电子科大随机信号分析教学课件PPT平稳性与功率谱密度PPT.ppt

2019/10/31,1/117,随机信号分析,第3章 平稳性与功率谱密度,2/117,2019/10/31,第3章 平稳性与功率谱密度,有一类极为重要的随机信号，它的主要（或全部）统计特性关于参量保持“稳定不变”，这种随机信号被称为平稳随机信号。 本章讨论： 1）严格与广义平稳性；循环平稳性； 2）平稳信号相关函数的特性；有关物理意义； 3）平稳信号的功率谱密度与互功率谱密度； 4）白噪声及其实例热噪声,3/117,2019/10/31,3.1 平稳性与联合平稳性 3.2* 循环平稳性 3.3 平稳信号的相关函数 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 3.5 白噪声与热噪声 3.6 应用举例,4/117,2019/10/31,3.1 平稳性与联合平稳性,平稳性（stationarity）: 平稳性是指随机信号的统计特性不随观察时刻t（或观察时刻组t1,t2,tn）平移而变化的性质，相应的随机信号被称为平稳随机信号。,例：,5/117,2019/10/31,6/117,2019/10/31,3.1.1 严格平稳与广义平稳随机信号,定义3.1 若对于任意的 ，随机过程 x(t),tt 的任意 n 维概率分布函数满足,则称x(t)是严格平稳随机信号, 记作sss r.s,1. 严平稳随机过程 sss r.s.,强平稳随机信号,狭义平稳随机信号,7/117,2019/10/31,严平稳随机信号也可以由概率密度来定义：,8/117,2019/10/31,b. 时刻组平移时，时刻组间的相对位置不变，即任意n维概率分布函数与时刻组的起始位置无关，而只与其相对位置有关。,注意： a.,9/117,2019/10/31,sss r.s. x(t)的特性,(1) sss r.s. x(t)的一维概率分布、密度函数与时间t无关；如果其均值与方差存在，它们也与时间t无关，即：,一阶平稳,10/117,2019/10/31,一阶密度函数平稳性示例：,sss.r.s由同分布随机变量组成,11/117,2019/10/31,均值均为0，均值平稳，但各时刻的r.v.的分布不同。可见一阶平稳一定均值平稳，但均值平稳不一定一阶平稳。,常数,常数,12/117,2019/10/31,(2) sss r.s. x(t)的二维概率分布、密度函数与两时刻组的绝对位置(t1,t2)无关，只与相对位置 有关。( ),证明：,13/117,2019/10/31,(3) 如果sss r.s. x(t)的相关函数、协方差函数、相关系数存在，它们也只与两时刻的相对位置 有关，而与两时刻组的绝对位置(t1,t2)无关。,14/117,2019/10/31,15/117,2019/10/31,通常 采用 的等价形式， 为相对时间，是核心变量，t 称为绝对位置。,如：,16/117,2019/10/31,2. 广义平稳随机过程 wss r.s.,定义3.2 若 r.s. 的均值和相关函数存在，并且满足： 均值为常数；即 相关函数与两时刻(t1,t2)的绝对值无关，只与相对差 有关，即,则称x(t)是广义平稳随机信号 , 记作 wss r.s.,弱平稳随机信号,宽平稳随机信号,17/117,2019/10/31,3. 严格平稳性与广义平稳性之间关系：,定理3.1 如果某高斯信号是广义平稳信号，则该信号也是严格平稳信号。,关于随机序列的平稳性问题，只需要将连续时间变量t换为离散时间n,18/117,2019/10/31,平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响； 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号； 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论研究中； 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条件 不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳的。 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号来处理。如语音信号，人们普遍实施1030ms的分帧，再采用平稳信号的处理技术解决有关问题。,说明：,19/117,2019/10/31,例3.1 设独立高斯随机信号u(t)的一阶概率密度函数为 其中a与为常数。试分析其平稳性。,20/117,2019/10/31,解： 故u(t) 一阶平稳, 依题：,与t无关，故x(t)是 sss.r.s.,又因为x(t)是高斯信号，故它也是wss.r.s.,一般，一阶平稳的独立r.s.是严平稳的r.s.,21/117,2019/10/31,例：,热噪声的取样观察值为 ， 是 一随机序列，它具有以下性质：,（1） 相互独立；,（2） 是 分布，（即每一时刻取值连续、高斯）,判断 的平稳性；,22/117,2019/10/31,x(n)是gauss.r.s.,常数,rx(n1,n2)只与其相对位置n1-n2有关,解：,23/117,2019/10/31,1. (0,1)贝努里随机信号,常数,r(n1,n2)与 n1,n2 的绝对位置无关，只与其相对位置有关，故也广义平稳,与n无关，是严格平稳信号。,24/117,2019/10/31,2. 随机正弦信号,r(t1,t2)与 t1,t2 的绝对位置无关，只与其相对位置有关，故广义平稳,常数,， 是确定量， 独立， 服从参数为 的瑞利分布， 。,25/117,2019/10/31,3. (-1,1)半随机二进制传输信号,r(t1,t2)与 t1,t2 的绝对位置有关，故非广义平稳,常数,也非严平稳,随机二进制传输信号却是严平稳的r.s.,26/117,2019/10/31,补充例： 随机信号x(t)=ay(t)，其中a为高斯随机变量， y(t)为确定的时间函数，判断x(t)是否为sss.r.s.,解：,与t有关,故x(t)非 wss.r.s.,与t有关,非 sss.r.s.,27/117,2019/10/31,x(t)与t无关,x(t)的全部概率特性不随观察时刻组平移而变，故x(t)是 sss.r.s.,28/117,2019/10/31,补充例：判断如下四个正弦随机信号是否广义平稳？,式中：,29/117,2019/10/31,常数,3.2* 可证：随机相位余弦波也是严平稳的r.s.,rx(t1,t2)与 t1,t2 的绝对位置无关，只与其相对位置有关,故，r.s.x(t) wss,30/117,2019/10/31,均值是t的函数，故r.s.x(t)不是 wss的,r.s.x(t)也不是 sss的,a 0,31/117,2019/10/31,均值是t的函数，故r.s.x(t)不是 wss的,r.s.x(t)也不是 sss的,32/117,2019/10/31,常数,33/117,2019/10/31,故，r.s.x(t) wss,rx(t1,t2)只与其相对位置有关,34/117,2019/10/31,例3.3 广义平稳随机信号x(t)通过如图所示的乘法调制器得到随机信号y(t)，图中是确定量，是-,+均匀分布的随机相位，与x(t)是统计独立的。试讨论随机信号y(t)的平稳性。,35/117,2019/10/31,解：由上题可知，r.s. 是wss的 依题意：,常数,36/117,2019/10/31,相关函数可以表示为,由于均值是常数且相关函数仅与有关，y(t)是广义平稳的。,作业：3.1 3.4 3.5 3.6,37/117,2019/10/31,补充例：由三个样本函数,组成 r.s.,，每个样本发生的概率相等.,自学,38/117,2019/10/31,解: (1),39/117,2019/10/31,只看 ，就可以说明 非wss,更非sss.,（2）,40/117,2019/10/31,3.1.2 随机信号的联合平稳性,1.联合严格平稳jsss r.s.,定义3.3 对于任意的 ，若随机过程x(t) 、y(t)的任意 n+m 维概率分布函数满足,则称x(t) 、y(t)是联合严格平稳随机信号。,joint,41/117,2019/10/31,上式等同于：,即：,42/117,2019/10/31,性质：,43/117,2019/10/31,定义3.4 ：广义平稳随机过程 与 ，如果,2. 联合广义平稳性 jwss,则称x(t)与y(t)是联合广义平稳随机信号，记作 jwss r.s. 。,44/117,2019/10/31,解：由例3.3，x(t)与y(t)分别广义平稳,例3.4 讨论例3.3中乘法调制器的输入与输出信号的互相关函数与联合平稳性。,且：,注意：如果振荡不是随机相位的，则输出信号可能不是平稳的，输入与输出信号不会正交，也不会联合广义平稳。,因此，输入与输出信号是联合广义平稳的，并且正交。,作业：3.8,45/117,2019/10/31,3.3 平稳信号的相关函数,3.3.1 基本性质,相关函数是实偶函数,性质1：若 x(t) , tt 是实平稳信号，则,证明：,46/117,2019/10/31,例：,关联性（内在联系）在同一时刻最紧密，x(t)的相关函数为周期函数时可能取“”,关于相对时间的周期性,相关函数在原点处非负，并达到最大，即,47/117,2019/10/31,若 ，则 是周期为1 的周期函数，即对任意有,关于相对时间的周期性,若 且1 与2不公约，则 为常数；,若 在原点处连续，则它处处连续；,此时，x(t)称为周期平稳信号。,48/117,2019/10/31,判断下列图形可否成为实wss r.s.的自相关函数？,都不是自相关函数,(3)(4)不满足,(4)不满足,(1) (2)不满足,(4)不满足,(1)不满足,判断原则： (1)对称性 (2)非负，最大值点 (3)连续性 (4)周期性,(2)不满足,49/117,2019/10/31,性质2 若 是平稳信号，则,（1）,（2）,性质3 若 与 联合平稳，则,（1）,（2）,50/117,2019/10/31,3.3.2 相关函数的物理意义,若信号 含有平均分量（均值），则 含有固定分量。式 指明了这点；,若信号 含有周期分量，则 将含有同样周期的周期分量。周期特性可如下说明：,51/117,2019/10/31,等价于,“信号依均方意义（也依概率为1）呈现周期性”的充要条件是“ 是周期函数”，这种信号称为周期平稳信号。,若信号 不含有任何周期分量，则随机变量 与 的关联程度会随着时间间距的增大而逐渐减小，直至无关。,关于相对时间的周期性,例：,52/117,2019/10/31,性质4. 实际应用中的非周期平稳信号，一般都满足,，与,等价于，,，与,其它主要参数：,相关函数关于相对时间不具周期性,53/117,2019/10/31,自相关系数与自相关时间,(1) 使用 表示关联性,54/117,2019/10/31,（2）相关时间,一般，随 增大，x(t)和 x( t +)的相关性减弱。工程上，近似认为只要 x() 小于某值，则这两个时刻的rv就近似不相关了。这时，间隔时间 称为相关时间 0 。,定义1：,定义2：用矩形等效形式定义相关时间,同相关系数一样，是相关程度的度量。,55/117,2019/10/31,【注】：0 与 () 下降快慢有关。0 越小，() 随的增加降低越快 ,随机过程的起伏越快； 0 越大，随机过程的起伏越慢。,通常的0 、 c值一般不相等，它们都示出了相关性有无的大致分界处,56/117,2019/10/31,补充例题：设平稳过程 的自协方差函数分别为,式中b为正的常数。求,1）由 协方差能否求出它们各自的均值？,2）它们的相关系数和相关时间；并判断哪个过程的起伏速度快。,解：1）不能。,57/117,2019/10/31,2）,58/117,2019/10/31,补充例：若wss.gauss r.s. 的自相关函数 如图所示，求 (1) ； (2) 当 t1-t2=1.5t 和 t1-t2= 0.5t 时的二维联合概率密度函数 。,-t,t,5,1,解：,59/117,2019/10/31,60/117,2019/10/31,61/117,2019/10/31,62/117,2019/10/31,63/117,2019/10/31,解：信号x(t)通常被视为两个平稳信号u(t)与v(t)的和，即,例 3.7 工程应用中平稳信号 x(t) 的自相关函数为,试估计其均值、均方值和方差。,无关或独立,u(t)与v(t)的自相关函数分别为,并假设v(t)均值为0,于是,64/117,2019/10/31,所以， 的均值为10、均方值为300、方差为200。,u(t)是x(t)的非周期分量，可得,于是，,65/117,2019/10/31,作业：3.9 3.12 3.14 3.16,66/117,2019/10/31,3.4 功率谱密度与互功率谱密度,确定信号,时域：信号随时间变化的特性,频域：信号频率成分及各频率成分大小 信号谱,随机信号,时域：从统计意义上分析,频域：一个样本函数的特性不能代表全体，故也应从统计意义上分析,功率谱,67/117,2019/10/31,3.4.1 基本概念,1. 确知信号的功率及功率谱密度,(1) 能量型信号,存在傅立叶变换,e：归一化能量（单位电阻上耗散的平均能量）,68/117,2019/10/31,由帕塞瓦尔定理：,能量谱分布密度函数，表征了信号能量沿 轴的分布。或表示信号在单位频带上分布的能量。,69/117,2019/10/31,(2) 功率型信号,功率型信号一般持续时间无限，不满足绝对可积的条件。,注意： 1) 能量型信号的能量有限，功率为0； 2) 功率型信号的功率有限，能量为无穷。,p：归一化功率（单位电阻上耗散的平均功率）,70/117,2019/10/31,截取,称为 的截断函数。,即 存在傅立叶变换,71/117,2019/10/31,由帕塞瓦尔定理：,令 ， 在 的平均功率为：,72/117,2019/10/31,令,功率谱密度函数，简称功率谱,表征了信号功率沿 轴的分布。,物理含义：如果在某个0处s (0)比较大，则信号x(t)中含有较大的0频率分量；如果在某个0处s(0)=0，则信号中不含有该0频率分量。,73/117,2019/10/31,2. 随机信号的功率及功率谱密度,(1) 随机信号的样本功率及样本功率谱密度,截断函数,r.s. 的一个样本函数 即一个确定的时间信号（功率型）,74/117,2019/10/31,功率时域描述,功率频域描述,样本平均功率,是 的函数，是r.v.,75/117,2019/10/31,样本功率谱密度,是 的函数，是 的函数，是r.s.,76/117,2019/10/31,(2) 随机信号的平均功率及平均功率谱密度,对样本功率取统计平均 随机信号的平均功率,对样本功率谱取统计平均 随机信号的平均功率谱,77/117,2019/10/31,随机信号的平均功率与相关函数的关系,x(t) 广义平稳时,证明：,78/117,2019/10/31,随机信号的平均功率与平均功率谱的关系,证：,总之（平稳信号）：,79/117,2019/10/31,定理3.4 （维纳 - 辛钦定理） 平稳信号 x(t),tt 的功率谱是其自相关函数的傅里叶变换，即,功率谱密度 psd - power spectral density,3.4.2 定义与性质,1. 功率谱密度,反变换,正变换,80/117,2019/10/31,性质1. 随机信号x(t)的功率谱 满足,(1) ，非负实函数,sx() 含有 x(t) 的幅度信息，不含相位信息,(2) 若x(t)为实wss.r.s. , 则,81/117,2019/10/31,双边功率谱密度与单边功率谱密度,双边功率谱密度,单边功率谱密度,物理功率谱密度,82/117,2019/10/31,例3.8 求正弦信号 的功率谱,解：x(t)均值为0,相关函数为,瑞利分布随机幅度，随机相位,x(t)为广义平稳信号,可见它是正的实偶函数，信号的功率全部集中在频率 处,83/117,2019/10/31,说明：与确定信号不同的是，随机信号的频域分析主要是考察它的功率谱，而非信号谱。,考虑,84/117,2019/10/31,相位的不确定性，使 的傅里叶变换是随机的，,虽然损失了相位特性，但有效地给出信号成份的分布。,易见，它的统计平均为零。而 的功率谱为，,85/117,2019/10/31,例3.9 已知wss随机信号的功率谱为,，求自相关函数和均方值。,解：首先进行分解，,均方值为,平均功率,86/117,2019/10/31,例：判断下列式子能否作为实 r.s.x(t) 的功率谱,解：1）,当 时， ，故不能。,2）是,判断准则：非负的、实的、偶的,87/117,2019/10/31,定义3.8 ：联合平稳信号x(t)与y(t)的互功率谱定义为其互相关函数的傅里叶变换，即,物理意义：如果 很大，表明两个r.s.的相应频率分量关联度很高；如果 表明其相应频率分量是正交的。,2. 互功率谱密度,它们简称为互功率谱（cross power spectral density）,88/117,2019/10/31,性质2 互功率谱具有对称性：,1) 两种互功率谱的实部相同，而虚部反号； 2) 实信号的互相关函数为实函数，因此，互功率谱的实部都是偶函数，虚部都是奇函数。,89/117,2019/10/31,例3.10 讨论（加性）单频干扰 。若实平稳随机信号 x(t) 受到加性的独立随机正弦分量 z(t) 的干扰，已知 a，0 为常数，是在 0,2) 上均匀分布的随机变量。试求： (1) 受扰后的信号 y(t) 的相关函数 ry(t +, t) ; (2) 信号 x(t)，y(t) 是否联合平稳？ 如果是，求 sy()，sxy(),90/117,2019/10/31,由于x(t)与z(t)独立，z(t)是0均值，因此它们也正交,对于 ，,y(t) 也是平稳的,解：首先， ,正交性使得交叉项为零。,91/117,2019/10/31,通过傅里叶变换可得，,信号 x(t)，y(t) 是联合平稳的,作业：3.19 3.21 3.23 3.25 3.26,92/117,2019/10/31,噪声：对信号和系统功能起干扰作用的随机信号。,噪声按其功率谱密度可划分为：,3.5 白噪声与热噪声,3.5.1 白噪声,93/117,2019/10/31,其中：,1. 白噪声,定义3.9 若wss.r.s. ，其功率谱密度 在整个频率范围内为一个非零常数，则称 为（平稳）白噪声信号。简称白噪声或白信号。,正实常数，单边功率谱,双边功率谱,94/117,2019/10/31,白噪声通常总是零均值的，因此，,白噪声有时也通俗地称为“纯随机的”： 1) 无限带宽的理想随机信号， 2) 功率（即方差）为无穷大， 3) 而不同时刻上彼此不相关，正交,95/117,2019/10/31,说明： （1） 实际r.s.在非常邻近的两个时刻的状态总有一定关联性，故其相关函数不可能为严格的 函数。,（2） 工程上，当信号带宽 系统带宽，且信号功率谱在系统通频带内及通频带附近基本恒定，就认为该信号是白噪声。,且实际信号功率总是有限的，带宽也是有限的。白噪声只是一种理想的数学模型。,热噪声,96/117,2019/10/31,若白噪声的每个随机变量都服从高斯分布，则称它为高斯白噪声（wgn, white gaussian noise）。它也是独立信号，代表着信号“随机性”的一种极限。,如果序列，恒有，,则称它是白噪声序列。高斯白噪声序列是独立序列，利用独立性，很容易写出它的任意阶密度函数。,或,高斯白噪声在不同时刻上的随机变量彼此不相关，正交，独立,97/117,2019/10/31,定义：若r.s. 功率谱密度 在频带内不为 常数，则称 为色噪声。,即： 是 的函数。,2. 色噪声,如,98/117,2019/10/31,例3.11 方差为 的高斯白序列 。试求：（1）相关函数与协方差函数；（2）k维密度函数。,解：,也是同分布的独立信号。于是，,99/117,2019/10/31,3.6 应用举例,例3.13 讨论随机正弦信号的广义平稳条件。,变量a的均值为 , 方差为 , 的特征函数为 , 与a统计独立。,解：计算均值与自相关函数。首先,100/117,2019/10/31,当且仅当 时， （常数）。,101/117,2019/10/31,当且仅当 时，上式等于0。,102/