n ( ) 2 s i nA c f T j f Ts i n2 s i n ( ) fTA T j f c f TfT22 s i n ( )A T j f c f T2( ) ( ) s i n ( )tf t A T c f TT QH2.3.11 6， 傅里叶变换综合练习题 （ 4） 1()ft t1s g n ( )tjf1s g n ( )jtf1 s g n ( ) s g n ( )j f j ft QH2.3.12 6， 傅里叶变换综合练习题 （ 5） 0( ) c o s ( 2 )cf t f tQH2.3.13 00( 2 ) ( 2 )1( ) 2ccj f t j f tf t e e 00221 2ccj f t j j f t je e e e 001( ) ( ) ( ) 2jjccF f f f e f f e 特别地：当 时 0 90 6， 傅里叶变换综合练习题 （ 6） 2( ) ( ) 2 s i n ( 2 )2 Wtr e c t G t W c f WW 22 s i n ( 2 ) ( )WW c W t G f222 s i n ( 2 ( ) ) ( ) jfWW c W t G f e 2( ) ( )2jffH f r e c eW22 s i n ( 2 ) ( )WW c W t G fQH2.3.14 第四节 周期信号的傅里叶变换及抽样定理 1， 周期信号的傅里叶变换 2， 抽样 3， 对抽样的理解 4， 低通抽样定理 5， 带通抽样定理 QH2.4.1 1， 周期信号的傅里叶变换 设 为周期信号，周期为 T。则 可以展成傅里叶级数： 式 2.4.1对式 2.4.1两边进行傅里叶变换可得： 式 2.4.2 其中 为数值。 由傅里叶变换的知识， 式 2.4.2变为： ()ft11 2() j n t j n f tnnnnf t F e F e 12( ) ( )j n f tnnF f F e nF12 1()j n f te f n f ()ft1( ) ( )nnF f F f n f QH2.4.2 1， 周期信号的傅里叶变换 其中 为 的傅里叶级数的系数，即： 式 2.4.3现在构造函数 为 在 的一段，其他部分为 0，则 的傅里叶变换为： 式 2.4.4 对照式 2.4.3与式 2.4.4可知， 12221( ) ( )T j n f tTF n f t e d tT , 22TT1()ft22 212( ) ( ) ( )Tj f t j f tTF f f t e d t f t e d t 1111( ) ( )f n fF n f F fT nF ()ft()ft1()ft1 1 11( ) ( ) ( )nF f F n f f n fT QH2.4.3 1， 周期信号的傅里叶变换 特例： ( ) ( )nf t t n T 1 ( ) 1ft 11( ) ( )nf t f n fT 当周期信号为冲击序列时： 1 ( ) ( )f t t 周期冲击序列的傅里叶变换为： QH2.4.4 1， 周期信号的傅里叶变换 周期信号傅里叶变换的另一种推导方法： 11( ) ( )Tnt f n fT 11( ) ( )f t F f111( ) ( ) ( )nf t F f f n fT 1 1 11 ( ) ( )nF n f f n fT QH2.4.5 （ 1） 抽样的概念理解 （ 2） 设连续信号 的傅里叶变换为 ，抽样序列 的傅里叶变换为 。抽样之后所得序列 ，其傅里叶变换为 。 （ 3） 抽样序列为周期信号， 其中用到了 函数的卷积性质 ()ft ()Ff()Pf( ) ( ) ( )sf t f t p t()sFf1( ) ( )nnP f P f n f1( ) ( ) * ( ) ( ) * ( )snnF f F f P f F f P f n f 1()nnP F f n f ()t()pt2， 抽样 QH2.4.6 3， 对抽样的理解 这是在 影响下， 在频域的平移，平移的周期是 。 1( ) ( )