2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第十单元第七节 空间向量及其运算.ppt

第七节 空间向量及其运算(*),1. 空间向量的概念 空间向量:在空间,我们把既有 又有 的量叫做空间向量. 2. 共线向量(平行向量) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定零向量与 共线. 3. 共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(a0),b与a共线的充要条件是存在实数,使 .,基础梳理,大小,方向,互相平行或重合,任意向量,b=a,xa+yb,4. 共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p= . 5. 空间向量基本定理及其推论 (1)空间向量基本定理 如果三个向量 , , 不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p= . (2)空间向量基本定理的推论 设o、a、b、c是不共面的四点,则对空间任意一点p,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 = .,(x,y,z),(x,y,z),6. 空间向量的坐标表示及坐标运算 (1)空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系o-xyz中,i,j,k分别为x轴,y轴,z轴方向上的单位向量,对于空间任意一个向量a,若有a=xi+yj+zk,则有序实数组 叫做向量a在空间直角坐标系中的坐标. 特别地,若a(x,y,z),则向量 的坐标为(x,y,z),记作 = . (2)坐标运算 设 , ,则 a+b= ; a-b= ; a= .,|a|b|cosa,b,aa,7. 空间向量的数量积 (1)数量积的定义 设a,b是空间两个非零向量,我们把数量 |a|b|cosa,b叫做向量a,b的数量积,记作ab, 即ab= . 规定:零向量与任一向量的数量积为0. (2)用数量积表示夹角、长度与垂直 cosa,b= ; |a|2= = ; ab (a,b是非零向量).,ab=0,a=b,8. 空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标表示 设 , , 则ab= . (2)共线与垂直的坐标表示 设 , ,则 ab , , , (r); ab (a,b均为非零向量).,(3)模、夹角和距离公式 设 , ,则 = ; cosa,b= = ; 若 , , 则 = .,典例分析,题型一 向量的线性运算 【例1】如图所示,在平行六面体 中,设 , , ,m,n,p分别是 ,bc, 的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1) ;(2) ;(3) .,分析 从要求的向量出发，选取适当的三角形（或平行四边形）,利用向量的加、减及数乘运算的法则和运算律，不断地进行分解，直到全部用已知条件表示出来为止.,解 (1)p是 的中点, (2)n是bc的中点, (3)m是 的中点, 又 ,学后反思 选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它表示指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等就近表示所需向量，再对照目标，就不符合目标的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有的向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解.有分解才有组合，组合是分解的表现形式.空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组(a,b,c),可以表示出空间的任意一个向量,而且a,b,c的系数是唯一的.,举一反三 1. 在空间四边形oabc中, , , ,点m在oa上,且 ,n为bc的中点,则mn等于 .,解析： , , , , . +,得 ,答案：,题型二 共线、共面问题 【例2】如图所示,已知abcd是平行四边形,p点是abcd所在平面外一点,连接pa、pb、pc、pd.设点e、f、g、h分别为pab、pbc、pcd、pda的重心. (1)试用向量方法证明e、f、g、h四点共面; (2)试判断平面efgh与平面abcd的位置关系,并用向量方法证明你的判断.,分析 可以利用共面向量定理或其推论完成第(1)问的证明;从几何直观判断,第(2)问中的两个平面应该是平行关系.,解 (1)如图,连接pe,pf,pg,ph,并分别延长pe、pf、pg、ph交对边于m、n、q、r. 因为e、f、g、h分别是所在三角形的重心, 所以m、n、q、r为所在边的中点,顺次连接m、n、q、r得到的四边形为平行四边形,且有: , , , . 因为四边形mnqr是一个平行四边形,所以 又 所以 ,即 由共面向量定理知,e、f、g、h四点共面.,学后反思 （1）空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面. （2）用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化. （3）要学会用向量的知识来解决立体几何问题.,(2)由(1)得 ,所以 . 又因为eg 平面abc,mq 平面abc, 所以eg平面abc. 因为 ,所以mnef.又因为ef 平面abc,mn 平面abc,所以ef平面abc.由于eg与ef交于e点,所以平面efgh与平面abcd平行.,答案： a、b、d,举一反三 2. 已知向量a,b,且 , , ,则a、b、c、d中一定共线的三点是.,解析： a、b、d三点共线.易证a、c、d不共线.,题型三 空间向量的数量积 【例3】如图所示,已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1,点e,f分别是ab,ad的中点,计算: (1) ;(2) ;(3) .,分析 可先将ef看作 ,然后利用向量数量积的定义求出即可.,学后反思 注意由图形写向量夹角时易出错,如bd,dc =120,易错写为bd,dc=60.,解 (1) (2) (3),举一反三 3. 如图,在四面体abcd中,已知abcd,acbd,求证:adbc.,证明： 设 =a, =b, =c, 则 =b-a, =c-b, =c-a. abcd, 即a(c-b)=0,ac=ab. 又acbd, 即b(c-a)=0,bc=ba. =c(b-a)=cb-ca=ba-ab=0, adbc.,题型四 向量的坐标运算 【例4】(14分)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),求: (1)ab; (2)a与b夹角的余弦值; (3)确定,的值使得a+b与z轴垂直，且 (a+b)(a+b)=53.,分析 求夹角需利用数量积，因而需求得|a|与|b|代入公式cosa,b= 而求,的值，需利用z轴的单位向量联立方程组求解.,解 (1）ab=（3，5，-4）(2,1,8) =32+51-48=-216 (2) cosa,b= .10 (3)取z轴上的单位向量n=(0,0,1),a+b=(5,6,4). 依题意 (a+b)n=0, (a+b)(a+b)=53, 即 (3+2,5+,-4+8)(0,0,1)=0, (3+2,5+,-4+8)(5,6,4)=53, 故 -4+8=0, 29+48=53,解得 =1, = 14,学后反思 本题主要运用坐标代入运算即可.特别地，a+b与z轴垂直，只需满足a+b的竖坐标为零，即-4+8=0即可，可见,要使a与某一坐标轴垂直，只要a的相应坐标为零即可，且反之亦真.,举一反三 4. 已知向量a=(1,-3,2)和b=(-2,1,1),点a(-3,-1,4),b(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; (2)在直线ab上是否存在一点e,使 b(o为原点)?,解析： (1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), |2a+b|= (2)设ae=tab,则 =(-3,-1,4)+t(1,-1,-2) =(-3+t,-1-t,4-2t). 若 b,则 b=0, 即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t= . 故存在点e,使 b,此时e点坐标为e,10. 已知向量x与向量a=(2,-1,2)共线，且满足方程ax=-18，求向量x的坐标.,考点演练,解析： x与a共线，故可设x=k a, 由ax=-18,得 ak a= , 9k=-18,故k=-2. x=-2a=(-4,2,-4).,11. 如图,在棱长为a的正方体 中,e、f分别是棱ab、bc上的动点,且ae=bf=x,其中0xa,以o为原点建立空间直角坐标系o-xyz. (1)求出点e、f的坐标； （2）求证: (3)若 、e、f、 四点共面,求证:,解析： (1)易知,e(a,x,0),f(a-x,a,0). (2)证明: (a,0,a)、 (0,a,a), =(-x,a,-a), =(a,x-a,-a), =-ax+a(x-a)+a2=0. (3)证明: 、e、f、 四点共面, 、 、 共面. 视 与 为一组基向量,则存在唯一的实数对 、 使 , 即(-x,a,-a)= (-a,a,0)+ (0,x,-a) =(-a ,a +x ,-a ), -x=-a , a=a +x , -a=-a , 解得 , =1. ,12. 已知a、b、c三点坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1)，（-2，2，3），求点p的坐标，使得,解析: 设p(x,y,z)，则 =(x-2,y+1,z-2), =(2,6,-3), =(-4,3,1), (x-2,y+1,z-2)= (2,6,-3)-(-4,3,1) = (6,3,-4)=(3, ,-2)， x-2=3， y+1= z-2=-2,解得 x=5, y= , z=0, p点坐标为(5, ,0).,第六节 几个三角恒等式,基础梳理,1. 两角差的余弦公式为 cos(-)=cos cos +sin sin ;两角和的余弦公式为cos(+)=cos cos -sin sin ;两角差的正弦公式为sin(-)=sin cos -cos sin ;两角和的正弦公式为sin(+)=sin cos +cos sin .上述公式对任意的、都成立.,2. 公式t(-)是 ,公式t (+) 是 ，它们成立的条件是,3. 二倍角公式 在s (+)中，令 =,可得到sin 2= 2sin cos ,简记为s2. 在c (+)中，令 =,可得到cos 2= cos2-sin2,简记为c2. 在t (+)中，令 =,可得到tan 2=2tan 1-tan2，简记为t2.,4. 在c2中考虑sin2+cos2=1可将c2变形为cos 2=cos2-sin2= 2cos2-1 = 1-2sin2，它简记为c2.,5. 半角公式 在c2中,用 代替得 ,将 公式变形可得,的推导方法是 与 两式相除，其公式为,6. 升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：升幂公式：1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2.降幂公式：,7. 派生公式 (1)(sin cos )2= 1sin 2; (2)1+cos = (3)1-cos = (4)tan +tan = tan(+)(1-tan tan );,典例分析,题型一 sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x三者之间的转换问题 【例1】 已知- x0,sin x+cos x= 求sin x-cos x的值. 分析 由（sin x-cos x）2=(sin x+cos x)2-4sin xcos x知,只需求出sin xcos x即可.,解 方法一：由sin x+cos x= 平方,得 sin2x+2sin xcos x+cos2x= ,即2sin xcos x= (sin x-cos x)2=1-2sin xcos x= 又- x0, sin x0,cos x0,sin x-cos x0, sin x-cos x=,方法二：联立方程 sin x+cos x= , sin2x+cos2x=1. 由得sin x= -cos x,将其代入,整理,得 25cos2x-5cos x-12=0, 学后反思 sin xcos x,sin xcos x之间的关系为 (sin xcos x)2=12sin xcos x,（sin x+cos x）2+(sin x-cos x)2=2，三者知其一，可求其二，但须注意角x的范围对结果的影响.,举一反三 1. （2009梅州月考）已知 ,求sin 及 解析: 由题设条件，应用两角差的正弦公式,得 即sin -cos = . 由题设条件，应用二倍角余弦公式,得,故cos +sin = . 由和得sin = ,cos =- , 因此tan =- ,由两角和的正切公式,得,题型二 三角函数公式的灵活应用 【例2】化简下列各式.,分析 （1）先切化弦，然后逆用差角公式和倍角公式; （2）注意1sin ,1cos 形式的转化.,解 (1),(2),sin 4+cos 40,cos 40, 原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4.,学后反思 对于化简的题目要侧重于三角公式运用中的各种思想，对于一些固定形式套用相应的公式.,举一反三,2. 化简（cos +sin ）（ cos -sin ）（ 1+tantan ）.,解析： 原式=cos（1+tan tan ）=cos +sin tan =cos +2sin cos =cos + =cos +1-cos =1.,题型三 三角恒等变换中角的拆、拼 【例3】已知 且 分析 抓住条件中的角“ ”、“ ”与结论中的角 的关系：,解,学后反思 掌握常用的拆角、拼角关系，如：,举一反三 3. 已知 ,且02. (1)求 的值； (2)求.,解析,(2)由0 ,得0- ,cos(-)= 由=-(-),得 cos =cos -(-) =cos cos(-)+sin sin(-),题型四 三角恒等式证明 【例4】(14分)已知tan(+)=2tan . 求证 ：3sin =sin(+2).,分析 观察条件与结论间的差异可知: (1)函数名的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同. (2)角的差异是+,;,+2.通过观察可得已知角与未知角之间关系为：(+)-=;(+)+=+2,由此可化异为同. 证明 由已知tan(+)=2tan ,可得 sin(+)cos =2cos(+)sin 4 而sin(+2)=sin (+)+ =sin(+)cos +cos(+)sin =2cos(+)sin +cos(+)sin =3cos(+)sin ,8,又sin =sin (+)- =sin(+)cos -cos(+)sin =2cos(+)sin -cos(+)sin =cos(+)sin 12 故sin(+2)=3sin 14,学后反思 分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配角，再利用同角三角函数关系式消除函数名称的差异.对于三角恒等式的证明，实质也是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.,举一反三 4. 已知a、b为锐角，求证： 的充要条件是 （1+tan a）(1+tan b)=2.,证明：（充分性）(1+tan a)(1+tan b)=2, 1+(tan a+tan b)+tan atan b=2,且tan atan b1, tan(a+b)（1-tan atan b）=1-tan atan b, tan(a+b)=1. 0a ,0b ,0a+b,a+b= (必要性)a+b= ,tan(a+b)=tan ， 即 ,整理得（1+tan a）