类比推理.PPT

第二章 推理与证明,2.1合情推理与演绎推理,结论2：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和！,歌德巴赫猜想:,问题1：观察以下等式，你能得到什么结论？ 3+3=6，3+5=8，3+7=10，5+7=12，11+89=100,结论1：任何两个奇质数的和等于偶数！,问题2：观察以下等式，你能得到什么结论？ 6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，100=11+89,哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)是世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个质数（只能被1和它本身整除的数）之和。如633，1257等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。,1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法，得出了一个结论：每一个比较大的偶数都可以表示为九个质数的积加上九个质数的积，简称9+9。,目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理(Chens Theorem) “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和， 而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果 为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。,有许多数学家认为，要想证明“11”，必须通过创造 新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。,归纳推理,由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).,你能举出归纳推理的例子吗?,每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域着上不同色.,四色猜想,1852年，英国人弗南西斯格思里为地图着色时，发现了四色猜想.,1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算机上，用了1200个小时，完成了四色猜想的证明.,十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图所示。由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。 这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。欧拉从千百人次的失败中，以深邃的洞察力大胆地猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。,一个新的数学分支图论,哥尼斯堡七桥问题,牛顿发现万有引力 门捷列夫发现元素周期律,应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!,归纳推理是科学发现的重要途径!,歌德巴赫猜想 四色定理,归纳推理的一般模式:,S1具有P,S2具有P,Sn具有P,(S1,S2,Sn是A类事物的对象）,所以A类事物具有P,新的例子：【鲁班发明锯的故事】据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.,鲁班的思路是这样的：,茅草是齿形的；,茅草能割破手.,我需要一种能割断木头的工具；,它也可以是齿形的.,能概括一下鲁班发明锯子的推理过程吗？,（旧事物的特征）,（新事物的特征）,新的例子：火星上是否有生命？,可能有生命存在,有生命存在,大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,温度适合生物的生存,一年中有四季的变更,一年中有四季的变更,有大气层,有大气层,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,火 星,地 球,上述推理是归纳推理吗？（步骤）,类比推理,定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)。,类比推理的一般模式:,所以B类事物可能具有性质d（d是与d相似或相同）.,A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与a,b,c相似或相同）,“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。 ” -波利亚,“我珍视类比胜过任何的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。” -开普勒,圆 球 弦截面圆 直径大圆 周长表面积 面积体积,例1:,思考：平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象,构成几何体的元素数目：三角形 四面体,空间上，最简单的多面体是什么几何体？,3个面两两垂直的四面体,4个面的面积S1，S2，S3和S,3个边的长度a，b，c,2条直角边a，b和1条斜边c,AOBBOCAOC90,3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S,C90,s1,s2,s3,c2=a2+b2,S2 =S12+S22+S32,猜想:,例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想,例3、平面中的余弦定理,空间中的余弦定理,设二面角B-AO-C，C-BO-A，A-CO-B，O-BC-A，O-AC-B，O-AB-C的大小依次为：,猜想：,例4：根据实数加法的运算性质猜想（推理）实数乘法相似的运算性质：,若,，则,若,，则,数学中还有许多集合具有这4条运算性质。法国天才的数学家伽罗瓦（Galois，1811-1832）提出了“群”的概念，用来表示具有这种运算性质的集合。,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它统称为合情推理。,归纳推理和类比推理有什么共同点？,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,提出猜想,从具体问题出发,检验猜想,小结：,归纳推理：是一种由特殊的、具体的已知的结论，推出一般的、普遍的结论，是一种由部分到全体、由“特殊”到“一般”的推理过程。 类比推理：是通过类比两类（或几类）相似的对象，由其中一类对象的已知的结论，推出另一类对象也有这样的结论，是一种由“一般”到“一般”的推理过程。,猜想：,费马猜想,传说在古老的印度，有一座神庙，据说它是宇宙的中心。神庙中央放置了三根长木钉，在其中的一根木钉上，由上至下放置了64片直径由小至大的圆环形金属片。古印度教的天神指示他的僧侶们通过这三根木钉按以下规则将金属片进行移动： 1. 在每次只能移动一片金属片； 2. 在不移动的时候，金属片不能离开长木钉； 3. 过程中必須保证金属片小的在上，大的在下。 直到有那么一天，僧侶们把这64片的金属片依规则从指定的木钉上全部移至另一根木钉上时，世界末日即随之来到，世间的一切终将被毀灭！,神秘的传说,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=2时,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,归纳:,假设移动一次金属片需要1秒钟，则至少需要 （秒） 1844 6744 0737 0955 1615 秒 约为5833 3485 8456年 (1年365246060秒3153 6000秒) 也就是5833亿年！,“合情推理是冒险的、有争议的和暂时的。”“要想成为一个好的数学家，.，你必须首先成为一个好的猜想家。” -波利亚 “没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。” -牛顿,8,9,10,11 ,4,5,6,7,探究活动:n个连续自然数按规律排成下表,根据规律,从2008到2010,箭头的方向依次为( ),归纳推理的基础,归纳推理的作用,归纳推理,观察、分析,发现新事实、猜想新结论,由部分到整体、