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三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法,5 三重积分,问题的提出,设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z ),求立体 V 的质量 M,为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、,求和、取极限四个步骤.,首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积,记为,一、三重积分的概念,其次在每个小块 Vi 上任取一点,则 Vi 的质量,然后对每个小块 Vi 的质量求和：,最后，取极限,其中,定义 1,设 f ( x, y, z ) 为定义在三维空间可求体积,区域 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积记为,的有界区域 V 上的有界函数, 把 V 任意地分成 n 个小,记,在每个小块 Vi 上任取一点,若极限,存在，则称 f ( x, y, z ) 在 V 上可积，并称此极限为,f ( x, y, z ) 在 V 上的三重积分，记为,或,三重积分具有与二重积分相似可积条件和有关的性质.,例如,V 的体积,设 f ( x, y, z ) 在长方体,上连续，则,二、化三重积分为累次积分,设,则,其中V 为三个坐标,例. 计算,所围成的闭区域 .,解,面及平面,例1,计算,其中 V 为由平面 x = 1, x = 2, z = 0,y = x, z = y 所围的区域.,解,若 V 可以表示为：,则三重积分可采用先在区域 Dz 上计算二重积分，,再计算一个定积分的方法来计算,例. 计算,解:,其中 V 是椭球体,例3,计算,其中 V 是椭球体,解,三、三重积分换元法,1、柱面坐标变换,坐标面分别为,圆柱面,半平面,垂直于轴 z 的平面,其中 V 为由,例. 计算,解: 作柱面坐标变换,及平面,柱面,所围成半圆柱体.,坐标面分别为,2. 球坐标变换,例. 计算,解,所围立体.,其中 V 为锥面,与球面,在球面坐标系下,例. 计算,解,所围立体.,其中 V 为锥面,与平面,解,解,若平面区域 D 关于 x 轴对称，则下列积分的值为零,若平面区域 D 关于 y 轴对称，则下列积分的值为零,例如，若 D 是以原点为圆心的圆，则,进一步，对于变量的奇、偶函数， 可得到与定积分类似的性质.,若空间区域 V 关于 xy 平面对称，则有：,若空间区域 V 关于 xz 平面对称，则有：,若空间区域 V 关于 yz 平面对称，则有：,例如，若 V 是以原点为球心的球体，则,立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 V 的立体的体积为,例4 求由圆锥体,和球体,所
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