断裂力学(6)讲义版

1 老老 师师 多媒体教学系列多媒体教学系列 司司 断裂力学断裂力学 华中科技大学力学系司继文华中科技大学力学系司继文 2009年年11月月10日日 2009- 11- 10 10:33:30 Page 12 of 68 2 老老 师师多媒体教学系列多媒体教学系列 司司 断裂力学第六章断裂力学第六章 习题：习题： 6- 1 6- 2 6- 3 6- 4 2009- 11- 10 10:33:31 Page 2 of 68 3 第六章 能量法第六章 能量法 6- 2 G与与K的关系的关系 6- 1 能量释放率及其断裂判据能量释放率及其断裂判据 6- 3 含裂纹构件的变形计算含裂纹构件的变形计算 6- 4 R 阻力曲线阻力曲线 6- 5 应变能密度理论应变能密度理论 2009- 11- 10 10:33:32 Page 3 of 68 第六章 能量法第六章 能量法 J裂纹扩展分析的能量方法是根据能量平衡原理来裂纹扩展分析的能量方法是根据能量平衡原理来 研究裂纹的扩展规律，并建立含裂纹构件的断裂条研究裂纹的扩展规律，并建立含裂纹构件的断裂条 件的方法。件的方法。 J它无需具体分析裂纹尖端附近的应力分布，只需它无需具体分析裂纹尖端附近的应力分布，只需 考虑输入与输出的能量关系。考虑输入与输出的能量关系。 从功能关系来研究裂纹扩展从功能关系来研究裂纹扩展 过程中的能量关系；过程中的能量关系； 由能量守恒和转化的观点考由能量守恒和转化的观点考 察察裂纹扩展的规律。裂纹扩展的规律。 2009- 11- 10 10:33:33 Page 4 of 68 6- 1 能量释放率及其断裂判据能量释放率及其断裂判据 一、一、能量释放率能量释放率G 1.能量守恒原理能量守恒原理设有一设有一裂纹体，裂纹裂纹体，裂纹面积为面积为A， 裂纹裂纹失稳开失稳开裂裂前前扩展扩展了了A: 载荷做载荷做功功W 体系体系弹性弹性应变能变化应变能变化Ue 塑性塑性应变能变化应变能变化Up 裂纹裂纹表面表面能能增加增加 假定这一假定这一过程是过程是 绝热绝热的和的和静态静态 的，的，即不即不考虑考虑热热 功功间间的的交换交换。 能量守恒和转能量守恒和转换定换定律律体系体系内内能的能的增加等于外增加等于外力功。力功。 在在裂纹扩展裂纹扩展时：时： ep WUU=+ 2009- 11- 10 10:33:34 Page 5 of 68 能量守恒和转换定律：能量守恒和转换定律： 裂纹扩展裂纹扩展A时时,弹性系统释放弹性系统释放(耗散耗散)的能量的能量(势能势能): 整个系统总势能在裂纹扩展时的变化等于外力的势能整个系统总势能在裂纹扩展时的变化等于外力的势能 变化变化(等于外力做功的负值等于外力做功的负值)与弹性应变能的变化之和。与弹性应变能的变化之和。 系系统总势统总势 能的变化能的变化 外外力力势势能的变化能的变化 弹性弹性应变应变 能的变化能的变化 JUp和和为不可逆为不可逆的的,表示表示裂纹扩展裂纹扩展A时所时所需需要要的的塑性塑性 能和能和表面表面能能,它它们可视为们可视为裂纹扩展裂纹扩展所要消耗所要消耗的能量的能量（阻阻止止 裂纹扩展的能量裂纹扩展的能量),因此要使因此要使裂纹扩展裂纹扩展,系系统必须提供统必须提供能量。能量。 ep WUU=+ () e WU=+ ep WUU=+ 2009- 11- 10 10:33:35 Page 20 of 68 2.能量释放率能量释放率G G 裂纹扩展裂纹扩展单位面积弹性单位面积弹性系系统统释放的能量。释放的能量。 裂纹扩展裂纹扩展单位面积所消耗单位面积所消耗的的总势总势能。它能。它表示表示裂纹扩裂纹扩 展展单位面积时单位面积时，提供给提供给裂纹扩展裂纹扩展所所需的系需的系统统释放的能释放的能 量量（系系统势统势能的能的减少）减少） 。 G 取决于取决于裂纹体的裂纹体的载荷载荷和和几何几何形形状状。 G的量的量纲：纲：力力 长长度度 1 国际单位：国际单位：N/m 工工程程单位：单位：kg/mm 按按量量纲纲分析，分析，G可看作可看作是裂纹扩展是裂纹扩展单位长单位长度度所所需的需的 驱动驱动力。力。G 被被形形象地称为象地称为裂纹扩展力裂纹扩展力或或裂纹裂纹驱动驱动力。力。 裂纹扩展裂纹扩展 能量释放率能量释放率 ep WUU=+ A0 lim A A = G = 2009- 11- 10 10:33:35 Page 7 of 68 3.裂纹扩展阻力裂纹扩展阻力 裂纹扩展力裂纹扩展力 能量平衡能量平衡式式变变为：为： Gc Gc 裂纹扩展裂纹扩展单位面积所单位面积所需需要消耗要消耗的能量。的能量。 它它反映反映了了材料抵抗材料抵抗断裂断裂破坏破坏的能力的能力,由由材料实验测材料实验测定定。 裂纹扩展裂纹扩展单位面积消耗于塑性单位面积消耗于塑性变形及形变形及形成新成新表面表面的能量的能量。 能量释放率的能量释放率的临界临界值值Gc是是材料故材料故有有的的对对裂纹扩展的裂纹扩展的抗抗力力。 裂纹扩展阻力裂纹扩展阻力 型型平平面面应变应变问题问题： G c 材料 材料的断裂的断裂韧韧性性 （材料常数材料常数）。 ep WUU=+ c GG= G A = e WU AA = p U AA =+ 2009- 11- 10 10:33:35 Page 8 of 68 二二、G 准则准则 三三、G 的计算的计算 固固定定边界边界（恒恒位位移情况移情况） 固固定载荷（定载荷（恒恒载荷载荷情况情况） 两种典型情况两种典型情况： G 准则准则 当当能量释放率能量释放率G 达到临界达到临界值值Gc时时，裂纹，裂纹 失稳失稳扩展，扩展，使使含裂纹的含裂纹的物物体体发生脆发生脆性性断裂。断裂。 断裂断裂准则准则： c GG KG虽然虽然称为称为能量释放率，能量释放率，但但在在临界情况下临界情况下（即在（即在 裂纹裂纹失稳失稳扩展扩展时）时），临界临界值值Gc才才具具有有真实真实的能量转的能量转 化率化率意义意义。 2009- 11- 10 10:33:36 Page 9 of 68 2a 1.固定边界（恒位移情况）固定边界（恒位移情况） 弹性弹性体体受受载荷载荷P作作用用,产生产生位位移移后后,固固定定 上下两上下两端端,构构成成恒恒位位移移的能量的能量封闭封闭系系统统。 P 0 =QW0= 在在物物体体边界固边界固定定的的情况下情况下,外外力力不不再再做做功功,裂纹扩展形裂纹扩展形 成新成新裂纹裂纹表面所表面所需需要要的能量的能量全部全部由由物物体中的裂纹扩展体中的裂纹扩展而而 释放的应变能释放的应变能提供提供,两者两者构构成成一个一个封闭封闭的能量的能量交换交换系系统统。 系系统统释放的应变能释放的应变能用用于于推推动动裂纹扩展，裂纹扩展，因此因此裂纹扩展裂纹扩展 的能量率的能量率就就是是弹性弹性体的应变能释放率。体的应变能释放率。 ee WUU= e U G AA = = p U AA =+ 2009- 11- 10 10:33:36 Page 10 of 68 1.固定边界（恒位移情况）固定边界（恒位移情况） e U G A = 在在线线弹性弹性情况下情况下： e 1 UP 2 = 2a P= =(A) 弹性弹性体的体的柔柔度度 (刚刚度的度的倒数倒数) J决定于决定于含裂纹含裂纹 的的物物体的形体的形状状与与尺尺 寸寸，在在确确定定的裂纹的裂纹 体中，体中， 值值随随裂纹裂纹 尺寸尺寸的的增增大大而而增增大。大。 e 11 UPP 22 =+ 1 PP 2 = 2 1 P 2 = 0 PP0=+=Q P P = 2 1d GP 2dA = 2009- 11- 10 10:33:36 Page 11 of 68 1 P 2 = 2a WP=Q 2.固定载荷（恒载荷情况）固定载荷（恒载荷情况） P e 11 UPP 22 =+ e W2 U=Q 在在固固定载荷定载荷情况下情况下, 裂纹扩展裂纹扩展时外时外力力做做的功的功, 一一半半转化转化 为为物物体体内弹性内弹性应变能的应变能的增加增加,另另一一半半转化转化为为裂纹扩展的裂纹扩展的塑塑 性性应变能和应变能和表面表面能能所消耗所消耗。裂纹。裂纹会急剧会急剧扩展扩展直至直至断裂。断裂。 物物体体受受不不变的变的载荷载荷P作作用用，随边界随边界的的 移移动动，外载荷做外载荷做功功而而有有能量输入。能量输入。 ee WUU= e U G AA = = p U AA =+ 0 2009- 11- 10 10:33:36 Page 25 of 68 () 1 PPP 2 =+ e 1 UP 2 = 0 2a P e U G A = + PP=+ 综合两种情况综合两种情况： Irwin- Kies关系关系式式 G 总 总是是等于弹等于弹 性性能的能的导数导数(可可 以差以差一个一个正正负负 号号,在在恒恒载时载时Ue 增加增加,而而在在恒恒位位 移移时时Ue减少减少)。 2.固定载荷（恒载荷情况）固定载荷（恒载荷情况） 2 1d GP 2dA = e e P U A G A U A = = + 2 1d P 2dA = 2009- 11- 10 10:33:37 Page 34 of 68 四四、G 的的柔柔度度标标定定 应应用用Irwin- Kies关系关系式式来来标标定定试样试样的的G ： ： 通通过过实验得到实验得到 求得导数代求得导数代入入 d dA J在在运用运用能量法能量法进行进行断裂断裂问题问题分析分析时时，关，关键键在于在于确确 定定G 。 J在在许多许多情况下情况下，用用解解析法析法在在数数学学上上是是很困难很困难的，的， 而通而通过过实验测实验测定定却很却很方方便便。即要即要找找出出G 和和某些容易某些容易 通通过过实验测实验测量的量量的量之间之间的关系。的关系。 J裂纹体的裂纹体的柔柔度度是是一可一可测测量量且且与与G 有有确确定定关系的关系的 量。量。先先通通过过实验测实验测量量，进进而确而确定定G 。 ()a P = 2 1d GP 2dA = 2009- 11- 10 10:33:37 Page 14 of 68 Pi i 应应用用Irwin- Kies关系关系式式来来标标定定试样试样的的G ： ： 取一取一组组材料材料及及外外形形尺寸尺寸相同相同，仅仅a 值不值不同同的的试样试样， 在弹性在弹性范围范围内内进行进行试验试验，测测出出不不同同a 试样试样的的P-曲线。曲线。 P O 外加载荷外加载荷 施施力点力点位位移移 a1 a2 ai 该族该族曲线曲线斜斜率的率的倒倒 数数即为即为试样试样的的柔柔度度： i i i P = J为为保证保证其其他他尺寸尺寸完完全全 相同相同，宜采宜采用用单单试样试样逐逐 步步增加增加缺口深缺口深度，度，测得测得 柔柔度的变化。度的变化。 2009- 11- 10 10:33:37 Page 15 of 68 应用应用Irwin- Kies关系式来标定试样的关系式来标定试样的G ： ： 求出每一个裂纹长度求出每一个裂纹长度ai所对应的柔度所对应的柔度 i ，将其无，将其无 量纲化后，画入量纲化后，画入BE-(a/W)坐标系中，得柔度标定坐标系中，得柔度标定 曲线曲线BE= f (a/W)。 O a W BE BE 厚厚度度 宽宽度度 J为了提为了提高精高精度，度，可可 根据根据测测定定出来的出来的-a 数数据，据，即即BE- (a/W)，拟拟合成合成某某一一合合 适适的的函函数式数式BE= f (a/W)。 () i iii i a P = 2009- 11- 10 10:33:38 Page 16 of 68 应用应用Irwin- Kies关系式来标定试样的关系式来标定试样的G ： ： O a W BE BE J如已如已有有拟拟合合的的函函数数 式式，则则可可直直接接求导求导。 a ()d/ da () () d BE d a / W 利利用标用标定定曲线，曲线，对对于所于所考虑的裂纹考虑的裂纹长长度度a ， ，可可得到得到 相相应的应的（即（即对对应应于于a 的曲线 的曲线切切线的线的斜斜率率）。 2 1d GP 2dA = () () 2 2 d BEG WE B1 2 d a / WP = 2009- 11- 10 10:33:38 Page 17 of 68 讨论讨论 J从从G 的的柔柔度度标标定定式式可可以以看看出，出，G 的的标标定定与与材料材料性性质质 无关，无关，试样试样的的柔柔度度仅仅仅仅与形与形状状及及尺寸尺寸有有关。关。所所以以在在实实 际际标标定定中中就就不一定要不一定要用用待待测材料测材料做做试样试样，而而可可以以任任意意 选选用材用材质均匀质均匀，屈服强屈服强度度较高较高而而弹性弹性模模量量又事先知道又事先知道 的的材料材料(如高强如高强度度钢钢或或高强高强度度铝铝合合金金)，并，并把结果把结果无量无量 纲纲化，化，就就可可以以给给出与出与试样试样形形状状相同相同的的任任何何其它其它材料材料制制 作作的构件的的构件的G。 J有了有了标标定定曲线曲线后后，如果已如果已由由实验测得实验测得了了临界临界应力应力c 和和临界临界裂纹裂纹尺寸尺寸ac，则则可可算出算出材料材料的断裂的断裂韧韧性性G c。 。 J当试样当试样的的切口宽切口宽度度不不大大时时，在弹性在弹性范围范围内内，柔柔度只度只 与与切口切口长长度度有有关，关，受受切口切口的尖的尖锐锐程度程度影响很小影响很小。因因而而 可可用用相同相同长长度的度的切口切口代代替替裂纹。裂纹。 J为了提为了提高高标标定定精精度，度，宜选宜选用柔用柔度度较较大的大的几何几何 形形状状及及加载加载方方式式，例如例如三三点点弯弯曲曲试样试样。 2009- 11- 10 10:33:38 Page 18 of 68 19 老老 师师 多媒体教学系列多媒体教学系列 司司 断裂力学断裂力学 2009- 11- 10 10:33:38 Page 19 of 68 6- 2 G与与K的关系的关系 线线弹性弹性断裂力学断裂力学一一般般从从两两个个角角 度分析含裂纹度分析含裂纹物物体的力学体的力学性性能。能。 分析含裂纹分析含裂纹物物体裂纹尖端的应力应变体裂纹尖端的应力应变场场,得到得到表表征征裂裂 纹尖端应力应变纹尖端应力应变场强场强度的度的特征参特征参数数应力应力强强度度因因子子。 从能量的观点考从能量的观点考察察裂纹扩展过程中裂纹扩展过程中物物体能量的变化，体能量的变化， 得到得到表表征征裂纹扩展的能量变化的裂纹扩展的能量变化的参参数数能量释放率。能量释放率。 c GG c KK 裂纹尖端裂纹尖端局局部部参参量量 裂纹体裂纹体整整体体参参量量 J能量释放率能量释放率G 和应力和应力强强度度因因子子K一个一个是是整整体分析的体分析的 量，量，一个一个是是局局部部分析的量。分析的量。两两个个判据判据描述描述的是的是同同一一问问 题题，它，它们之间不可们之间不可能是能是孤孤立的，立的，一定有一定有某某种种关系关系存存在在。 2009- 11- 10 10:33:38 Page 20 of 68 ( ) ( ) y 0 Ka x 2x = = 以型问题以型问题为为例例： 在在裂纹裂纹长长度度为为a 时时，垂垂 直直于于裂纹裂纹面面的应力分量的应力分量 为：为： 设在外设在外边界固边界固定定的的情况情况 下下，裂纹由，裂纹由长长度度a 扩展扩展 至至长长度度a + a。 y x,r o aa 裂纹裂纹长长度度为为a 时时的的K 因因子子 A 通通过计算扩展过程过计算扩展过程 中的能量释放率中的能量释放率G， 建立建立G 与与K 的关系。的关系。 ( ) y x 2009- 11- 10 10:33:39 Page 21 of 68 y x,r aa A ( ) y x o 假假想想在在裂纹线裂纹线上上，裂纹，裂纹 从从O点扩展点扩展到到了了A点，裂点，裂 纹纹张张开开v(x)： ( ) () 4 Kaa ax vx E2 + = a- xx ( )vx 裂纹裂纹长长度度为为a + a 时时的的K 因因子子 裂纹裂纹长长度度为为a 时时，裂，裂 纹纹面面的的张张开位开位移移： ()() ( ) v r,v r, 4Kar E2 = = 裂纹裂纹长长度度为为a + a 时：时： aaa rax = + = x 点点处处裂纹裂纹面面的的张张开位开位移移： 2009- 11- 10 10:33:39 Page 22 of 68 假设在假设在a 段上施加与段上施加与 y(x)等值反向的正应力等值反向的正应力 y(x) ，使已扩展的裂，使已扩展的裂 纹重新闭合到原来状纹重新闭合到原来状 态，即使态，即使v(x)回到回到0 ： A x,r o a ( ) y x y(x)在在a 段段上上使使裂裂 纹纹闭合闭合，相相应应在在v(x) 上上做做功功： ( )( ) a y 0 1 2x vxBdx 2 ( )( ) a y 0 x vx Bdx = 在弹性在弹性条件条件下下应力应力随随位位移移线线性性变化变化 板板的的厚厚度度在在裂纹裂纹上下两上下两表面位表面位移上移上做做功功 2009- 11- 10 10:33:39 Page 23 of 68 ( )( ) a y 0 1 x vx dx a = 裂纹从裂纹从a 扩展扩展到到a + a 所所释放的应变能释放的应变能在在数数值值上上等等 于使于使它它闭合闭合时外时外力力y 所做所做的功。的功。 ( )( ) a y 0 x vx Bdx e U= ( )( ) a y 0 1 x vx Bdx Ba = e U A 单位面积单位面积上上应变能的应变能的改改变变： 此即此即闭合闭合裂纹裂纹吸收吸收之之能量率，它能量率，它在在数数 值值上上等于等于裂纹扩展裂纹扩展所所释放的能量率。释放的能量率。 y 所做所做的功的功 在在数数值值上上等于等于 应变能的应变能的改改变。变。 2009- 11- 10 10:33:39 Page 24 of 68 根据根据G 的定义，在固定边界情况下： 的定义，在固定边界情况下： e U G A = ( )( ) a y a0 0 1 limx vx dx a = ( )() a a0 0 Ka4Kaa 1ax limdx aE22x + = ( )() a a0 0 4Ka Kaa ax limdx 2Eax + = 2 a0 4K1a lim 2Ea2 = 2 K E = e A0 U lim A = 2009- 11- 10 10:33:40 Page 25 of 68 2 2 2 2 K K E G E 1 K E = 平平面面应力应力 平平面面应变应变 此此式式为为断裂力学中的断裂力学中的一个一个极重极重要要 的关系的关系式式，它，它沟沟通通了了结结构构抗抗断断设设 计中的计中的两两个个最最常用常用的的参参数数 K 与与G 之间之间的关系。的关系。此此式对型问题式对型问题是是 普遍普遍适适用用的。的。 2009- 11- 10 10:33:40 Page 26 of 68 2 K G E = 讨论讨论 J在在临界临界状态状态下下，可可得到两种得到两种断裂断裂韧韧性（性（平平面面应变应变 状态）之间状态）之间的的换换算关系。算关系。 2 2 cc 1 GK E = J在在线线弹性弹性条件条件下下，“K判据判据” 和和 “G判据判据”是是等等效效的。的。 在在小范围屈服小范围屈服下下，这这两种两种方法方法在在数数学学上上是是完完全全相相当当 的。的。因此因此，尽管尽管有有两两类类断裂判据，断裂判据，但但殊途殊途同同归归。 J在在实实际际计算中，计算中，可可通通过过K求求G，也也可可由由G 求求K。 在工在工程应程应用上用上，一一般多般多用用“K判据判据”。 2009- 11- 10 10:33:40 Page 27 of 68 讨论讨论J对对于于型型裂纹，裂纹，如果如果假设假设裂纹裂纹沿沿原裂纹线原裂纹线 方方向向扩展扩展了了a，则则可可得到得到： 2 K G E = 而实而实际际上上，型型裂纹并裂纹并不不沿着沿着裂裂 纹线方纹线方向向扩展，扩展，所所以以此此式式只能理只能理 解解为一为一种种名名义上义上的关系。的关系。高高庆庆 型型裂纹裂纹： 2 1 GK E + = 复复合型合型裂纹裂纹：只只要要裂纹裂纹沿着沿着裂纹平裂纹平面面扩展，扩展，可可叠叠加加计计 算算复复合合能量释放率。能量释放率。 () 222 11 GGGGKKK E2 =+=+ 实验实验和理论和理论都都证证 明明，型型裂纹的扩展裂纹的扩展 方方向向是是沿沿裂纹裂纹延延长长线线 的。的。 2009- 11- 10 10:33:40 Page 28 of 68 29 老老 师师 多媒体教学系列多媒体教学系列 司司 断裂力学断裂力学 2009- 11- 10 10:33:40 Page 29 of 68 6- 3 含裂纹构件的变形计算含裂纹构件的变形计算 一、一、卡氏卡氏定定理理 M1 Pi () ei i i UA,P P = 材料材料力学中力学中卡氏卡氏定定理理：力力作作用用点点 沿沿力线方力线方向向的的位位移移，等于弹性等于弹性体体 的应变能的应变能对对该该力的力的偏偏导数导数。 弹性弹性体的应变能体的应变能 作作用用力力 力力Pi 的的作作用用点点沿沿力力矢矢方方向向的的位位移移 裂纹裂纹面积面积 2009- 11- 10 10:33:40 Page 30 of 68 M1 Pi M2 Pi B1 B2 F F () ei i i UA,P P = 如如在在物物体体上上还还作作用用有有另另一个一个与与Pi 力力等值、等值、共共线线、反反向向的平衡力的平衡力,则则 作作用用点点M1、M2间间沿沿外外力力作作用用方方向向 的的相相对对位位移移为：为： () ei M i UA,P P = 若若要要计算计算物物体体上上任任意两意两点点B1、B2 之间之间的的相相对对位位移移，可加可加上上一一对对平衡平衡 力力（F，F），再再令令F0。 B1、B2两两点的点的实实际际相相对对位位移移： () ei F0 UA,P ,F lim F = 2009- 11- 10 10:33:40 Page 31 of 68 ()()() s eie0ii 0 UP ,F ,SUP ,FGP ,F , A dA =+ 二二、Paris位位移移公公式式 随随着着裂纹裂纹面积面积的变化，的变化，弹性弹性 体的变形能体的变形能Ue的计算是的计算是很困很困 难难的。的。如果把如果把它与它与G或或K联联系系 起起来来,则求则求解解过程过程将将大大大大简简化。化。 () ei F0 UA,P ,F lim F = 恒恒载荷载荷下型问题下型问题： 裂纹裂纹在在扩展过程中的扩展过程中的瞬瞬时面积时面积 对对应应于于无裂纹无裂纹物物体的应变能体的应变能初初值值 变化量变化量 积积分分： e P U G AA = = + () s ee 0 0 UUG dA =+ 2009- 11- 10 10:33:41 Page 32 of 68 考虑到关系式：考虑到关系式： () 2 2 PF KKK G EE + = 外外力力Pi 所所产生产生的的K因因子子虚虚力力F 所所产生产生的的K因因子子 0 F F KF F0,K0 = Q () () s ei ee 0 F0 0 UA,P ,F lim,UUG dA F =+ () s e0F PF F0 0 U2K limKKdA FEF =+ e F0 U lim F = () s2 PFe0 F0 0 KKU limdA FFE + =+ s e0F P F 0 0 U2K KdA FEF = =+ 2009- 11- 10 10:33:41 Page 33 of 68 s e0F P F00 U2K KdA FEF = =+ M1 M2 Pi Pi B1 B2 F F B1 B2 裂纹裂纹张张 开位开位移移： Paris位位 移移公公式式： 无裂纹无裂纹时时B1B2间间的的相相对对位位移移 由裂纹由裂纹引起引起的的位位移移增增量量 当当B1、B2两两点分点分别别是裂纹是裂纹上下上下表面表面上上 的的两两个个对对应点应点,则则在在无裂纹无裂纹情况下就情况下就将将 重重合成合成一个一个点点,因因而而其其相相对对位位移移为为零零。 s F P 0 2K KdA EF = e0 F 0 U 0 F = = 2009- 11- 10 10:33:41 Page 34 of 68 M1 M2 Pi Pi B1 B2 F F B1 B2 裂纹裂纹张张开位开位移移： 讨论讨论 J若若K 的 的表表达式达式已知已知，在在确确定定裂裂 纹的纹的张张开位开位移移时时，经经常用到常用到此此式式。 J应应用用此此式式计算计算时时，作作用用力力P的的 值值与与B1、B2两两点的点的位位置置是是保保持持不不 变的，变量变的，变量就就只是裂纹的只是裂纹的面积面积。 故故积积分过程分过程就就相相当当于于是是一个一个裂纹裂纹 长长度度不不断断增加增加的过程。的过程。 J为了为了与与真实真实裂纹裂纹长长度度 2a 相相区区 别别，积积分中的分中的瞬瞬时长时长度度一一律律用用2 来来表示表示。 s F P 0 2K KdA EF = 2009- 11- 10 10:33:41 Page 35 of 68 例一例一.经经典典裂纹裂纹问题问题。裂纹。裂纹 长为长为2c，求求距距裂纹中裂纹中心心为为 a的的D点的点的张张开位开位移移。 解：解： 2c y x oB A D2 a D1 F F 由由虚虚平衡力平衡力 引起引起的的长为长为 2的裂纹的裂纹两两 端应力端应力强强度度 因因子子分分别别为：为： A F B F Fa K a Fa K a + = = + 由由外载所外载所引起引起的的 应力应力强强度度因因子子为：为： AB PP KK = 为为求求D点的点的张张开位开位移移，在在D1、 D2点点上上加一加一对对虚虚平衡力平衡力F、F。 s F P 0 2K KdA EF = 2009- 11- 10 10:33:42 Page 36 of 68 由于由于A、B两端的应力强度两端的应力强度 因子不等，积分的计算必须因子不等，积分的计算必须 对裂纹两端分别进行：对裂纹两端分别进行： 裂纹总面积：裂纹总面积：()S2Bc2c B 1=()dAd Bd= s F P 0 2K KdA EF = s/ 2s/ 2 AB FF PP 00 2KK KdAKdA EFF =+ cc AB FF PP 00 2KK KdKd EFF =+ () c AB PFF 0 2 KKKd EF =+ c F P 0 2K Kd EF = AB FFF KKK =+ 2009- 11- 10 10:33:42 Page 37 of 68 ac FF PP 0a 2KK KdKd EFF =+ c F P 0 2K Kd EF = c F P a 2K Kd EF = 2c y x oB A D2 a D1 F F 0 当当裂纹的裂纹的瞬瞬时长时长度度 O a R G a0 a B3 讨论讨论 B2 B1 J厚厚度的度的影响影响。 阻力曲线形阻力曲线形状状除除了了与与 材料材料性性质质有有关关外外，还还 与与试样试样的的厚厚度度有有关。关。 因为因为厚厚度度要要影响影响裂纹裂纹 端端部部的应力的应力状态状态和和塑塑 性性区区尺寸尺寸，从，从而而影响影响 裂纹的扩展阻力。裂纹的扩展阻力。 B1 B2 B3 它它们们的的起起裂点裂点都都相同相同, 但但失稳失稳点和点和亚亚临界临界扩展扩展 过程过程则则都都不不相同相同。 随随着着厚厚度的度的增加增加,其其临临 界界扩展阻力扩展阻力Rc会下会下降降, 亚亚临界临界扩展量扩展量也也将将减少减少。 当当厚厚度度增增大大到到接接近平近平面面应应 变变状态时状态时，R在在很小很小的的亚亚临界临界 扩展量扩展量后就后就很很快趋快趋向向饱饱和。和。 即即亚亚临界临界扩展过程扩展过程很很短短，亚亚 临界临界扩展量扩展量很小很小，起起裂点与裂点与 失稳失稳点点非非常常接接近。近。 2009- 11- 10 10:33:47 Page 51 of 68 讨论讨论J厚厚度的度的影响影响。 O a R G a0 a B3 B2 B1 B1 B2 B3 所所以以平平面面应变应变状态状态下下的的 临界临界扩展阻力扩展阻力就就基本基本上上 是是一个一个与与试样尺寸试样尺寸无关无关 的的常数常数，这个这个常数就常数就是是 材料材料的断裂的断裂韧韧性性G c 。 J在在平平面面应力条件应力条件下下, 裂纹裂纹失稳失稳扩展的能量扩展的能量 判据，判据，必须必须采采用式用式： GR GR aa 用用 R 曲线曲线表表达达裂纹扩展阻力裂纹扩展阻力 的的概念概念,在工在工程程界界引起引起了了很很大的大的 兴趣兴趣。对对于于许多许多裂纹扩展裂纹扩展不不符符 合合平平面面应变条件的应变条件的情况情况(如如薄薄板板 结结构构) , 不不再再是是测测量量一个一个韧韧性值性值 G c ,而而是是测测出出一一条条R阻力曲线。阻力曲线。 2009- 11- 10 10:33:47 Page 52 of 68 53 老老 师师 多媒体教学系列多媒体教学系列 司司 断裂力学断裂力学 2009- 11- 10 10:33:47 Page 53 of 68 6- 5 应变能密度理论应变能密度理论 J应变能密度理论应变能密度理论首首先先由由美美 国国的的G.C.Sih（薛昌薛昌明明）提）提 出，是出，是一一种种基基于于局局部部应变能应变能 密度密度场场的断裂理论。的断裂理论。 J它计算它计算简简单单，适适用用性性广广， 最最大大特特点是点是可可以以处处理理全全复复合合 型型裂纹的扩展裂纹的扩展问题问题。 2009- 11- 10 10:33:47 Page 54 of 68 一、一、复复合型合型裂纹裂纹问题问题概概述述 由由于载荷不于载荷不对对称（称（a），裂纹方，裂纹方向向不不 对对称（称（b、c）以以及及材料材料各各向向异异性（性（d）等）等 情况情况，使使裂尖应力裂尖应力场场里里同同时时参参杂杂着着型型 和和型型甚甚至至型型裂纹的应力。裂纹的应力。 复合型复合型 (混合型混合型) 裂纹裂纹 以以平平面面弯弯曲构件曲构件为为例例。 （a） P R1R2 （d） P RRR （c） P R （b） P RR J工工程中程中复复合型合型裂纹裂纹问题问题是大量是大量存存在在的的,如如何何建立建立复复 合型合型裂纹的断裂判据裂纹的断裂判据,是是工工程程上上需需要要解解决决的的重重要要问题问题。 2009- 11- 10 10:33:48 Page 55 of 68 J复合型裂纹断裂问题的研究，已成为断裂力学的一复合型裂纹断裂问题的研究，已成为断裂力学的一 个专门领域，十分活跃，并取得很大的进展。个专门领域，十分活跃，并取得很大的进展。 J但总的来说，复合型断裂判据目前还很不成熟，特但总的来说，复合型断裂判据目前还很不成熟，特 别是对于复合型裂纹的弹塑性断裂问题，至今还未提别是对于复合型裂纹的弹塑性断裂问题，至今还未提 出恰当的理论。现有的断裂准则仅适用于线弹性断出恰当的理论。现有的断裂准则仅适用于线弹性断 裂，与有机玻璃等脆性材料的实验结果有较好的一致裂，与有机玻璃等脆性材料的实验结果有较好的一致 性，但与金属材料的实验结果还存在一定的差异。性，但与金属材料的实验结果还存在一定的差异。 J裂纹的扩展裂纹的扩展往往往往 不不是是沿着沿着原裂纹原裂纹面面 方方向向，而而是是沿着沿着与与 原裂纹原裂纹面面成成某某一一角角 度的方度的方向向进行进行。 复复合型合型裂纹扩裂纹扩 展与展与单单纯纯张张开开 型型裂纹扩展的裂纹扩展的 主主要不要不同同之之点点： 2009- 11- 10 10:33:48 Page 56 of 68 J为了回答这两个问题为了回答这两个问题,已经提出了许多种复合型裂纹已经提出了许多种复合型裂纹 的脆性断裂理论。这些断裂理论是建立在科学的假设的脆性断裂理论。这些断裂理论是建立在科学的假设 基础上的基础上的,它的正确与否取决于是否与实际情况相符合。它的正确与否取决于是否与实际情况相符合。 复合型裂复合型裂 纹的脆性纹的脆性 断裂理论断裂理论 应力参量理论应力参量理论最大周向应力理论最大周向应力理论 （准则）准则） 应变能密度因子理论应变能密度因子理论 （S 准则）准则） 最大应变能释放率理论最大应变能释放率理论 （G 准则）准则） 能量理论能量理论 裂纹裂纹开开始沿始沿什么什么方方向向扩展扩展？ 即即需需要要确确定开定开裂裂角角（与原裂纹方与原裂纹方向向的的夹夹角角）。 裂纹裂纹在在什么什么条件条件下下开开始始扩展扩展？ 即即需需要要确确定定临界临界状态状态，建立断裂判据。，建立断裂判据。 复复合型合型裂纹的研究，裂纹的研究，主主要在于要在于确确定定两两个个问题问题： 2009- 11- 10 10:33:48 Page 57 of 68 二二、应变能密度应变能密度因因子子S ijij Wd= ijij 1 W 2 = () ()() 222 xyz 222 xyyzzxxyyzzx 1 W 2E 1 E2 =+ + 弹性弹性体体受受力力后后要要变形，变形，同同时时 在在其其内内部部储储存存了了应变能。应变能。 应变能密度应变能密度（比比应应 变能变能） 单位单位体体 积内积内的应变能。的应变能。 对对于于线线弹性弹性体体： () xxyyzzxyxyyzyzzxzx 1 2 =+ 剪剪切切弹性弹性模模量量泊松比泊松比 弹性弹性 模模量量 代代入入广广义义虎克虎克定定律律 2009- 11- 10 10:33:48 Page 58 of 68 () x y zxy xy 133 K cos1sinsinKsin2coscos 222222 2 r 133 K cos1sinsinKsincoscos 222222 2 r 2 K cosKsin 22 2 r 13 K cossincosKcos1sin 2222 2 r =+ =+ =+= =+ yz zx 3 sin 22 K cos 2 2 r K sin 2 2 r = = ()()() 222222 xyzxyyzzxxyyzzx 11 W 2EE2 =+ 在在平平面面应变应变情况下情况下, 复复合型合型裂纹尖端附近裂纹尖端附近 区区域域的应力的应力场场(是是纯纯型型、纯纯型型和和纯纯型型的的叠叠加加 )： () 222 11122233 1 Wa K2a K Ka Ka K r =+ 2009- 11- 10 10:33:48 Page 59 of 68 () 222 11122233 1 Wa K2a K Ka Ka K r =+ ()() () ()()()() 11 12 22 33 1 a1coscos 16 1 asin2cos1 16 1 aK11cos1cos3cos1 16 1 a 4 =+ = =+ = 3 K1 34 =+ 平平面面应力应力 平平面面应变应变 应变能密度应变能密度不不仅仅依赖依赖于于 材料材料的的弹性弹性常数常数，还还是是极极 角角 的的函函数数。 在在裂纹尖端近裂纹尖端近旁旁，应变，应变 能密度具能密度具有有1/r 阶阶奇异奇异性性。 2009- 11- 10 10:33:48 Page 60 of 68 () 222 11122233 1 Wa K2a K Ka Ka K r =+ S 222 11122233 Sa K2a K Ka Ka K =+ S W r = 应变能密度应变能密度因因子子 裂纹尖端附近裂纹尖端附近 区区域域应变能密度应变能密度场场的的幅幅度度或或强强度。度。 (是应变能密度是应变能密度奇异奇异性性强强度的度量度的度量） S的的单位单位: N/m 当当r0时时，S 为一有为一有限限量。量。 J当当r0 时时，W具具有有奇异奇异性性。因此因此 处处理理问题问题时时，必须必须避避开开裂纹的尖端裂纹的尖端 点。点。可可考虑考虑距距离离裂纹尖端裂纹尖端r = r0的的微微 小小区区域域以以外外的应变能密度。的应变能密度。 r0 2009- 11- 10 10:33:49 Page 61 of 68 三三、应变能密度应变能密度因因子子断裂断裂准则准则（S准则准则） 应变能密度应变能密度因因子子理论理论在在预预测测裂纹扩展裂纹扩展时时的的两两个个基本基本假设假设： 断断 裂裂 判判 据据 minc SS= 0 0 2 2 S 0 S 0 = = = 断裂断裂韧韧性性是是用用应应 变能密度