压杆稳定教学课件PPT.ppt

第 9 章 压杆稳定,9.1 压杆稳定的概念,一根宽30 mm，厚5 mm的矩形截面松木杆，对其施加轴向压力， 如图。设材料的抗压强度sc40 mpa，当杆很短时(设高为30 mm)，由计算可知，将杆压坏所需的压力为,9.1 压杆稳定的概念,压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡的现象，称为丧失稳定，简称失稳。,但如杆长为 l m，则不到 30 n的压力，杆就会突然产生显著的弯曲变形而失去工作能力。,补充 压杆稳定研究简史,大约从六七千年前，我国从新石器时代开始的房屋，营建方式主要有两种：,（一）,一种是长江流域多水地区的干阑式建筑(所谓干阑式建筑，即体量较大，下屋架空，上层铺木板作居住用的房屋);,另一种是黄河流域的木骨泥强房屋。这两种营建方式都离不开柱子。,补充 压杆稳定研究简史,浙江余姚河姆渡新石器文化遗址的木构榫卯,几千年来，柱子大多采用圆形和各种正多边形的截面，尤其值得一提的是“拼合柱”。,除了房屋的柱子，古代的兵器也采用了各种合理的截面形状。,古希腊人在建造神殿时，采用了仿生学的方法来确定柱子的尺寸。 他们测量男人的足印，发现足的尺寸大约是身高的1/6。于是他们把这个比例用到了柱子上。,补充 压杆稳定研究简史,西方文艺复兴以来，人们逐渐开始用实验和理论分析的方法研究柱的承载能力问题。,(二),leonardo da vinci（a.d. 1452-1519)做过一些开拓性的工作。他认为：高度一定的柱的承载能力与其直径的立方(？)成正比。,补充 压杆稳定研究简史,继euler之后, j-l.lagrange在1770-1773年有关柱的形状的论文中，得出了两端铰支的压杆承载力公式。,1846年, e.lamarle在关于木材弯曲的研究报告中，讨论了euler公式的适用范围问题。,一端固定、一端自由的压杆承载力公式是l.euler在1744出版的一本有关变分法的专著指出的，但当时他得到的结果是错误的。直到1757年出版关于柱的承载力的著作时，他才纠正了自己的错误。,补充 压杆稳定研究简史,在很长一段时期内，euler和lagrange得出的公式并未受到工程上的重视和广泛应用，这与当时采用的柱体结构大都短和粗有关。,（三）,但进入19世纪末和20世纪初，由于压杆失稳引起的破坏事故出现了不少：,20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（theodore cooper）在圣劳伦斯河上建造魁北克大桥(quebec bridge)。1907年8月29日，发生稳定性破坏，75位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一。,案 例 1,案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人。,2000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人。,所以研究压杆稳定性问题非常重要,案 例 3,中心受压直杆(理想压杆)：杆由均质材料制成, 轴线为直线, 外力的作用线与压杆轴线重合。(不存在压杆弯曲的初始因素),研究方法： 在分析中心受压直杆时, 当压杆承受轴向压力后, 假想地在杆上施加一微小的横向力, 使杆发生弯曲变形, 然后撤去横向力。,而要准确了解压杆的失稳问题，必须首先弄清楚平衡的分类问题。,9.1 压杆稳定的概念,平衡的分类,稳定平衡: 经微小干扰后能回到原来位置的平衡;,不稳定平衡: 经微小干扰后不能回到原来位置的平衡;,平衡的分类,随意平衡: 经微小干扰后可以在一个比较随意的位置平衡。,平衡的分类,研究方法,以一根下端固定、上端自由的细长理想直杆为例，在上端严格沿轴线施加压力f，则无论压力多大，在直线形状下总是满足静力平衡条件的。,然而该平衡状态视其压力的大小，却有稳定与不稳定之分，这可以通过对其施加一横向干扰产生微弯，然后撤除来加以判断。,9.1 压杆稳定的概念,实验发现，当压力f不超过某一临界值fcr时，撤除干扰仍能复原，表明原有的直线平衡状态是稳定的；,但若压力超过临界值fcr，撤除干扰后， 将只能在一定弯曲变形程度下平衡， 甚至弯折而不恢复原状，表明原有的直线平衡状态是不稳定的。,ffcr,ffcr,可知：当压力逐渐增加到某一极限值时，压杆的直线平衡变为不稳定，若再有微小的横向干扰力使其发生轻微弯曲，干扰力解除后，它将不能恢复原有的直线形状，而保持其曲线形状的平衡。上述压力的极限值称为临界压力，记为fcr。,9.1 压杆稳定的概念,稳定设计问题实例,9.2 细长中心受压直杆的临界力,两端球形铰支、长度为l的等截面细长中心受压直杆在临界力作用下将在微弯形态下维持平衡。,设任一x截面沿y方向的挠度为w，该截面上的弯矩为,9.2.1 两端铰支压杆的临界力,9.2.1 两端铰支压杆的临界力,杆的挠曲线近似微分方程为,令,则上式变为二阶常系数齐次线性微分方程,9.2.1 两端铰支压杆的临界力,其通解为,a、b、k三个待定常数由杆的边界条件确定。,得:,xl, w0,如果a0，则压杆的轴线并非微弯的挠曲线。欲使压杆在微弯形态下维持平衡，必须有,9.2.1 两端铰支压杆的临界力,其最小解为n1,即得:,这就是两端球形铰支(简称两端铰支)等截面细长中心受压直杆临界力fcr的计算公式。称为欧拉公式。,从公式可以看出，临界力fcr与杆的抗弯刚度ei成正比，而与杆长l 的平方成反比。这就是说，杆愈细长，其临界力愈小，即愈容易丧失稳定。,可见挠曲线为半波正弦曲线。,在klp 时,9.2.1 两端铰支压杆的临界力,式中a无法确定，原因是在推导过程中使用了挠曲线的近似微分方程。,如采用挠曲线的精确微分方程求解，则得f-d (d为中点挠度)曲线如图中ac所示。这种f-d曲线称为压杆的平衡路径，它清楚显示了压杆的稳定性及失稳后的特性。,9.2.1 两端铰支压杆的临界力,当ffcr，压杆只有一条平衡路径oa，即直线形状下的平衡是稳定的。,h,实际压杆难免有初弯曲、压力偏心、材料不均匀等情况。可以设想，这些缺陷相当于压力有一个偏心距e，这就使压杆很早就出现弯曲变形。所以，实验结果略如图中曲线ofg所示，其中of段上的平衡状态是稳定的，而下降路径fg段上任一点的平衡是不稳定的，折线oab可看作是它的极限情况。,h,9.2.1 两端铰支压杆的临界力,9.2.2 其它约束条件下细长压杆的临界力,压杆两端除为铰支座外，还可能有其它情况。,千斤顶螺杆就是一根压杆, 其下端可简化成固定端, 而上端因可与顶起的重物共同作微小的位移, 所以简化成自由端。这样就成为下端固定、上端自由的压杆。,对这类细长杆, 计算临界压力的公式可以用与上节相同的方法导出, 但也可以用比较简单的方法求出。,m 为压杆的长度因数，与杆端的约束情况有关。,对于各种杆端约束情况，细长中心受压等直杆临界力的欧拉公式可写成统一的形式：,ml 称为原压杆的相当长度。,注意: 若杆端在各个方向的约束情况相同(如球形铰等)，则 i 应取最小的惯性矩。,9.2.2 其它约束条件下细长压杆的临界力,各种支承条件下等截面细长压杆临界力欧拉公式,例9-1: 试求图示细长松木压杆的临界力。已知弹性模量e9 gpa, 矩形截面的尺寸为：b3 cm, h=0.5 cm, 杆长l1 m。(两端可简化为铰支),解：先计算横截面的惯性矩,杆的两端可简化为铰支，可得其临界力为,由此可知， 若轴向压力达到27.8n时， 此杆就会丧失稳定。,例: 一下端固定、上端自由并在自由端受轴向压力作用的等直细长压杆, 杆长为l。在临界力作用下, 杆失稳时有可能在xy平面内维持微弯状态下的平衡, 其弯曲刚度为ei。试推导其临界力fcr的欧拉公式, 并求压杆的挠曲线方程。,解：根据杆端约束情况, 杆在临界力fcr作用下的挠曲线形状如图所示。最大挠度d发生在杆的自由端。由临界力引起的杆任意x横截