线性系统的运动教学课件PPT.ppt

第2章 线性系统的运动分析,定性分析-着重对决定系统行为和综合系统结构具 有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观 测性和稳定性等进行分析 定量分析-对系统的运动规律进行精确的研究，即定 量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。即 用数学方法求解系统状态空间方程解的表达式。,问题：对给定的控制输入和初始状态，如何确定任意时刻的系统状态和输出的变化过程？ 利用线性系统的特性:叠加原理(初始状态、外部输入 作用的叠加）,2.1 线性系统的自由运动 2.2 线性系统的一般运动 2.3 连续系统的状态空间描述的离散化 2.4 线性离散时间系统的一般运动,第2章 线性系统的运动分析,2.1 线性系统的自由运动,线性系统自由运动分析的数学实质,系统的自由运动反映的是系统内在的固有参数及结构特性，研究分析系统的自由运动是研究分析系统的一般运动的基础。,指在输入向量 及初始状态 的条件下系统的运动,1. 齐次状态方程解的一般表达式 2. 状态转移矩阵,（一）齐次状态方程解的一般表达式,因此,齐次状态方程的解为:,根据标量指数函数定义式:,定义矩阵向量eat为状态转移矩阵,于是齐次状态方程的解为:,反映了系统从初始的状态向量 ，到任意 或 时刻的状态向量 一种矢量变换关系，变换矩阵就是矩阵指数函数 。 它不是一个常数矩阵，它的元素是时间t的函数，是一个 的时变函数矩阵。 从时间的角度而言，意味着它使状态矢量随着时间的推移，不断地在状态空间中作转移，所以也称为状态转移矩阵，通常记为 。,自由运动的解仅是状态的转移，状态转移矩阵(t) 包含了系统自由运动的全部信息，完全表征了系统的动态特性。,表示x(0)到x(t)转移矩阵。,表示x(t0)到x(t)转移矩阵。,另用拉氏变换法求解齐次微分方程:,拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:,对比,（二）状态转移矩阵,1. 状态转移矩阵的运算性质； 2. 状态转移矩阵的计算。 a. 直接求取； b. 拉普拉斯变换； c. 化矩阵a为对角型或约当型； d.化矩阵指数 为a的有限项； e.利用matlab求取。,证：,（1）线性系统状态转移矩阵的运算性质,【例】 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。,解：利用性质,所以该矩阵不是状态转移矩阵。,由性质推出：,证：,式(2.1-14)式逐项对t求导,这个性质表明，状态转移矩阵 与系统矩阵a满足交换律。,【例】根据已知状态转移矩阵，求a,解：根据状态转移矩阵性质2,证： 根据矩阵指数函数的定义，有,表明 具有分段组合的性质。,证：根据性质和及逆矩阵定义，有, 若 为 的状态转移矩阵，则 引入非奇异变换 后的状态转移矩阵为：,证：,式中：,作业 p105 2.3,1. 直接求取法,例2.1 已知系统矩阵，求系统状态转移矩阵 。,解：根据定义有：,结论：直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。,（2）状态转移矩阵的计算,2.普拉斯变换法,结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍要借助计算机来计算。,例2.2,例2.2 已知系统矩阵 ，试用拉普拉斯变换法求系统状态转移矩阵 。,解:,若a为对角线矩阵,证明：,3. 化矩阵a为对角规范型或约当规范型方法 矩阵a的特征值互异，,存在一个非奇异矩阵p,使a能够通过非奇异变换对角线化；,引入非奇异变换,例2.3 已知系统矩阵 ，试用化矩阵a为对角规范型方法求系统状态转移矩阵 。,解：矩阵a的特征方程为,a为若当矩阵,矩阵a有重特征值,设矩阵a为“友”矩阵，且有m1重特征值 ，m2重特征值 ，互异特征值,例2.4 已知系统矩阵 ，试用化矩阵a为 约当规范型方法求系统状态转移矩阵 。,解： 矩阵a的特征方程为：,两种常见的状态转移矩阵形式,设,设,例2.5 已知系统矩阵,试求状态转移矩阵,解:,矩阵a有复数特征值，此时需要将a化为模态标准型,模态标准形,其中：,结论：化矩阵a为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，并建立起了矩阵a的特征值和状态转移矩阵的直观联系，更便于对系统进行分析，但计算相对复杂，特别适合一些简单系统的计算和分析。,作业 p105 2.4 (1) (2) p106 2.5 (1),4. 化矩阵a为有限项法(待定系数法),这种方法是利用凯莱-哈密尔顿定理(cayley-hamilton),将 的无穷级数化为矩阵a的有限项之和进行计算。,则a满足：,推论1 矩阵a的k(kn)次幂可表示为a的(n-1)阶多项式,【证】,以此类推， ， ， ，等都可以用 ， a ， i 线性表示。,推论2 矩阵指数eat表示为a的(n-1)阶多项式,因此，在 定义中，可以用上述定理消去a的n及n以上的幂次项，即：,若矩阵a有n个互异的特征值,根据式(2.1-17),eat可以表示成a的n-1阶多项式，同样，et也可表示成的n-1阶多项式。,例2.6 重做例2.3 已知系统矩阵 ，试用 凯莱-哈密尔顿定理方法求系统状态转移矩阵 。,解：在例2-3中已求出矩阵a的特征值,b. 特征值有重根,若矩阵a有n重特征值 ，满足下式：,将上式对 求导n-1，得：,5. 用matlab求取线性系统的状态转移矩阵,例2.7a 已知系统矩阵 ，利用matlab求系统状态转移矩阵 。,同例2.1,%ex2_10a.m %计算已知系统矩阵a的状态转移矩阵 a=0,1;-2,-3; %输入矩阵a； syms t; %定义变量； eat=expm(a*t) %求状态转移矩阵。, eat = -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t) -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t) ,%ex2_10b.m %计算系统的状态转移矩阵(拉氏变换法) a=0,1;-2,-3; %输入矩阵a； syms t s; %定义变量； g=inv(s*eye(size(a)-a) %计算矩阵(si-a); eat=ilaplace(g) %求拉氏反变换。, g = (s+3)/(s2+3*s+2), 1/(s2+3*s+2) -2/(s2+3*s+2), s/(s2+3*s+2) eat = -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t) -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t) ,对比,%ex2_10c.m %计算系统的状态转移矩阵(化为对角阵法) a=0,1;-2,-3; %输入矩阵a； syms t; %定义变量； p,d=eig(a); %计算a的特征向量p，特征值 构成的对角矩阵d; q=inv(p); eat=p*expm(d*t)*q,eat = 2*exp(-t)-exp(-2*t), exp(-t)-exp(-2*t) -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), -exp(-t)+2*exp(-2*t),(一) 线性系统的零状态强迫运动,系统的运动由两部分组成 其中第1项 ,是初始状态的转移;,第2项是 ，为控制输入作用的受控项,正是由于受控项的存在，提供了通过选取合适的u使x(t)的运动轨迹满足期望的可能性。,2.2 线性系统的一般运动,线性系统的零状态响应就是在 条件下系统的运动。,求取非齐次状态方程 的解。,线性系统一般运动分析的数学实质：,线性系统的零状态响应就是系统对于各个时刻，由输入量在该时刻引起的状态改变的转移对时间的积累,在0,t上积分,零状态响应,系统的一般运动,零输入响应,方法二：由拉氏变换求解系统的一般运动,即,左乘,由拉氏变换的卷积积分定理：两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换。,对（2.2-2）进行拉氏反变换,当 时,当 时,由拉氏变换的卷积积分定理满足交换律,（二） 线性系统的一般运动,设线性系统的非齐次状态方程和输出方程为：,初始状态为 的解,线性系统的一般运动就是零输入响应和零状态响应的叠加。,系统的输出响应或输出方程的解,例2.8 已知系统矩阵,，且,，输入矩阵,单输入u(t)为单位阶跃函数，试求系统的状态响应。,解：在例2.2中已求得状态转移矩阵：,作业 p106 2.6,线性系统的脉冲响应,设u(t)是单位脉冲向量：,系统零状态响应为:,假设:,则系统的脉冲响应为:,系统的脉冲响应矩阵：输入u(t)是单位脉冲向量时，系统的零状态响应。,系统的脉冲响应矩阵:,系统输出向量脉冲响应矩阵:,对线性定常系统，且假设为零初始时刻时:,系统的脉冲响应矩阵:,对h(t)进行拉氏变换：,系统输出向量脉冲响应矩阵:,脉冲响应函数的拉氏变换就是输出对输入的传递函数(阵)。,2.3 连续系统的状态空间描述的离散化,当用数字计算机求解线性连续系统的状态方程，或直接在系统中采用数字计算机进行在线控制，都会遇到把连续时间系统化为等价离散时间系统的问题。,连续系统的离散化就是根据连续系统的数学描述推导出离散化数学描述的过程。 将矩阵微分方程化为矩阵差分方程，就是连续系统离散化过程。（只讨论线性时不变系统）,假设：采样是等间隔的，满足shannon采样定理,采样器后接有零阶保持器.,式中：,证明：输出方程是代数方程，离散后c，d不变，只需证明g(t)和h(t),考察 到 这段时间的响应，由于零阶保持器的作用，u(t)=u(kt)=常数,则,对照(2.31)式，,令 ,则,总结:,例2.11给定线性连续定常系统：,解： 在例2.2中已求得状态转移矩阵：,且采样周期t=0.1秒，试建立时间离散化模型,2.4 线性离散时间系统的一般运动,离散时间系统状态方程有两种解法：迭代法和z变换法。,迭代法：迭代法对于定常系统和时变系统皆适用。,设线性离散系统的状态方程为：,当k=0，1，2，k-1时，得到：,便于记忆的矩阵形式:,2.z变换法：z变换法仅适用于定常系统。,对式(2.4.1)两边进行z变换,可得:,整理得,两边进行z反变换,可得,1.解的形式与连续系统相似，x(k)也是由两部分构成，第1部分是系统自由运动分量，只与系统结构和初始状态有关；第2部分是系统的受控项，不仅与系统结构有关，还与u的大小有关；,2