材料力学试卷c2答案.pdf

第二讲第二讲 弯曲问题弯曲问题 1 一起重机通过其车轮将载荷传至AB梁上，如图所示，且P1P2。试求起重机行过此梁时梁中的最大 弯矩Mmax值。 解： + = =+ 21 22 21 PP aP R aP e RPP 由于，故M 21 PP max一定发生在C轮下的截面。 () l exlR YA = 故，C 截面的弯矩 ( ) () l xexlxR xYxM A = 2 ( )() 2 0 2el x l exlR dx xdM = = () () () l xaPxlxR PP ll l PP M + + = 2 2 21 21 max 22 2 材料相同，宽度相等，厚度2/1/ 21 =hh的两块板，组成一简支梁，其上承受均匀分布载荷 0 q （1）若两块板只是互相叠置在一起，求此时两块板内的最大正应力之比。 （2）若两块板胶合在一起，不互相滑动，问此时的最大应力比前一种情况减少了多少？ 解： （1）可认为两板弯曲时的曲率半径相同，即 1 1 1 1 EI M x = ， 2 2 2 1 EI M x = 22 3 2 1 2 2 1 1 8 1 MM h h M I I M= = 在梁的中央截面，故 8/ 2 21 qlMM=+ 72 2 1 ql M =， 9 2 2 ql M = 2 1 1 1 6 max bh M = ， () 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2866 max bh ql bh M bh M = 2 1 8 1 max max 2 1 2 2 1 = = h h （2） () 2 2 2 2 21 2 max max 3 1 8 6 bh ql hhb ql W M = + = 2 1 max 2 max = 3 图所示的任意截面梁，受力偶m的作用下产生纯弯曲， ay轴与 轴为正交的形心轴（取z xy平面 与力偶作用面一致） 。试直接从平面假设出发，推导出梁横截面上的弯曲正应力公式。 m 解： （1）方法一）方法一 在此情况下，由于、轴不是形心主轴，故此梁将同时在yzxy和xz平面中弯曲。设 y 、 z 分别是梁 在xy和xz平面内的曲率半径，因此，坐标为（y，）点处的应力为 z zy x EzEy += （） a 0= X， = A xdA 0 以（）式代入，得 a 1 0 11 =+ A z A y zdAydA 即 0 11 =+ y z z y SS 因为 y、z 轴的坐标原点在形心上，故截面对 y、z 轴的静矩0= zy SS，以上方程自然满足。 = mmz ， = A xydA m0 以（）式代入，得 a 0 2 = A z A y yzdA E dAy E m z yz y z EI EI m += ( )b = 0 y m ， = A xzdA 0 0 2 =+ A z A y dAz E yzdA E 0=+ z y y yz EIEI ( )c 联立解、(两式，得 ( )b)c () 2 1 yzzy y y IIIE mI = () 2 1 yzzy yz z IIIE mI = 将 y 1 和 z 1 代入式，即可得此梁横截面上的弯曲正应力公式： ( )a () 2 yzzy yzy x III zIyIm = （2）方法二）方法二 因平面假设成立，故可设应力为 DCzBy+= ( )d 2 上式中的系数B、C、可用静力学方程来确定。 D 由，有 = 0X = A dA0 即 ()0=+=+ DACSBSdADCzBy yz A 由于、轴过形心，故y z 0= zy SS。又横截面面积0A，故0=D。 由，有 = mmz ()mCIBIydACzByydA yzz AA =+=+= ( )e 由，有 = 0 y m ()0=+=+= yyz AA CIBIzdACzByzdA ( )f 联立解(、两式，得 )e( )f 2 yzzy y III mI B =， 2 yzzy yz III mI C = 可得应力公式为 () 2 yzzy yzy III zIyIm = ( )g 对于图b所示的情况： 在xy和xz面内分别作用有力偶和 y（都用右手螺旋法则表示为向量） ， 仿造上面的推导，可以求出（，）点的弯曲正应力 z MM yz x 为 ()() 2 yzzy yzyyzyzzzy x III yIMIMzIMIM + = ( )h 当、为过截面形心的主轴时，则y z 0= yz I，上式变为 z z y y x I zM I zM += 此即通常情况下的斜弯曲公式。 4 矩形截面悬臂梁承受均布载荷作用，如图所示。用截面自梁上把长方体截下。 a ABCD （1） 绘出长方体各面上的应力，标明方向及大小变化规律。 ABCD （2） 证明作用在长方体上的所有外力满足平衡条件ABCD = 0X 3 解： （1）中性层上剪应力的变化规律为 ( ) bh qx A Q x= 2 3 2 3 故在面上水平剪应力线性变化。CD面上有按线性规律变化的弯曲正应力和抛物线分布的弯曲正应 力，如图所示。 BC b （2）中性层上的剪应力的合力为BC( ) h qa bdx bh qx bdxxT aa 4 3 2 3 2 00 = 横截面CD上的正应力的合力为 h qa ydy h qa bdy bh yqa bdyN hhh 4 36 12 1 2 1 2 2/ 0 3 2 2/ 0 2/ 0 3 2 = 故满足平衡条件。 = 0X 但是由图b可见，T与的作用线不重合，故并不满足力矩平衡的条件，这是因为材料力学中忽略了 纵向纤维之间的挤压应力由弹性力学知挤压应力为 N += 22 321 3 3 q y h q y h q b y 横截面CD上的剪应力与面上的挤压应力组成的力偶与上面T与组成的力偶同值反向，使 长方体满足力矩平衡条件。 BCN ABCD 5 一矩形截面梁，其上，下两面受大小相等，指向相反均匀分布载荷()mkNT/在，如图所示。假 设梁横截面上的应力公式以及平面假设仍成立。试导出梁横截面上剪应力 a z IMy/的公式，并画 出剪应力的方向和沿截面高度的分布规律。 4 解：在距离梁自由端为x远处的横截面上，内力方程为 ThxM =， 0=Q 在距离梁自由端为x远处截取一长为dx的小段，其截面上的力矩和正应力如图所示。再用一水平截 面将小段分成两部分，保留下部分（见图） 。利用保留部分在水平方向的平衡条件可列出 b cddxc () 0 * = + bdxTdxdA I M dA I dMM A z A z 即bdxTdxdA I dM A z = * 式中 A*是横截面上距中性轴为的横线以下的面积。令式中，上式可写成 zy z A SdA = * bdxTdxS I dM z z = 所以 b T bI S dx dM z z = 由弯矩方程可知，故 ThdxdM=/ = =1 4 6 1 2 2 2 y h hb T I hS b T z z 根据的计算式，可以画出沿横截面高度的分布图（见图） d 6 5 6 7 确定图示两薄壁截面（壁厚 t 为常数）的弯曲中心位置。 解：设切口与b、相比很小。首先计算出各部分剪力。 h BC段：计算 1 处的剪应力时，面矩为 2 2 1 t S= 2 0 1 h ，剪应力为 zz I Q tI QS 2 2 1 =，剪力为 () z h I Qth tdQ 48 3 2/ 0 11 = CD段：计算 2 处的剪应力时，面矩为 28 2 2 thth S+=，剪应力为( 2 4 8 +=h I Qh tI QS zz )，剪力为 ()() 2 0 22 2 8 bhb I Qth tdQ z b += 不难看出，GH段内的剪应力合力与段上的大小相等、方向相同；而段内的剪应力合力与 段上的大小相等、方向相反（截面上剪应力应形成剪应力流） 。 BC 1 QFG DC 2 Q 假设段内的剪应力合力为。 DF 3 Q 下面确定弯曲中心A的位置。 由于图中五个力与通过弯曲中心A的剪力等效， 因此， 图中五个力对QE 点的力矩之和等于剪力对QE点的力矩，即hQbQQe 21 2+=，将、值代入上式，经整理得 1 Q 2 Q ()bh I bth bhh I bth e zz 32 12 23 24 22 +=+= 截面对中性轴的惯矩为，()bh thtbhth Iz62 124 2 12 2 223 += + = () ()bh bhb e 32 32 + + = 7 8 图示矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用，其横截面尺寸为，长度为 b、h，长度 为 l。 试证： （1）在离自由端为 x 处的横截面上切向内力元素dA 的合力等于该截面上的剪力，而法向内力元 素dA 的合力偶矩等于该截面上的弯矩。 （2） 如沿梁的中性层截出梁的下半部， 如图所示， 问在截开面上的切应力沿梁长度的变化规律如何？ 该面上总的水平剪力有多大？由什么力来平衡？ 9 用钢板加固的木梁， 两端铰支， 其截面如图a所示。 梁跨度L3m， 中点处作用有一集中力P10KN。 若木梁与钢板之间不能相互滑动，平面假设仍成立。木材的弹性模量E1=10GPa，钢板的弹性模量 E2210GPa。试求木材及钢板的最大正应力及两种材料联结处的水平剪应力。 8 解： （1）方法一）方法一 由于平面假设成立，所以沿梁的高度线应变仍按线性规律变化，即 y =，如图 b 所示，由虎克 定律知两种材料的正应力分别为 y E y E xx2211 ,= （a） 由截面上的轴力为零的条件可确定中性轴的位置，即 0 2 21 1 =+ dAdA A x A x （b） 将（a）式代入（b）式，得 0 2 21 1 =+ dAyEdAyE AA （c） 利用（c）式即可确定中性轴得位置。 下面推导弯曲正应力公式。 )( 12 2211 2 2 1 2 1 21 21 IEIEdAy E dAy E ydAydAydAM AA A x A x A x +=+= += = + = iiI E M IEIE M 2211 1 （d） 将（d）式代入（a）式，得 2211 2 2 2211 1 1 , IEIE MyE IEIE MyE xx + = + = 两种（或两种以上）材料得组合梁得弯曲正应力公式可写成 ii i xi IE MyE = （e） 利用（e）式及推导单一材料梁得弯曲剪应力公式时的方法，可得剪应力公式为 9 ydAE IEb Q AP i ii i = P A表示截面上求剪应力处的横线一侧的所有面积。 （2）方法二（变换截面法）方法二（变换截面法） 将两种（或两种以上）材料组合的横截面假想变成仅由材料组成的等价横截面，将这种等价截面 称为变换截面。 为了确定中性轴的位置，将（c）式各项除以E1，得 0 21 =+ dAyndAy AA 式中n=E2/E1为两种材料弹性模量之比。由上式可看出，将A1保持不变，将截面A2得宽度乘以n倍，即将 原组合截面转化为仅由材料 1 组成得变换截面，如图d所示。 进一步得研究弯矩M与曲率半径之间得关系，对变换截面，有/ 1yx E=，于是（注意此处积 分域A2系指材料 2 的变换面积） ， = =+=+= +=+= ii ii AAA x A x A x IE M IEIEIEnIEIE dAy E dAy E ydAydAydAM 1 1 )( 1 )( 1 22112111 2 2 2 1 2 1 21 上式与（d）式完全相同，因此，变换截面与原截面等价，利用变换截面即可按单一材料梁计算应力。 原材料 1 中的应力与变换截面中的相同，将变换截面上的应力乘以 n 即可得到原梁材料 2 中的应力。 10 有二根由两种材料制成的三层胶合梁，设梁的各层材料厚度相同均为h，宽度均为b，第一根梁的 上下层由第一种材料制成，中间层由第二种材料制成；而第二根梁的上下层为第二种材料，中间 层为第一种材料。现对两根粱作拉伸试验，分别测得第一和第二根的相当弹性模量为El和E2。在 平面假设条件下，将两根梁制成等长的悬臂梁，如图所示，求在相同力作用下两梁的自由端挠度 之比。 10 11 图示弯曲钢梁 AB，截面为矩形，宽度为 b，高度为 h，原有曲率半径为，在两端受 P 力作用使 其平直后，则将有均布压力作用于刚硬的平面 CC 上。已知：钢梁的弹性模量 E 及 l、b、h， 试求所需的 P 力及梁被压平时，梁内最大正应力。 11 12 图示悬臂梁弯曲时保持与半径 r 的刚性圆柱面贴合，悬臂梁在点 A 的切线为水平，梁的刚度 EI， 长 l 均已知，当载荷 P 大于时，AB 梁左端某段已和圆柱面贴合，试求自由端 B 的挠度。 12 13 13 一悬臂梁原来就有微小初曲率，其方程为。现在梁 B 端作用一集中力如图所示。当力 逐渐增建时，梁缓慢向下变形，靠近固定端的区段与刚性水平面接触，若作用力为 P，试求： 3 0 Kxy = （1）梁与水平面的接触长度： （2）梁 B 端的水平面的竖直距离。 解： （1）求梁与水平面的接触长度未加载时，梁的初曲率为 Kx dx yd 6 1 2 0 2 0 = 因曲率 EI M = 1 ，而在小变形下弯矩可以叠加，此梁的曲率为 EI xlp Kx )( 6 1 = 若接触点C距离左端为x0，则因此初梁轴为直线，利用曲率为零的条件可确定x0值，即 0 )( 6 0 0 = EI xlp Kx 解得 PEIK pl x + = 6 0 (2) 求梁 B 段与水平面的竖直距离 由于 c 段的挠度为零，故只须寻求 CB 的挠曲方程。直梁的弯矩正比与曲率，此处应修 正为弯矩正比于曲率变化。在距离 C 为 22 /dxyd 处， )(6 )()( 0 2 2 0 2 0 2 2 2 = = xlpEIKx d yd EI xlp dx yd d yd EI 在上式中将 x 换为（+ 0 x） ，然后对积分两次，利用边界条件0 时 y0 及 dy/d0 确定 积分常数，最后得到 62 )( 3 32 032 0 PxlP EIKEIKxEIy+ += 再以 0 xl =代入上式，得到 14 3 00 2 0 )( 3 )2()(xl P xlxlEIKEIyB+= 以x0值代入，最后得到所求的挠度为 2 3 )6( )(36 EIKP EIKl EIyB + = 14 悬臂梁 AB 受竖直向下的均布荷裁 q 的作用，梁长为 l，抗弯刚度为 EI，固定端 A 高出水平地面 h（T1，沿截面高度，温度按线性规律变化。已知材料的线膨胀系数为，试确定自由端的挠度 与转角。 解：梁的平均温度为)( 2 1 210 TTT+=，发生在中性层上。将梁看成由一层层纵向纤维组成，不均匀温 度改变将使梁发生弯曲变形。再距左端为 x 处取 dx 小段，如图 b 所示。相对于中性层，梁上、下表面 的长度改变为dxTTdxTT)()( 0102 及，故 dxTTdxTThd)()( 0102 ， h TT dx d)( 12 = 积分两次得到 Cx h TT dx dy + = )( 12 ，DCx x h TT y+ = 2 )( 2 12 由边界条件：x0 时 y0 及 y0，确定常数 C=D=0.J 将积分常数 C、D 及 xL 代入以上两式，可得 B 端得挠度及转角为： h lTT yB 2 )( 2 12 = ， h lTT B )( 12 = 17 单位长度重量为 q、抗弯刚度为 EI 的均匀刚条放置在水平刚性平面上，刚条的一端伸出水平面一 小段 CD，如图 a 所示。若伸出段长度为 a，试求刚条翘起面不与水平面接触的 BC 段的长度 b。 17 解：刚条的 AB 段紧贴在水平面上，其曲率为零，故此段内各截面上的弯矩皆为零。B 截面上的弯矩亦 为零，且挠度为零，故处可简化为铰支座（如图 b 所示） 。B 处须满足的变形谐调方程为 B =0。为计 算 B 处的转角，将 CD 段的分布载荷向 C 处简化，得到图 C 所示梁，如用 Bm ， Bq 分别表示力偶及分 布载荷在 B 处引起的转角，则 0=+= BqBmB 即 ab EI qb EI b qa B 2 0 246 ) 2 ( 3 2 = = 18 一温度继电器由两片材料不同、但尺寸相同的金属片粘结而成，左端固定自由，如图a所示。两 种材料的弹性模量分别为E1与E2，线膨胀系数分别为 21 与，并且 1 2 。试求温度升高 时在B端引起的挠度。 CT 解：由于两金属片的材料不同，并且 1 2 ，所以在温度升高后将发生弯曲变形，如图 b 所示。此为 超静定问题。 设想在距离右端为x处截开并保留右半段（参看图c） 。设上/下金属片截面上的轴力分别为N1，N2， 弯矩分别为M1，M2。由于无外力作用，故 NNN NNX = = 21 21 0, 0 (a) 18 0 0 = m NhMM NhMM =+ =+ 21 21 0 (b) 两个方程包含四个未知量，故为二次超静定. 上、下金属片在粘合面处的线应变应相等。此外，假设双金