在数学分析中作辅助函数解题江婧.pdf

2 O O 6年 8月 第 5卷第 3期 重庆 文理学 院学报 ( 自然科学版 ) J o u rna l o f C h o n g q i n g u I I i v e 耐t y o f A r t s a S c i e n c e s( N a t u r e S c i e n c e s E d i t i o n ) Au g ， 2 O O 6 V0 1 5 No 3 在数学分析中作辅助函数解题 江婧 ， 田芯安 ( 1 重庆文理学院数学与计算机科学系。 重庆永川4 0 2 1 6 8 ； 2 重庆文理学院现代教育技术中心， 重庆永川4 0 2 1 6 8 ) 摘要 以实例论述了辅助函数在数学分析 中的应用， 以及构作辅助函数的 7种方法 关键词 辅助函数； 构造 ； 中值定理 ； 函数性质 中图分类号 o 1 7 2 1 文献标识码】 A 文章编- 1 6 7 1 7 5 3 8 ( 2 0 0 6 ) 0 3 0 0 1 7 0 5 奴 字 分 是 商 寺 阮 枚 甄 字 专 业 明 王 十 课 Z 一 ， 征 甄 字 分 研 甲 ， 尢 是 埋 论 让 明 硷 是 运 用 ， 通 辽 嗣 建辅助函数 ， 往往能使问题得到简化 下 面通过一些典型的题例说明辅助函数在数学分析 中的广泛 应用， 并从如何构建辅助函数等方面进行一些探讨 1 辅助函数在数学分析中的应用 1 1 辅助函数在证明等式中的应用 证明等式是数学分析的重要内容之一， 根据等式特征引入辅助函数， 将大大简化证明过程 例 迁 明 J - 2 + ) 字= J-1。 + ) 譬 c 口 0 ， 分析： 观看等式左右两边 ， 发现等式左右两边，函数 的自变量 和 同形 ， 于是令“ t = ” ， 从而使 左 边 化 简 为 积 分 r t + t ) 孚 再 比 较 这 个 积 分 的 上 限 口 与 右 端 积 分 的 上 限 口 是 两 者 惟 一 的 区 别 ， 因此这又提示我们分此积分为两段 ， 得 丢 f ， c t + t ) 了d t = 丢 f t + t ) 字 + 寻 f ： ， c t + t ) 字 再 由 这 个 积 分 与 原 证 明 等 式 比 较 ， 只 需 证 明 丢 ： ， ( t + 了O,2 ) 了d t = x j- t + T0 ,2 ) 字 再 令 “ t = 2 “ ， 则 得 J- t + 了 2 ) 孚 = J- u + 等 ) 孚 证 明 ：令 2 = t ，则 f ， ( 2 + 孚 ) 字 = 1 f ， ( t + ) 字 。 l f 12 t + 等 ) 字 = 丢 f ， ( t + 譬 ) 譬 + 丢 ： t + 譬 ) 字 又 令 t = ，即 u ： 芋 ， 丢 f： ， ( t + 譬 ) 字 = 丢 f ， ( u + 等 ) 警 丢 f t + 了tl2 ) 孚 f 2 + tl 2 ) 字= 1 ， ( t + ) 譬 = 丢 + 譬 ) 譬 + 寻 + 譬 ) = ， ( + 莩 ) = ， ( + 譬 ) 譬 收稿日期 】2 0 0 6 0 6 1 2 作者简介 】江婧 ( 1 9 7 9一) 。女 ，重庆大足人 ，助教 ，主要从事基础数学研究 1 7 维普资讯 1 2 辅助函数在证明不等式中的作用 证明不等式是数学分析的重要内容之一， 根据不等式引入辅助函数， 再利用函数性质证明不等 式 例2 设函数， ( ) 在【 0 ， 1 】 上连续且单调减少， 证明： 对任意 口 ( _0 ， 1 ) ， 均有 ra l , l I f ( x ) tl x口 l x ) d x J 0 J 0 分析 ： 仔细观察所要证明的不等式 ， 发现不等号主要是 由于定积分的上 限变化所致 ， 故可以利用 变上限积分构造辅助函数 ， 再利用导数确定该辅助函数 的单调性的方法加以证明 1 I 证明： 令F ( t ) = 1 I x ) d x ( 0 t 1 ) 则 ( t )= 州一 胁 ： ( 0 ， ( ) ， 亦即I x ) d x口 I f ( x ) d x 1 3 利 用辅助 函数 求极 限 例 3求 【 1+ 南 + + 】 分析 ： 此题求数列的极限 ， 如果直接用数列极 限的有关方法来求比较麻烦 ， 但如果 我们利用辅助 函数并根据定积分的定义就可以较容易地解决问题 + + + = 骞 _ 1 _iI _ 1 + 、 又 ) = T _ 在【 0 ， 1 】 上连续 ， 从而可积 ， 于是有 ： ( + 南+ -= + ) = 砉 之 = = 。 n 1 4 利 用辅 助 函数 讨 论方程 的根 解方程 )=0 ， 实质上就是求 函数 f ( )的零点 关于函数零点的问题一般是利用连续函数的 性质及微分中值定理来解决 例 4 已知 ) 在 0 ， 1 上非负连续， 且 0 )=f ( 1 )=0 ， 求证对任意实数 口( 0口1 ) 必存 在 0 ， 1 ， 使得 +a 0 ， 1 ， 且 o )= +a ) 筑析： 此 题要 证 X O ) = f ( x o + 口 ) ， 即可 证 粕) 一 f ( x 。 + 口 ) = 0 由 此 想到 可构 造一 个辅 助函 数 F( ) ， 使得 F( ) 在点 。 处取得的函数值为 0 ， 进而得证 证明： 作辅助函 数F ( ) =， ( ) 一 +口 ) ， 则有F ( 0 ) = 一 口 ) 0 ， 从而有F ( 1 一口 ) = 1 一 a )0 而 F ( ) 在 0 ， 1一a 连续 ， 由连续函数介值定理： 存在 0 ， 1一口 ， 使得 F( 。 )：0 ， 即 o)= o+a ) 1 5 利用辅助函数计算积分及求导函数值 有时确定被积 函数的原函数是十分困难的 ， 若能引入适 当的辅助函数 ， 困难就解决 了 例 5计算 ，： 分析 ： 此题如果直接求解比较难 ， 但如果根据定积分的特点 ， 在定积分的被积函数里引入变量， 从 而构造 出辅助 函数 ， 再利用积分的相关知识来解决此题 ， 就比较简单 1 8 维普资讯 解 ： 作 辅 助 函 数 ， ( t ) ： 广 ，则， ： ， ( 1 ) ， ， ( o ) ： o J 0 工 + R f ( ， t )= 和 厂。 ( ， t )= 在( o 1 ； o t 1 ) 上连续 ， ， ( t ) 满足 积分 号下 求导 数 冬件 )= = 1 一 l n ( 1+t )+ll n 2+百 7 r t 伽 t = 南 _ ln ( 1 川+ l ln 2 + 1n 2 _ ， ( 1 ) 又 ( t ) d t： ， ( 1 )一， ( 0 )=， ( 1 ) ，= ， ( 1 )=1 n 2 1 例6 已 知， ( ) =I c 0 s t ， 求厂 ( 0 ) J 0 分 析 ： 因 ， ( ) = C O S t ， 故 被 积 函 数 c 0 s 在 点 = o 不 连 续 ， 故 这 导 致 不 能 直 接 用 对 积 分 限 求导的公式来求 厂( 0 ) 用分部积分公式来变换被积 函数 ， 使新的被积函数在点 =0 连续是解决问题 的一个途径 解 ： 当 0时， =一 d ( s t n 了1 ) = s in 扣 + n 2 ；n 令 ( ) ： f 2 。 stn ， 。 ； ， 2( ) ： f 2 2 s n ， 。 ； L 0 ， = O； L O ， ：0； ( ) ， ， 2 ( ) 在( 一，+) 上连续 ， 且 厂。 ( 0 )=0 对一切 有： ， ( ) = ( ) +I ， 2 ( t ) d t J 0 厂( o )=厂。 ( o )+ ( t ) I 。 。=0+， 2 ( o )=o 1 6 利用辅助函数求函数表达式 例7 已知函数， ( ) 在( 一， +)内满足关系式： 厂( )=， ( ) ， 且 ， ( 0 )=1 ， 求， ( ) 分析： 此题由( )=， ( ) ， ， ( 0 )=1 ， 很容易想到有可能， ( )=e ， 故构作辅助函数 F( )= ， 再根据条 件证明 F( )=1即可 - 解 ：作 辅 助 函 数 ) = 高，贝 IJ 为 厂 ( ) = ， ( ) ， 所 以 F ( ) = o ， 即 F ( ) = c 令 = o ， 得 F ( o 】 = = = 1 = c ， 所 =1 ， 从而有， ( )=e 1 7 利用辅助函数近似计算 在近似计算问题中， 可以利用辅助函数 ， 借助微分知识来解决此类 问题 例8 求e 。 册的近似值 分析： 要求 e 的值， 显然该问题即是求指数函数， ( )=e 在 取o 9 9 7 的函数值， 故可以构造 辅助函数， ( ) ， 再利用近似计算公式， ( )=， ( 。 ) +厂( 。 ) A x 就可以求e 。 。嘶 的值 解： 作辅助函数， ( )=e ， 设 = 0 + ， 且 0=1 ， =一O 0 0 3 厂( )=e ， 即厂( 1 )=e e 0。 9 9 7 = f ( )=f ( x 0+ )： ( 0 )+厂( 0 )A x；e+e ( 一0 0 0 3 )=2 7 1 7 5 1 9 维普资讯 2 如何构作辅助函数 通过上面一些命题 的证明， 我们可以看 出解决这些问题 的关键是如何构造出一个恰当的辅助 函 数 构作一个恰当的辅助函数并非易事， 下面通过几个实例夹分析辅助函数的构造法 2 1 由果索因法 由果索因法要求认真分析问题的条件和结论， 由结论倒推出所需要的条件， 从而找出构造的辅助 函数必须满足的条件及应具备的性质， 进而构造出所需要的辅助函数( 如本文的例 1 、 例3 、 例4 、 例6 ) 2 2 几何推导法 几何推导法是利用问题的几何意义， 再加上解析几何的有关知识 如直线方程等) 来构造辅助函 数的一种方法 2 3 原 函数 法 原函数法的基本思想是 ： 在所证明的等式中， 先将这个等式变形并 且把它看成 ( e )=0 ， 如果 ( e )=0成立 ， 则可试作辅助函数 ( )= F ( ) ， 其中 F ( ) 表示 ( )的一个不含积分常数的原 函数 例 9 设 ) 在 口 ， 6 上连续， 在( 口 ， 6 ) 内可导， 0口0 ， F ( 2 )=一2 e0 ， 所以有 F ( 1 ) F ( 2 )0 ， 则存 在 e ( 1 ， 2 ) ， 使得 F ( e )=0 ， 即原式得证 2 6参数变易法 2 0 维普资讯 参数变易法是指把要证 明的结论 中的某个参数“ 变易”为变量 ， 从而构造出相应的辅助函数( 如本 文的例 2 、 例 5 ) 2 7 待 定系数法 此方法是建立在前面几种方法的基础上 ， 是较复杂的方法 ， 构造辅助函数时， 对所构造的辅助函 数引入待定系数后 ， 再根据题中所要证 明的结论“ 人为”地构造条件， 解出辅助函数 中的待定 系数 ， 从 而确定 出要求的辅助函数 例 1 2 设 尸( ) 在 口 ， b 上存在 ， 且 口c b ， 则 ( 口， b ) ， 使得 铂+ + = -( 1 ) 一 二 十 _ 二 + = L 证明 ： 令( 1 ) 式的左边为 k ， 即可证 2 |i=尸( ) 令F ( ) =I ( 2 k 一 尸 ( ) ) d x d x=I ( 2 k x 一 厂 ( ) + a ) d x = k x 一， ( ) +a +J9 ( 其中， a ， J9 为待定常数) m 脯 二 ： 二 解得 【 a ； |i ( c 一 b 2 ) + ， ( 6 ) 一 ， ( c ) ( 3 ) 由( 2 ) 式和( 3 ) 式解出 k为( 1 ) 式的左边 ， 由此可见只要选取 a满足( 2 ) 式或( 3 ) 式 ， 而 19 任意 ， 则 有 F( ) 在 口， c c ， b 上满足 R o l l e 定理 。 故 。 ( 口， c ) ， 使得 F ( 。 )=0 ； ( c ， b ) ， 使得 F ( )=0 而 F ( ) 在 。 ， ： 上满足 R o l l e 定理 ， 则 ( 。 ， )c ( a ， b ) ， 使得 ( )=0 以上几种构作辅助函数的方法是较普遍的几种方法 ， 在解有关题 目时 ， 可以灵 活地选择方法构作 辅助函数 参考文献 1 欧阳光 中， 姚 允龙 ， 周渊 数 学分析 M 上 海： 复旦 大学 出版社 ， 2 0 0 3 On t h e A u x i l i a r y F u n c ti o n o f Y g l i n g Qu e s ti o n i n Ma t h e ma ti c a l A n a l y s i s J NG J i n g ， T N Xi na ( i O o p t o f Ma t h ma ti c s&C o mp u t e r S c ie n c e 。C h o n g q in g U n i v e r s i o f Ar t s a n dS c ie n c e s ， Y o n g c h u a n C h o n g q l n g 4 0 2 1 6 8 ，