浅谈中学数学解题思想和方法毕业论文

南京师范大学泰州学院本科毕业论文 南南 京京 师师 范范 大大 学学 泰泰 州州 学学 院院 毕毕 业业 论论 文（设文（设 计）计） （一（一 六六 届）届） 题题目：目：浅谈中学数学解题思想和方法浅谈中学数学解题思想和方法 院（系、部院（系、部） ：数学科学与应用学院数学科学与应用学院 专专业：业：数学与应用数学数学与应用数学 姓姓名：名：覃洪沙覃洪沙 学学号号08120216 指导教师：指导教师：贾艳鸿贾艳鸿 南京师范大学泰州学院教务处南京师范大学泰州学院教务处制制 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 1 摘要：随着社会经济的不断发展,教育事业的不断推进，数学成为一门必修的学 科。本文就是针对数学学习过程中常遇到的问题研究常见的数学解题思想和方 法：方程和函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类和整合思想、配方法、 换元法、待定系数法、定义法等。研究这些数学解题思想和方法，首先要对其的 发展起源有一定的了解以及进行简单的概述； 其次在每一节内容对这些数学解题 思想、方法进行简单的叙述；最后利用例题再现的形式对每种解题思想和方法进 行详细的解答和分析。 关键词:解题思想和方法；方程和函数思想；转化思想；配方法；换元法 Abstract: With the continuous development of social economy, the continuous development of education, mathematics has become a compulsory subject. This article is in view of mathematics learning often encountered in the process of common mathematical problem solving ideas and methods: function and equation thought, transforming ideas, combined with thought, classification and integrated thinking, method, change element method, method of undetermined coefficient, definition method. These mathematical problem solving ideas and methods of research, first of all to the origin and development have certain understanding and for a simple overview; second in each section of the content and method of the thought of mathematical problem solving of simple narrative; the final rendering using examples in the form of on every kind of problem solving thinking thought and methodology detailed explanation and analysis. Keywords:problem-solving ideas and methods of the ideological function of the ideological function of the method of changing the method of changing the method of undetermined coefficient method 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 2 目录 1 绪论3 1.1 数学解题思想的起源及发展史.3 1.2 研究数学解题思想和方法的目的与意义.3 2 中学数学解题思想的介绍.4 2.1 函数和方程思想.4 2.2 转化思想.4 2.3 分类与整合思想.6 2.4 数形结合思想.6 3中学数学解题的基本方法.9 3.1 配方法.9 3.2 换元法10 3.3 待定系数法10 3.4 定义法.11 3.5 数学归纳法.12 3.6 参数法.13 3.7 反证法.15 4 总结和启示. 16 谢 辞17 参考文献18 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 3 1 绪论 1.1 数学解题思想的起源及发展史 在我国古代， 就已经出现用十进制数字的方法表示大数； 到秦朝和汉朝时期， 十进制表示形式已经发展到完满的时期。公元一世纪之前出现了九章算术 ， 上面已载了只有位值制才有可能运用开平方、开立方的计算法则，并载有分数的 各种运算形式和解线性联立方程组的具体方法，同时引入负数的概念。在殷墟出 现了很多记数的甲骨文。从一到十，十到百、千、万记为专用的记数文字，一共 有 13 个独立符号。在史记夏本记中提到夏禹治水时使用了规、矩、准、绳 等工具进行测量和作图，从而发现“勾三股四弦五”这个勾股定理的特例，在西 方称为“勾股定理” 。战国时期， 考工记规范了手工业技术，其中包含了一些 测量的内容和方法，涉及到几何知识。从秦汉、魏晋南北朝，共 400 年间的数学 发展历史征程。 国外对数学思想的出现也很早，例如：埃及很早就在不知道位值制时用十 进记数法，只是用特殊符号表示每一个较高的单位。公元前 19 世纪到公元前 6 世纪，美索不达米亚地区的文化为巴比伦文化,相应的数学称为巴比伦数学。在 玛雅对于数学的认识完全来自于玛雅时代的石刻。印度数学最早有文字记录的 是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教和印度教的经典吠陀当中。 1.2 研究数学解题思想和方法的目的与意义 在当今社会环境下，各行业的竞争相当的强大。但是“望子成龙” “望女成 凤”这种观念几乎存在每一位家长的心里。那么想要子女成龙成凤的途径就是 希望孩子有很好的成绩。又有一句话说“学会数理化，走遍天下都不怕” ，所以 数学的学习是非常重要的。在教育事业上，检测一名学生是否掌握了某一学科 的知识，就是通过一系列的考试，而对于人才的筛选也需要通过一系列的考试。 这样会遇到各式各样的题目，想要通过考试，就是要会运用正确方法去解题。 所以，研究中学数学解题思想和方法的的目的在于寻找用更短的时间有效的解 决数学的问题，从而培养学生的数学思想，提高学生学习的效率，从而提高学 生成绩。 在教师教学方面要重视数学思想教学提炼的方法和应用。 因为数学解题思想 和方法的渗透与训练促进教师数学素养的提高。 教师进行数学解题思想和方法的 研究，更利于教师行为的完善和教师素质的可持续发展。还可以帮助教师理解数 学专业结构中的目标领域，教师在教学过程中合理利用教材中的转化因素，使学 生初步运用数学解题思想和方法。有助于学生形成良好的数学认知结构，利于知 识转化为能力。 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 4 2 中学数学解题思想的介绍 2.1 函数和方程思想 什么是函数和方程思想？总地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化 已知与未知的关系；对函数和方程思想的考查，在用函数和方程思想指导解题时 要经常思考下面一些问题:要把一个代数式看成一个函数；把字母看作变量；考 虑函数有的性质；如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，需要构造一个函 数来帮助解题，把一个等式看作为一个含未知数的方程，从而求这个方程的根以 及考虑方程的根满足的要求。下面的例子就是很好的说明函数和方程的思想： 例 1已知实数ba,分别满足153 23 aaa，553 23 bbb，则 _ba 解：已知的等式都是三次方程，直接通过方程接触ba,有一定的困难，但是，题 设的两个等式的左边的结构相似，可以用统一的式子来表示这两个等式，对题设 的两个等式变形为 2)1(2)1( ,2)1(2)1( 33 bbaa 根据这两个等式的特征，构造函数xxxf2)( 3 ， 函数)(xf是一个奇函数，又是R上的增函数，则有 2)1(,2)1(bfaf 于是，)1 ()1()1(bfbfaf，因而得ba11 所以2 ba 此题做到了把一个代数式看成一个函数，把字母看作变量，考虑函数的性质，构 造一个函数来帮助解题，把一个等式看作为一个含未知数的方程，从而求这个方 程的根以及考虑方程的根满足的要求，充分体现了函数和方程的思想。 2.2 转化思想 转化思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决 的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，转化 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 5 图 1 三棱柱图 P C 1 B 1 A 1 C A B 思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解 的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程， 因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。把新问题转化为已解决 的问题。例如下面这道题的解题思想就是对转化思想的一个说明: 例 2 ： 如 图 2-1 ， 在 直 三 棱 柱 111 ABCABC 中 ， 底 面 为 直 角 三 角 形 ， 90 ,ACB 6,AC 1 2BCCC，P是 1 BC上一动点，则 1 CPPA 的最小值 是_ 【分析】 ：如图 2-2，连结 1 AB，沿 1 BC将 1 CBC 展开与 11 ABC 在同一个平面内， 连 1 AC，则 1 AC的长度就是所求的最小值. 通过计算可得： 111 38,40ABABAB, 11 6AC , 2 2,BC 所以 11 90AC B， 又 1 45BC C,于是, 11 135AC C 由余弦定理可求得 1 A C=5 2 本题把立体几何问题转化为平面几何问题,把沿表面两点的距离问题转化为平面 _ 2 _ 2 _ 2 _ 40 _ 6 _ P _ C_ 1 _ C _ A_ 1 _ B 图 2 三棱柱切割图 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 6 上两点间的距离问题。 2.3 分类与整合思想 在解题时,我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的 方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必 须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分情况讨论。研究方 向基本是“分” ，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合 分合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法。对于分类与整理的思 想就体现在下面这一道题当中： 例 3 11 ( )(sincos )sincos 22 f xxxxx,则( )f x的值域是（） (A) 1,1 (B) 2 ,1 2 (C) 2 1, 2 (D) 2 1, 2 【分析】 ： 本题给出的函数是一个含有绝对值符号的函数,就要对sincosxx进行 分类,写成分段函数 cos (sincos ) 11 ( )(sincos )sincos sin (sincos )22 xxx f xxxxx xxx 当sincosxx,即 5 22 44 kxkk Z时, cos ,f xx f x 2 1, 2 , 当sincosxx,即 3 22 44 kxkk Z时, sin ,f xx f x 2 1, 2 故选(C). 本题解题的关键就在与对sincosxx进行分类，充分考虑每一种符合条件的情 况，对每一种情况进行讨论，然后总合讨论的结果，得到最准确的答案，这个解 题过程就是对分类与整合思想的一个很好的体现。 2.4 数形结合思想 数形结合思想是一种很重要的数学思想， 把数量关系的研究转化为图形性 质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中 “数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。在研究数学问题时， 由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 7 化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。 那么我们看一下下面的两道例题如何体现数形结合的思想： 例 4.已知13sin12cos5xx，求xtan。 解：作ABCRt,使 13,12, 5ABBCAC ,作CD垂直AB于D， 设A,则BCD， 由图 2-3 可得： BDBCADACsin,cos 所以ABBCACsincos，即13sin12cos5xx 说明是方程13sin12cos5xx的解，于是 ),2( 5 12 tantanZkkx AC BC x C B D A 图 3 直角三角形 ABC 该题通过将数量关系转化为图形性质的问题， 用几何图形直观地刻画了数量 关系，从而使抽象问题具体化，问题得以简单的解决。 例 5如果实数 , x y满足等的式 2 2 23,xy那么 y x 的最大值是(). （A） 1 2 （B） 3 3 （C） 3 2 （D）3 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 8 【分析】 ：如图 2-4,画出以 2,0为圆心,以 3为半径的圆,则 y x 的几何意义是圆 上一点 , x y与原点0,0所连直线的斜率. 显然, y x 的最大值是过原点 0,0与圆相切的直线OA的斜率 由2,3OCCA可得 3 AOC . 于是, y x 的最大值是tan3 3 ,故选（D）. 注：本题也是对数量关系转化为图形性质的问题，用图形直观地刻表示了数 量关系， 从而使抽象问题更加具体化， 使复杂的问题简单化， 从而很快得到答案。 y x A )0 , 2(C0 图 4 方程图像 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 9 3中学数学解题的基本方法 3.1 配方法 配方， 就是把一个解析式的某些项利用恒等式变化配成一个或几个多项式正 整数次幂的和形式。通过这样的方式解决数学问题的方法叫配方法。配方法依据 完全平方式 222 2)(bababa 。它是数学中一种重要的恒等变形的方法，应 用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数 的极值和解析式等方面都经常用到它。 例 6. 将方程式014 2 xx配成bax 2 )(之形式则_ba 解：1ba.依据完全平方式 222 2)(bababa 将014 2 xx进行配方， 0344 2 xx 则03)2( 2 x,再进行移项得到3)2( 2 x 根据题意得到2a，3b. 1)32(ba 【分析】 ：本题主要是要运用完全平方式将原方程式配方，然后移项成为题 目要求的bax 2 )(的形式， 很容易就可以求出a和b的值， 最后求出本题的解。 例 7. 对任意的实数m， 关于x的方程012)64( 22 xxmm一定是一元 二次方程 解：2)2(64)2(64 222 mmmm 0)2( 2 m02)2( 2 m，064 2 mm 所以对任意的实数m，关于x的方程012)64( 22 xxmm一定是一元 二次方程 【 分 析 】 ： 本 题 主 要 是 验 证 原 方 程 是 否 为 一 元 二 次 方 程 ， 依 据 0cbxax证明原方程中 2 x前面的系数)64( 2 mm不等于0，那么原方 程满足一元二次方程的条件。 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 10 运用配方法解决数学问题， 最主要的是能够掌握完全平方式的定义与性质并 能灵活运用，再结合实际的题型，如因式分解、化简根式、解方程、证明等式和 不等式、求函数的极值和解析式等进行解题。关于实系数一元二次方程问题，要 考虑根的判别式“” ；已知方程有两根时，结合韦达定理。这是我们使用配方 法的解题模式。 3.2 换元法 所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的 一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。这种方法是我们在解 决数学问题中比较重要运用比较广泛的一种方法 我们同样的通过下面的例题来说明换元法的运用： 例 8.已知实数 x 满足0 11 2 2 x x x x,那么 x x 1 的值是_。 解： 0 1 2) 1 ( 11 2 2 2 x x x x x x x x 令 x xt 1 ,则原式为02 2 tt 根据一元二次方程的求根公式解出 2t1 或t 所以1 1 x x或者2 1 x x 注:此题要求熟悉一元二次方程的解法，利用完全平方公式将原式变形，为 了计算过程既简便又不会出错，利用换元法令 x xt 1 。则原式变形为一个一元 二次方程，然后解方程即可得答案 3.3 待定系数法 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这 个式子的方法，叫做待定系数法。要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要 是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，例如分解因式、数列求 和、 求函数式、 解析几何中求曲线方程等， 这些问题都具有确定的数学表达形式， 所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 11 （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 例 9.已知一次函数的图像过点 )5 , 3( 与) 9, 4(,求这个函数的解析式。 解:设这个一次函数的解析式为bkxy因为图像过点 ）9-，4-）和（5 , 3( )2( )1 ( 94 53 bk bk )2() 1 ( 得)9(5)4(3kk 2147kk将2k带入 ) 1 ( 式得1b 所以一次函数的解析式为12xy 此题按照待定系数法的解题步骤先确定一次函数的解析式bkxy， 其 次根据恒等式和已知条件列出含待定系数的方程组 94 53 bk bk ，再次，解 方程组得到待定系数bk,的值，最后得到此题的解。运用待定系数法解题，最 主要的是利用所求问题的解析式，列出含有待定系数的方程。而运用待定系数法 解决问题的前提是掌握解方程的方法和思想。 3.4 定义法 所谓定义法，就是直接用数学定义解题。定义是揭示概念内涵的逻辑方法， 它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。根据问题的特点运用定 理、公式、性质和法则解决数学问题；但对数学定义往往未加重视，以至于不能 及时发现能够解决问题的隐含条件，导致舍近求远，舍简求繁的情况。因此合理 应用定义是寻求解题捷径的一种重要方法,灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解 题带来极大方便。 运用定义法解题的关键是明确解题思路，弄清题干，抓住每一个有利条件， 明确题目给的条件的意义是什么。我们就按这个方法来解决下面的问题： 例 10已知两个定圆 1 O和 2 O它们的半径分别是1和2,且4 21 OO.动圆M与圆 1 O内切，又与圆 2 O外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说 明轨迹是何种曲线 解: 以 21O O的中点为原点O， 21O O所在直线为x轴建立平面直角坐标系 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 12 由 4 21 OO ，得)0 , 2( 1 O、)0 , 2( 2 O设动圆M的半径为r， 则由动圆M与圆 1 O内切，有1 1 rMO 由动圆M与圆 2 O外切，有2 2 rMO . 3 12 MOMO 点M的轨迹是以 1 O, 2 O为焦点,实轴长为 3 的双曲线的左支得 2 3 a ， 2c ， 4 7 222 acb . 点M的轨迹方程为 1 7 4 9 4 22 yx ) 2 3 (x 【分析】 ：解决这道题的前提是必须掌握圆与双曲线、抛物线椭圆的定义及 性质和标准方程。根据已知条件从圆的标准方程 222 )()(rbyax入手，结合内切与外切的性质得 3, 2, 1 1221 MOMOrMOrMO， 根据双曲线的性质和定义:平面内与两个定点 21,F F的距离的差的绝对值小于常 数（小于 21F F）的点的轨迹其中 21,F F为焦点，cFF2 21 为焦距，得出 4 7 ,2, 2 3 222 acbca 所以点M的轨迹方程为1 7 4 9 4 22 yx ) 2 3 (x 。 3.5 数学归纳法 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或 者局部）自然数范围内成立。 归纳原理：有演绎推理和归纳推理两种方法。是一种有特殊事例导出一般原 理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推 理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质， 推断该类事物全体都具有的性 质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 13 类事物的全部对象后归纳得出结论来。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与 自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除 性问题等等。具体的操作还是要通过下面的例题来说明： 例 11.数学归纳法证明： * Nn 时，12) 12)(12( 1 )53( 1 )31 ( 1 n n nn 解析：当1n时，左边 3 1 31 1 ，右边 3 1 112 1 ，左边=右边，所以等 式成立。 假设 ) 1( kkn 时等式成立，即有 12) 12)(12( 1 )53( 1 )31 ( 1 k k kk 则当1 kn时， )32)(12( 1 12)32)(12( 1 ) 12)(12( 1 )53( 1 )31 ( 1 kkk k kkkk )32)(12( 132 )32)(12( 1)32( 2 kk kk kk kk 1) 1(2 1 32 1 k k k k 所以当1 kn时，等式也成立。 由，可知，对一切 * Nn 等式都成立。 【分析】 ： （1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于弄清 等式两边的构成规律， 等式的两边分别有多少项， 项的多少与n的取值有关与否， 由kn 到1 kn时等式的两边的项是否会增加，增加多少。 （2）在证明时，首先考虑“n取第一个值的命题形式”时，把第一个值 代入通项，证明命题的真假，步骤在由kn 到1 kn的递推过程中，必须用 归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。 （3）在步骤的证明过程中，突出了两个“凑“字，第一个“凑”是假 设， 第二个 “凑” 是结论， 关键是假设1 kn时需证明的目标， 充分考虑由kn 到1 kn时，命题形式之间的区别和联系。 3.63.6 参数法参数法 参数是解析几何中最活跃的元素，也是解题的一种主要方法。解析几何中的 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 14 许多解题技巧都来源于参数观点。参数观点又是运动、变化思想在数学中的重要 体现，指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新 变量（参数） ，以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次 曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。 例 12：已知参数方程 )0(,sin) 1 ( cos) 1 ( t t tx t ty ， 若t为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ 若为常数，t为 参数，方程所表示的曲线是什么？ 解：当 1t 时， t t y t t x 1 cos, 1 sin 1 ) 1 () 1 ( 2 2 2 2 t t y t t x ， 可知中心在原点，长轴长为 t t 1 2 ，短轴长为 t t 1 2 焦点在x轴上的椭圆。 当1t时， 2 , 2,sin2, 0xxy ，它表示在x轴上 2 , 2 的一段线段。 当)( 2 zk k 时，得 t t x1 sin ， t t y1 cos 平方相减得 4 cossin 2 2 2 2 yx ，即1 cos4sin4 2 2 2 2 yx 它表示中心在原点， 实轴长为 sin4 ， 虚轴长为 cos4 ， 焦点在x轴上的双曲线。 当 )(zkk 时，0x，它表示y轴； 当)( 2 zkk 时，0y，) 1 ( t tx )0(2 1 t t t时，或)0(2 1 t t t时 2x ， 方程为 0y （ 2x ） ， 它表示x轴上以)0 , 2(和)0 , 2(为端点的向左和向右的两条射线。 【分析】 ： 本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不 同的曲线， 因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数。 同时要熟悉圆， 曲线， 椭圆等的定义和性质以及标准方程。 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 15 3.73.7 反证法反证法 假设命题结论的反面成立， 经过正确的推理,引出矛盾， 因此说明假设错误, 从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。用反证法证明一个命题的步 骤，大体上分为：(1)假设结论反面成立（假设命题的结论不成立；即假设结论 的反面成立） ；(2)正确推理导出矛盾（从这个假设出发，经过推理论证，得出矛 盾） ； (3)否定假设肯定结论 （由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确） 。 例 13.用反证法证明：如果0. ba,那么ba 证:假设 ba 不成立， 则 ba ， 若 ba ， 则 ba 已知 ba 矛盾，若 ba ，则ba，与已知 ba 矛盾，故假设不成立，结论 ba 成 立。 【分析】 ：当你证明一个结论成立时，首先要证明它的反面结论不成立，方 可推出所要证明的结论，这便是反证法，此题要求用反证法证明结论ba ， 结合已知条件0. ba，先假设结论反面即ba 成立，在分步推理去反驳此 结论，当这个结论反面不成立时，说明结论ba 成立。 例 14.求证2是无理数 【分析】 ：运用反证法证明，无理数的反面结论是有理数，那么先假设反面 结论即2是有理数，则根据有理数的定义或者性质来推翻这个结论。 证:假设2是有理数，则存在互质的整数nm,使得2= n m ， 所以nm2,所以 2 2nm ，所以 2 m是偶数，从而m必是偶数，故设 )(2Nkkm，从而有 22 24nk,即 22 2kn ,所以 2 n也是偶数，这与nm,互质 矛盾，所以假设不成立，故2是无理数。 在解这道题时，把问题当成结论，假设结论的反面成立，然后根据推出满足 这个反面结论的条件，而且从这些条件可推结论反面与结论是矛盾的，证明了结 论。所以这道题是反证法的典型例题。 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 16 4 总结和启示 本课题从数学思想的起源开始论述，然后通过对函数和的思想、数形结合思