天津理工大学概率论与数理统计-第二章一维随机变量的习题及答案.pdf

11 第第 2 2 章章一维一维随机变量随机变量 习题习题 2 2 一. 填空题： 1.设 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 是 xPxF， 则 用 F (x) 表 示 概 0 xP = _。 解：0 00 xFxF 2.设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为 xarctgxxF 1 2 1 则 P 0 0 15 设服从参数 = 1 的指数分布 ，求方程 4x2 + 4x + + 2 = 0 无实根的概率 。 解： 0)2(1616 2 知 21 故 2 2 0 x e1dxe21P 16. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 xBAx x 0 31 )( 且 知 在 区 间 ( 2，3 )内 取 值 的 概 率 是 在 区 间 ( 1，2 ) 内 取 值 的 概 率 的 二 倍 ， 试 确 定 常 数 A ，B 。 解：由 条 件 21232pp 即 3 2 2 1 dxBAx2dxBAx 知 有 1 2 0AB 又 由 1dxx 即 3 1 1B2A4dxBAx 解 124 0 2 1 BA BA 得 A = 1 3 ，B = 1 6 17、设有函数 其它,0 0,sin )( xx xF 试说明)(xF能否是某随机变量的分布函数. 解：不 能 因 为 当 x 3 2 时 ， ( x ) = sin x 0 17 故 在 2 3 , 0 上 ， ( x ) = sin x 不 是 非 负 。 18、设某人计算一连续型随机变量 x 的分布函数为： 1,1 1 4 , 4 0,sin 0,0 )( x xx xx x xF 试问他的计算结果是否正确？ 答：不正确 19、在区间, 0a上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标，这个质点落在, 0a中任意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求 x 的分布函数. 解：P 0 0 ) 解: 正 方 体 体 积 = 3 函 数 y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 数 xh yy( ) 1 3 22 h yy ( ) , 1 3 2 3 a yh 1 的 概 率 密 度 为 ayy a y )( 0 0 3 1 3 3 2 31. 设 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 0,0 0, 1 2 2 x x x x 求 随 机 变 量 = l n 的 概 率 密 度 。 解：函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y ， 当 x 在 ( 0 ， + )上 变 化 时 ， y 在 ( ， + ) 上 变 化 ， 1e 2 yh,e)y(h y2 y 于 是 的 概 率 密 度 为 y e e y y y 1 2 )( 2 32. 已 知 某 种 产 品 的 质 量 指 标 服 从 N( , 2)， 并 规 定 | | m时 产 品 合 格 ， 问 m取 多 大 时 ， 才 能 使 产 品 的 合 格 率 达 到 95%。 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 (x)的 值 ： (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , (1.65) = 0.05, (0.06) = 0.475 . 解：P | | m = 0.95，此式等价于 Pm + m = 0.9 因 为 服 从 N( , 2 )， 故 Pm + m = )()( mm 95