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1,罗明,7 非正弦周期电流电路,2,本章知识要点： 非正弦周期信号; 周期信号的傅里叶级数展开; 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路中的功率 周期性信号的频谱 低通、高通滤波器,3,7.1 非正弦周期信号,7.1.1 非正弦周期信号,我们已经知道，在工程实践中所遇到的大多是非正弦周期性信号，即使是交流电源，也或多或少与正弦波形有些差别。图7-1所示是几种常见的非正弦周期性信号的波形。,图7-1 非正弦周期信号波形,4,(7-1),信号的周期性，是指每隔一个周期时间，信号的函数便重复一次，即函数 满足下式的关系：,式中k是整数，t是函数的周期。,7.1.2 信号的对称性,了解函数的对称性将对后续的分析计算有帮助。,5,图7-2 函数的对称性,6,1偶函数，纵轴对称,若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足下式的函数关系：,(7-2),则 是偶函数。例如函数 、 以及图7-2（a）所示波形都是偶函数。,图7-2 函数的对称性(a),7,2奇函数，原点对称,若信号波形相对于纵轴是反对称的，即满足下式的函数关系：,(7-4),图7-2 函数的对称性(b),8,3奇谐函数，横轴对称(镜对称）,后半周是前半周的上下反转，即满足下式函数关系：,(7-6),则 是奇谐函数。例如函数 、 以及图7-2（c）所示波形是奇谐函数。,图7-2 函数的对称性(c),奇谐函数的特征是在一个周期内的前半周后移半个周期后，,9,4奇谐偶函数，纵轴对称同时横轴对称,若信号既是偶函数又是奇谐函数，即同时满足下面两个函数关系：,(7-8),称 是奇谐偶函数。例如函数 以及图7-2（d）所示波形是奇谐偶函数。,图7-2 函数的对称性(d),10,5奇谐奇函数，原点对称同时横轴对称,若信号既是奇函数又是奇谐函数，即同时满足下面两个函数关系：,(7-10),称 是奇谐奇函数。例如函数 以及图7-2（e）所示波形是奇谐奇函数。,图7-2 函数的对称性(e),11,7.2 周期信号的傅里叶级数展开,7.2.1 傅里叶分析,（1）在一个周期内连续或只存在有限个间断点；,（2）在一个周期内只有有限个极大值或极小值；,（3）在一个周期内函数绝对可积，即积分 为有限值。,12,该傅里叶级数为：,(7-12),(7-13a),(7-13b),(7-13c),13,根据三角函数公式，式(7-12)中的同频率正弦项和余弦项（方括弧内的两项）可以合并，合并后的傅里叶级数的另一种形式为：,上式中的系数与式(7-12)的系数关系如下：,14,对式(7-14)的各项作如下的说明：,（1）常数项 是 的直流分量（或恒定分量），又称为零次谐波，它的大小是 在一个周期内的平均值。 （2） 项是 的1次谐波，又称为基波分量，与 有同样的频率。 （3） 项是 的2次谐波分量，频率是 的2倍。 （4）依此类推，其它项分别是3次、4次、k次谐波分量。 （5）2次及2次以上的分量通称为高次谐波。 （6）k为奇数的分量称为奇次谐波，k为偶数的分量称为偶次谐波。,15,式(7-14)所列傅里叶级数采用正弦三角函数形式，傅里叶级数也可以用余弦三角函数形式表示：,(7-16),上式中的系数与式(7-12)的系数关系如下：,将周期函数展开为一系列谐波之和的傅里叶级数称为谐波分析或傅里叶分析。,16,例7.1 试将图7-4所示周期性矩形波信号展开为傅里叶级数。,图7-4 矩形波,下面按照式(7-13)计算傅里叶系数：,解法一：,17,k为奇数 k为偶数,于是按照式(7-12)求得傅里叶级数：,式中 。上式说明该矩形波只含有直流分量和奇次谐波正弦分量。,18,上一节介绍了函数对称性的性质，利用对称性质，在计算傅里叶系数 、 、 时，如果波形函数具有对称性，则可以简化积分的计算。,表7-1列出了几个简化规则。,表7-1 函数的对称性与傅里叶系数的关系,19,表7-1 函数的对称性与傅里叶系数的关系,20,所以：,将波形适当地进行变换，使它具有对称性，可以令傅里叶分析变得简单些。,图7-5 图7-4下移后的矩形波,是奇谐奇函数,例7.1(解法二）,21,例7-2 试将图7-6所示半波整流波形展开成傅里叶级数。（不讲）,图7-6 半波整流波形,根据对称性，,22,上式中，当 时,当 时,k为奇数时,k为偶数时：,求得傅里叶级数：,23,偶对称的半波整流波形含有直流分量、基波及偶次谐波余弦分量。 为了应用方便，表7-2列出了常见周期信号的傅里叶级数，以便查找。,24,表7-2 常见周期信号傅里叶级数,25,26,（资料来源：邱关源. 电路. 第4版. 北京：高等教育出版社，1999. ）,27,7.2.2 周期信号的合成,在工程计算上，只取级数的前几项便可以近似地表达原周期函数。,如表7-3所示。对于例7-1设 ， ，计算 时的求和结果；对于例7-2计算 时的求和结果。,例7-1图,例7-2图,28,表7-3 取不同谐波次数傅里叶级数求和结果与误差,0.9981 0.19%,1.0026 0.26%,0.9962 0.38%,1.0063 0.63%,0.9881 1.19%,1.0226 2.26%,0.9737 2.63%,1.0315 3.15%,0.9608 3.92%,1.0517 5.17%,取13次,取11次,取9次,取7次,取5次,求和结果、误差值,级数,29,取的谐波项数越多，合成的波形越接近原矩形波。如果取无穷项谐波合成，可以准确得到原来的波形。,图7-7 谐波合成示意图,30,7.3 有效值、平均值,7.3.1 有效值,在正弦电流电路分析的章节中，定义正弦周期信号的有效值为该信号的均方根值，即平方的平均值的平方根。对于非正弦周期信号，它的有效值仍采用这个定义。以电流为例，任意一周期电流i的有效值i定义为,(7-18),可以用上式直接对周期函数计算它的有效值。,周期电流的有效值与直流分量和各次谐波有效值有什么关系呢？,31,将周期电流i展开成傅里叶级数形式,(7-18)续,周期电流的有效值等于直流分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。,32,7.3.2 平均值,即周期电流的平均值等于该电流绝对值的平均值，有时称之为绝对平均值。（意义：全波整流波形的平均值。）,注意，取绝对值后计算平均值与直接计算平均值，一般情况下两者的结果是不一样的。例如正弦电流的直接平均值（意义：即直流分量）为零。,而它的绝对平均值,正弦电流取绝对值相当于电流全波整流，全波整流的平均值等于正弦电流有效值的0.9倍。,33,例7-3 已知某周期电流信号为,试计算该电流信号的有效值i。,周期电流i的有效值为,34,7.4 非正弦周期电流电路中的功率,在一个非正弦周期电流电路中，任意一个端口（或一条支路）的平均功率（即有功功率）p，定义为在一个周期内它的瞬时功率p的（直接）平均值,(7-23),瞬时功率p仍然是电压u、电流i的乘积。,设u、i取关联参考方向，将u、i展开成傅里叶级数，瞬时功率,35,对上式取平均值，第一项直流功率：,第二项k次谐波交流功率：,其它三项的平均值都为零。因为第三、四项是正弦函数，一周期的平均值为零。第五项是不同频率正弦函数的乘积，由于正交性，它的平均值也为零。,36,于是，总平均功率为,(7-24),非正弦周期电流电路的平均功率等于直流分量的功率和各次谐波平均功率的代数和。,(7-25),37,解：先将电流和电压改写成如式(7-14)的标准形式,计算电流有效值：,计算电压有效值：,38,计算平均功率：,与正弦交流电路一样，非正弦周期电流电路的视在功率定义为电压、电流有效值的乘积：,(7-26),所以，例中电路支路的视在功率为,对于非正弦周期电流电路无功功率，这里不作讨论。,39,7.5 非正弦周期电流电路的计算,本章中，我们将非正弦周期电源，分解成为直流分量和无穷多个不同频率的正弦交流分量的和，应用叠加定理来分析电路中的电压和电流。对直流电源，用直流电路分析方法；对交流电源，用相量法分析正弦稳态响应。,40,非正弦周期电流电路分析的具体步骤：,（1）将非正弦周期信号（或电源）展开为傅里叶级数，根据精度需要，截取合适的谐波项数，例如保留到5次谐波，并将傅里叶级数转换为标准形式。,（2）如果存在直流分量，做直流分析。将电路改画为直流电路，对原电路中的电容开路，电感短路。然后计算所求支路的直流电压、电流和功率。,（3）对各次谐波用相量法做正弦稳态分析。计算所求支路的电压、电流相量和功率，再把电压、电流相量还原为瞬时值表达式。,41,（4）应用叠加定理，将（2）和（3）步骤中的计算结果相加，即得到所求支路电压、电流和功率的最后结果。注意：电压、电流的叠加应是瞬时值表达式的叠加。,图7-8 例7-4图,42,解：,直流分析：将电路改画为图（b）的形式，其中原电路的电感被短路，电路中直流电源为 。支路直流电流和功率分别为,1次谐波分析：将电路改画为图（c）的形式，电源相量为 ，电感的感抗为 。支路电流相量、平均功率分别计算如下：,43,3次谐波分析：电路图如图（c）所示，此时电源相量为 ，电感的感抗为 。支路电流相量、平均功率计算如下：,叠加：将电流相量改写成瞬时值形式后叠加。支路电流、电流有效值和平均功率分别如下计算：,44,例7-6 电路如图7-9（a）所示， ， ，电流源信号波形如图（b）所示。试计算电容电压 的稳态响应，计算电流源发出的平均功率 。,图7-9 例7-5图,解：首先将非正弦周期性电流源 分解为傅里叶级数。从图（b）知，周期 s， rad/s。,可知：,直流分析：直流分析时电容相当于开路，电容支路没有电流流过。直流电流源为 ，电容电压和电流源功率分别为,（见例7-1）,45,谐波分析：先写出电容电压的幅值相量表达式,式中k是谐波次数， 是电流源k次谐波电流幅值相量。根据傅里叶级数，电流源1、3、5次谐波幅值相量为,所以，电容电压的1、3、5次谐波幅值相量为,（图7-9续）,46,叠加，电容电压瞬时值表达式为,电流源发出的功率为,47,电流源发出的功率也是电阻r上消耗的平均功率，可以通过计算电阻的电压有效值来求得，即：,（续前）,（续前）,48,7.6 周期性信号的频谱,7.6.1 三角形式傅里叶级数与频谱,从本章第2节知道，周期性信号有三种三角形式的傅里叶展开式。再分析式(7-13)、式(7-15)和式(7-17)，可以看出：直流分量、正弦、余弦各分量的幅度值 、 、 及各初相位 、 ，它们都是离散频率 的函数。这样，对周期性信号，除了用数学表达式来描述傅里叶分解的结果外，还可以用图形的形式更清楚、更直观地加以描述。,将幅度 对 的关系，初相位 对 的关系分别绘制成图形（这里采用的是式(7-16)的余弦三角函数傅立叶级数形式，而不是式(7-14)的正弦三角函数傅立叶级数形式），如图7-10所示。这两个图形都是由离散的线段（称为谱线）组成，谱线分布在基频 的整数倍频率点上。,49,图7-10 周期信号频谱,对 的关系图形称为周期信号的幅度频谱，简称幅度谱。,对 的关系图形称为周期信号的相位频谱，简称相位谱。,由于我们更关心各分量的大小，而不太注重它们的初相位，我们说一个信号的频谱一般是指它的幅度谱。,50,解：将傅里叶级数展开式表示为余弦三角函数形式,观察级数， 是直流分量的幅度，余弦函数的系数是基波和各奇次谐波的幅度，所有分量的初相位值均为 。画出的频谱图如图7-11所示。,图7-11 矩形波的频谱,51,例7-8 已知例7-2的半波整流波形为偶函数，试画出它的频谱图。,解：从例7-2已经知道半波整流波形的傅立叶展开式为,画出幅度谱、相位谱分别如图7-12（a）、（b）所示。,图7-12 半波整流波形的频谱,52,7.6.2 指数形式傅里叶级数与频谱,欧拉公式是三角函数与指数函数的之间的关系,根据欧拉公式，三角形式傅里叶级数(式7-12)中的正弦、余弦式都可以转化为指数形式,这样，式(7-12)表示为,(7-27),53,可知,再将 和 代入到式(7-27)，得到,再令,考虑到,54,其中,式中 。,式(7-28)为 的指数形式傅里叶级数，式(7-29)为指数形式傅里叶级数的复数系数。,与三角形式傅立叶系数式(7-17)比较，三角形式与指数形式级数的系数间存在如下关系：,55,(7-30a),(7-30c),(7-30b),(7-30d),(7-30e),(7-30f),(7-30g),56,指数形式傅里叶级数与三角形式傅里叶级数在本质上是一致的，指数形式更为简洁。但需要注意的是：,（1） 是t的实函数，它的傅里叶级数也应是实函数。除了 项外，任何单独的一项 都不是 的谐波项（因为它是复数形式），它只是数学推导的结果。,（2）指数形式傅里叶级数中出现了负频率项，显然负频率是不合理的。只有一个正频率项和同频率的负频率项共同组成一个谐波项,复系数 也是离散频率 的函数，与三角形式傅里叶级数的频谱一样，同样也可以用图形的形式来表示指数形式傅里叶级数所表示的信号的频谱。,57,由于 一般是复函数，这样，画出来的频谱称为复数频谱。由于,当复系数 为实函数时， 的结果可以是正实数，也可以是负实数。由于幅值始终是正值，说明当 为正时初相位是0，当 为负时初相位是 （或 ）。这样可以把幅度谱和相位谱合在一张图上，如图7-13（c）所示。谱线在横轴上方表示初相为0，谱线在横轴下方表示初相为 （或 ）。,58,图7-13 周期信号的复数频谱,在三角形式 的幅度谱中，谱线是一条高度为 的线段。,在指数形式 的幅度谱中，谱线是两条对称与纵轴、高度为 的线段，分别在 和 频率处。可见复数频谱是双边频谱，对应地把三角形式的频谱称为单边频谱。,59,在两种幅度谱中， 的谱线都是一样的。,从式(7-30b)式(7-30c)知，复数相位频谱中正频率部分与单边谱的相位频谱一样，负频率部分与正频率部分以坐标原点对称。,由于复数频谱的对称性，实际应用中，常常只画出正频率部分的频谱。,通过上面的分析可以知道：如果已知其中一种形式的频谱，则可以画出另一种形式的频谱图。,解：将信号 改写成标准形式,60,根据上式画出 的单边幅度频谱和相位频谱，如图7-14（a）、（b）。,再由单边频谱画出复数频谱如图（c）、（d）所示。图（c）中， 处谱线与单边频谱一样，其它谱线的高度则是单边频谱的一半，但有左右对称的两条。图（d）中，右半平面的相位谱与单边频谱一样，左半平面的相位谱是右半平面相位谱旋转180的结果。,61,图7-14 例7-9的频谱图,总之，周期信号的频谱具有以下特性：,（1）离散性：谱线是离散的而不是连续的，谱线间隔为 。也就是周期信号的频谱是离散谱。 （2）谐波性：谱线在频率轴上的位置，在基频 的整数倍处。 （3）收敛性：随着频率的增长，各谱线高度的总趋势是逐渐衰减的。尽管谱线高度的变化可能有起有伏，但谱线包络线的最大值总是随频率增长而减小的。,62,7.7 低通、高通滤波器,电路中，电容c、电感l的阻抗大小与通过它的电流的频率有关。如果电流的角频率为，则它们的阻抗分别为,如果通过的是直流信号，其频率为0，这时电容的阻抗是无穷大，在电路中呈开路状态；而电感的阻抗是0，在电路中呈短路状态。,对于含有各次谐波的周期信号，谐波频率越高，电容呈现的阻抗越小，电感呈现的阻抗越大。反之，谐波频率越低，电容呈现的阻抗越大，电感呈现的阻抗越小。这样，在电路中电容对低频电流有阻碍作用，对高频电流有分流作用。而电感的情形正好相反。,63,电容和电感对信号中各次谐波反应不同的这种性质在工程上有广泛的应用，本节介绍的低通和高通滤波器就是其典型的应用。,滤波器是接在输入和输出之间的一种电路，由电容、电感与电阻组成，它允许部分频率分量从输入传输到输出，而抑制部分频率分量传输到输出。,7.7.1 低通滤波器,图7-15 rc低通滤波器,如图7-15所示由电阻r和电容c串联组成的电路，以电容电压 作为输出，这是一个典型的低通滤波器。,对于信号中的谐波成分，输出