多项式函数的图形与多项式不等式.doc

2-4多項式函數的圖形與多項式不等式主題一多項式函數及其圖形1.由多項式所形成的函數稱為多項式函數2.當多項式的次數為時稱為次多項式函數簡稱n次函數而常數多項式所決定的函數稱為常數函數例如是三次函數是常數函數3.多項式函數的圖形(1)常數函數及一次函數的圖形都是直線(2)二次函數的圖形都是拋物線(3)高次（三次或三次以上）函數的圖形都是連續不斷的曲線（目前我們只能透過描點的方法描出約略的圖形）4.多項式函數圖形的性質(1)多項式函數的圖形都是連續不斷的(2)對於次數不低於1次的多項式函數當首項係數為正數時函數圖形的最右方是上升的當首項係數為負數時函數圖形的最右方是下降的例題1 描繪三次函數的圖形首先列出一些滿足的點如下0120006接著在坐標平面上分別將上列各數對描點再利用平滑曲線把這些點連接起來而得出下圖即為的圖形其中圖形與軸有三個交點這三點的坐標分別為多項式函數的圖形與方程式的根主題二1.多項式函數之圖形與軸交點的坐標就是多項式方程式的實根2.多項式方程式的實根會呈現在函數的圖形上而虛根是不會在圖形上出現例題2 (1) 描繪四次函數的圖形並指出圖形與軸交點的坐標(2) 解四次方程式(1)利用描點的方法可得函數的圖形如下其中圖形與軸有三個交點這三點的坐標分別為(2)方程式的四個根為其中為二重根例題3 已知三次函數的部分圖形如右求的值因為圖形與軸交於二點且是三次函數所以可設又由圖形通過可列得解得即故一次不等式主題三1.設是實係數次多項式不等式和都稱為次多項式不等式簡稱n次不等式2.當實數使得不等式成立時實數稱為不等式的解而解不等式就是要找出滿足該不等式的所有實數解3.一次不等式的解(1)當時解為(2)當時解為例題4 解不等式由移項得所以解得再由展開得移項得所以因為需同時滿足兩不等式所以兩範圍取共同的部分即二次不等式主題四1.設為實數且(1)二次不等式的解為（兩數之間）(2)二次不等式的解為或（兩數的兩邊）2.藉由二次方程式之判別式的正負或零可以幫助我們找出二次不等式的解(1)例5為判別式的情形(2)例6為判別式的情形(3)例7為判別式的情形例題5 解下列二次不等式（判別式的情形）(1) (2) (3)(1)(2)或(3)令解得兩根為因此例題6 解二次不等式（判別式的情形）因為所以原不等式可改寫成又因為對任一實數當時恆成立故原不等式的解為除3外的一切實數例題7 解下列二次不等式（判別式的情形）(1) (2)(1)由配方法得這不等式告訴我們無論為任何實數都不小於3（當然大於0）故的解為全體實數(2)由(1)的討論知無實數解例題8 求滿足不等式的整數解 由得或再由得兩不等式的解取共同部分得或故整數解為二次函數的恆正與恆負主題五1.二次不等式恆成立 且2.二次不等式恆成立 且例題9 設若對任意實數恆成立求實數的範圍因為恆成立所以對任意實數下列恆成立又二次項係數所以只要判別式即可即解得主題六高次不等式高次不等式的解題原則(1)先使多項式的領導係數為正(2)再將多項式分解成實係數一次式或二次式的乘積(3)將多項式方程式的實根標示在數線上再依粗略的函數圖形討論不等式的解(4)畫函數圖形的原則從右上方畫起奇數次方變號（曲線穿過軸）偶數次方不變號（曲線與軸相切）例題10 已知函數的圖形如右求(1)不等式的解 (2)不等式的解(3)不等式的解 (4)不等式的解由圖形上點之坐標的正負可得各不等式的解為(1)或(2)或(3)或(4)或例題11 解下列不等式(1) (2)(3)依從右上方畫起奇數次方變號偶數次方不變號的原則畫出各函數的粗略圖形討論不等式的解如下(1)由上圖可得原不等式的解為或(2)由上圖可得原不等式的解為或或(3)由上圖可得原不等式的解為或例題12 試問不等式有幾個整數解 將原式改寫為設函數函數的略圖如下故原不等式的解為或因此的整數解為共17個例題13 設實係數函數且求(1)的值 (2)滿足之實數的範圍(1)因為為實係數方程式的一根所以也是方程式的一根推得及都是的因式因此可被整除利用長除法計算因為整除所以且解得(2)由(1)知可分解為因為二次函數的二次項係數1為正數且判別式所以函數值恆正即無論為任何實數都大於0故原不等式的解與不等式的解相同即分式不等式設與為實係數多項式(1)不等式與有相同的解(2)不等式與或有相同的解(3)解不等式時若分母不是恆正或恆負則先將不等式作移項再通分如下通分移項再由(1)知原不等式與有相同的解例題14 解下列不等式(1) (2) (3)(1)原式的解與或的解相同設函數的略圖如下所以的解為或又的解為1或2故原不等式的解為或或(2)先將不等式移項整理得因此所求的解與的解相同先將不