半导体物理习题课堂.pdf

3.1 在硅中，导带极小值附近的电子能量可以写成: ) m k m kk ( 2 EE(k) 2 2 z 1 2 y 2 x 2 C + + += 式中m2m1 (1)分别画出能量E随着kx和kz变化的示意图; (2)画出k空间等能面的示意图(要求分别画出等能面与kx-ky平面以及kx-kz平面的交 线). 解： (1)分别令ky、kz和kx、ky为常数不变，则Ekx与Ekz的关系如下图抛物线所示： ）（ 2 2 1 2 2 mm z y C k k E+ 2 ）（ 2 2 1 2 2 mm z y C k k E+ 2 因为m2m1,所以Ekz的抛物线开口更大。 (2)设E(k)为固定值E0， 分别令kz=0, ky=0则得到以下和两个式子： 1 2 = + 2 01 22 )( C yx EEm kk 1 22 = + 2 02 2 2 01 2 )()( z CC x EEm k EEm k 由以上两个式子，可得等能面与kx-ky平面以及kx-kz平面的交线如下图所示： 0kx ky 半径为的圆 )(m C EE 0 2 kz kx )(m1 C EE 0 2 )(m2 C EE 0 2 长轴位于kz,短轴位于kx的椭圆，因为m2m1 3.2设晶格常数为a的一维晶体，导带极小值附近的能量EC(k)为： m kk m k EC 2 1 22 2 )( )k( += 3 价带极大值附近的能量Ev(k)为： m k m k E 22 1 2 2 3 = 6 )k( v 式中m为电子质量，a=3.14。试求： (1)禁带宽度； (2)导带底电子的有效质量； (3)价带顶空穴的有效质量。 a = 1 k 解： (1)禁带宽度Eg=导带极小值ECmin-价带极大值EVmax,因此要先求出ECmin、EVmax 0 )(22)(d 1 22 = += m kk m k dk kEC 令： 得到： 1 4 3 kk= 所以有： 2 22 2 1 2 2 11 2 2 1 2 44 ) 4 3 ( 16 9 m3 min mam k kk m kEC =+= 令： 0 6)(d 2 v = m k dk kE 得到： 0k = 所以有： 2 222 1 2 max 66mam k EV = 于是： 2 22 2 22 maxmin 12m ) 6 1 4 1 ( maa EEE VCg = (2)按照电子有效质量的定义： )(m 2 2 2 * dk Ed n = mmmm kk m k dk d dk kEC 3 82 3 2)(2 3 2)(d 222 1 22 2 2 =+= += 又： 所以，导带底电子的有效质量为： m mdk Ed C n 8 3 ) 3 8 ( )k( m 2 2 2 2 2 * = = (3)按照空穴有效质量的定义： m m dk kEd V n 6 1 ) 6 ( )( -mm 2 2 2 2 2 * p = = = 3.3 证明：能量为的电子，在磁场 中的回旋频率为. * n 22 2m k E = B* e n m B 证明: 电子的有效质量为： )(m 2 2 2 * dk Ed n = 设电子垂直于磁场的速度为，回旋频率为，半径为r，则电子的 线加速度为： B c 所以有： * n c m eB = * 2 a nn c c m eB m f r r r = = 3.7在一维情况下,(1)利用周期性条件证明：表示独立状态的k值数目等于晶体的晶 胞数；(2)设电子的能量为,并考虑到电子的自旋可以有两种不同的取向. 试证明在单位长度的晶体中单位能量间隔的状态数为: * 22 m2 n k E = 2 1* 2 )( =E m EN n 解： (1)周期性边界条件： 以晶体的边长为周期，设晶体边长为L，晶格周期为a，电子波函数为 )(x k 根据布洛赫定理：，且)(e)(xx k ikx k =)()na(xx kk =+ 根据边界条件：，即：)()(xLx kk =+)(e)(e )( xLx k ikx k Lxik =+ + 设晶体的原胞数为N个：则L=Na )(ea)(ee)(e )( xNxLx k ikx k ikLikx k Lxik =+=+ + 所以有： 1e= ikL nkNkL2a =， a 2 N n k = 其中n为整数 独立的k值可限制在一个布里渊区中，因此： aa 空穴浓度： 316 10 =cmNP a 34 16 210 2 1025 . 2 10 )105 . 1 ( = =cm p n n i 电子浓度： （1） （2） )exp( kT EE Np fv v = eVEE p N kTEE vv v vf 18 . 0 10 1004 . 1 ln026 . 0 ln 16 19 + +=+= 4.4 室温下认为锗中施主已经饱和电离饱和电离，但是 313314 103 . 210 =cmncmN id ，所以，所以，本征激发不可以忽略！本征激发不可以忽略！ pNn d += 2 )( id nppNpn=+= 所以，求关于空穴浓度的一元二次方程，取有意义解即可。p 312 22 105 . 5 2 4 + =cm nNN p idd 314 10055 . 1 +=cmpNn d 空穴浓度： 电子浓度： 4.6 工作温度的上限要确保，高温导致的本征激发载流子仍然占少数， 这要求： di Nn 10 1 (1) 硅中掺入的砷原子， 315 10 cm ) 2 exp()()( 2 1 kT E NNSin g vci = 319 2 3 1031 . 4 )300() 300 400 ()400:( =cmKNKSiN cc 319 2 3 1060 . 1 )300() 300 400 ()400:( =cmKNKSiN vv + = T T ETE gg 2 )0()( eVKSiEg097 . 1 )400:(= 314312 10 10 1 1052 . 3 )400:( =cmNcmN ad 施主首先补偿受主补偿受主，补偿后提供的电子浓度为： 315 106 =cmNN ad 本征硅在室温下本征载流子浓度为： 310 105 . 1)300:( =cmKSini )300:(KSinNN iad 315 106 =cmNNn ad 34 2 1075 . 3 =cm n n p i 空穴浓度： 电子浓度： eV n n kTEE kT EE nn i if if i 335. 0ln)exp(= = eV n N kTEE kT EE Nn c fc cf c 22. 0ln)exp(= = 4.9 室温下费米能级和施主能级重合，我们可以判断其为N型半导体型半导体；室 温下，一般认为本征激发产生的载流子不占主导，因此： 电中性条件： dda nNNn=+ 1)exp(+ = kT EE g N nN df d d dd 已电离施主： df EE = 316 108 . 1) 1()( =+=cmgNnN dad 因此： 电离施主： 315 106 =+cmnNNn dda 中性施主： 316316 102 . 110)6 . 08 . 1 ( =cmcm 电离受主： 315 10 cm 中性受主： 3 0 cm 5.1 电子的平均动能为3kT/2，若有效质量为0.2m，试 求室温时电子热运动的方均根速度。设电子的迁 移率为1000cm2/Vs，算出102V/cm电场下的漂移速 度，并把它与上面的结果作比较。 (2) 电子的漂移速度： kTvm Tn 2 3 2 1 2* = cm/s106 . 2 m/s106 . 2 kg101 . 92 . 0 J106 . 1026 . 0 33 7 5 31 19 * = = = n T m kT v 解：(1) 电子的平均动能的表达式： cm/s10V/cm10s/Vcm1000 522 = d v Td vv p(大多数半导体)， 则有n np n p 0 1 += kTE e / 但要满足： 01 np E是指复合中心能级Et与价带顶Ev的能量间 隙。亦即把空穴从复合中心激发到价带所需 的最小能量(或者将电子从价带激发到复合中 心能级所需要的最小能量)。如果我们测量ln 和1/T的关系曲线，则为一直线，其斜率为- E/k。由此可确定E，以Et的位置。 kTE kT EE v nn eTe n N n p tv /2/3 )( 00 1 = vt EEE= kTE e / 要满足： 因此，所在温度范围， 不占优 2/3 T 7.13 一高阻N-Si样品，电子浓度n0=2.81012cm-3，另 一低阻N-Si样品，电子浓度n0=1016cm-3。T=300K 时测出它们的载流子寿命和”分别为1000s和 10s。假设两个样品中起复合中心作用的杂质相 同，且复合中心能级Et在禁带上半部，试用肖克 莱-瑞德公式求出Et的位置。 解： np pn pp pn nn 00 10 00 10 + + + + + = 对于N型样品，且Et 在Ei 之上，n0，n1p0，p1 )1 ( 0 1 0 10 n n n nn pp += + ) 108 . 2 1 ( 12 1 += n p ) 10 1 ( 16 1 n p += 10 1000 10 1 108 . 2 1 16 1 12 1 = + + = n n 14 1 12 1 10 100 108 . 2 1 nn += + 314 1 cm108 . 2)exp( = kT EE Ncn ct V3 . 0 108 . 2 108 . 2 ln026 . 0 ln 19 14 1 e N n kTEE c ct = = 即Et 在导带底之下约0.3 eV处。 7.14 在P-Si中，存在一复合中心，小注入时，被复合 中心俘获的电子发射回导带的过程和它与空穴复 合的过程具有相同的几率，试估计这种复合中心 的能级Et在禁带中的位置，并说明它能否成为有 效的复合中心。 解：设复合中心对电子和空穴的俘获系数分别为cn和 cp，复合中心向导带发射电子的几率为cnn1，复合中 心对空穴的俘获率为cp p，依题意： 01 pcpcnc ppn = )exp()exp( kT EE nc kT EE nc fi ip it in = fiit p n EEEE c c kT=+ln )()( 1tpptnn pncRnncG= 假设cn和cp相差不太大，则kT lncn/cp和kT具有相同的 数量级，在室温下，硅的禁带宽度远大于kT，所以复 合中心能级Et的位置近似满足： fiit EEEE P型硅的费米能级Ef是靠近价带顶的，上式表明复合中 心Et的位置是接近导带底的，因此它不是有效的复合 中心。 Ec Ev Ef Et Ei 9.1 对于金属-氧化物-半导体场效应晶体管。要利用 半导体表面附近形成的强反型层作为电导沟道。 以P型半导体为例，强反型层开始出现的条件是： 表面处的电子浓度等于体内的空穴浓度。 （1）画出这种情况下的能带图； （2）证明：开始出现强反型层，表面势为 这里表示半导体内部本征费米能级与费米能 级之差。 fs V= 2 s V f e i E F E 解：（1）能带图： c E v E i E f E is E （2）强反型层出现要求：半导体表面处的电子浓度 等于体内的多子浓度。 )exp()exp( 0 kT EE np kT EE nn fi i isf is = = fiisf EEEE= = += 2)(2 1 )(2 1 )( 1 )( 1 e e EE e EEEE e EE e V if iffisiiss 9.2 一个均匀掺杂的P型半导体（图），受主浓度为Na, 相对价电常数为。 （1）利用耗尽层近似。求出表面空间电荷区中的电 势场分布V(x)。 （2）证明：空间电荷面密度Qsp和空间电荷区宽度x0 分别为 r 解:(1) 耗尽近似：认为空间电荷区静电荷为离化的施 主或者受主 ，这里静电荷密度为： a Ne= 由泊松方程： a r Ne dx Vd = = , 0 2 2 2/1 0 )2( srasp VeNQ= 2/1 0 0 ) 2 ( s a r V Ne x = BxxAxx Ne xV r a + =)()( 2 1 )( 0 2 0 0 0 )( 0)( 0 0 = = =xx dx xdV xV (2) 表面势 2 0 0 )( 2 1 )(xx Ne xV r a = 2 0 0 )( 2 1 )0(x Ne xVV r a s = 0 0 = = B A 2/1 0 0 ) 2 ( s a r V Ne x = 得证 空间电荷的面密度： 2/1 0 2/1 00 )2() 2 ( )( sars a r a atot VeNV Ne Ne S NexS S Q = = = 9.3 设P型硅中受主浓度Na=1.5X1016cm-3。试计算开始 出现强反型层时的表面势和空间电荷区宽度。 （硅的相对介电常数为12）。 解：在P型硅中 )exp( 0 kT EE np fi i = )exp()exp( 0 kT EE np kT EE nn fi i isf is = = (1) 因为强反型，表面电子浓度等于体空穴浓度。 )(2 1 )( 1 )( 1 ififfisiiss EE e EEEE e EE e V=+= 0718 . 0 )( 1 =eVEE e V iiss （2）空间电荷区宽度 0 x mV Ne x s a r 72/1 61619 12 2/1 0 0 1052 . 2 ) 10105 . 1106 . 1 718 . 0 1210854 . 8 2 () 2 ( = = = 9.4 对于施主浓度为Nd的N型半导体。试证明：开始出 现强反型时，表面空间电荷区中恰好变为本征半 导体的位置与空间电荷区边界的距离为 2/1 2 0 )ln 2 ( i d d r n N Ne d = 证明:对于N型半导体，在耗尽层近似下（根据泊松方 程）： 2 0 0 )( 2 1 )(xx Ne xV r d = c E v E i E f E 1 x 0 x is E 21 EE= 1 E 2 E 强反型 2 0 0 )( 2 1 )(xx Ne xV r d = 2 01 0 1 )( 2 1 )(xx Ne xV r d = )( 1 )( 1if EE e xV= 2 01 2 0 )( 1 )(2xx eN EE d ifr = )exp( kT EE nN if id = 2/1 2 0 1 )ln 2 ( i d d r o n N Ne xx = 得证 9.5 一个P型半导体，在表面存在施主型表面态，他们 均匀地分布在导带底和本征费米能级之间，表面 态密度为Ns(cm-2eV-1)是常数，在表面态使半导体 表面恰好为本征时，求出Ns与受主浓度Na之间的 函数关系。 c E v E i E f E is E )(surfaceDOS E v E c E i E 思路 表面恰好为本征半导体 电中性条件 )( 1 ifs EE e V= )()(spceQsurfaceQ= )()( iscss EENesurfaceQ= 2/1 00 )2()( sraa VeNxeNspaceQ= )lnln2( )ln(ln24 0 vci iara s NNnkT NNkTN N = 10.1 室温下锗、硅和砷化镓的禁带宽度分别为 0.67eV、1.12eV和1.43eV，计算相应的本征吸 收长波限。 )eV( 24 . 1 m EE hc gg = 解：由本征吸收长波限的公式： m 1.85 eV67 . 0 24 . 1 Ge = ）（ m 1.11 eV12. 1 24 . 1 Si = ）（ m 87. 0 eV43. 1 24. 1 GaAs = ）（ 10.2 N型CdS正方形晶片，边长1mm，厚0.1mm， 其长波吸收限为5100，用强度为1mW/cm2的 紫色光（=4096）照射正方形表面，设量子 产额=1，光生空穴全部被陷，光生电子寿命 n=10-3s，电子迁移率100cm2/Vs，并假定光照 能量全部被晶片吸收，试求出： 样品中每秒产生的电子-空穴对数； 样品中增加的电子数； 样品的电导增量G； 样品上加50V电压时的光生电流。 解：每秒产生的电子-空穴对数=每秒吸收的光 子数量子产率。（其中=1） 样品中每秒产生的电子-空穴对数？ 假设光照能量全部被晶片吸收，因此，每秒产生的 电子-空穴对数等于每秒入射到晶片的光子数。 每秒钟入射到晶片的能量为： J101s1mm1mW/cm1E -522 =）（ 每个光子的能量为： J1084 . 4 eV027 . 3 )( 4096 . 0 24 . 1 19 = m hc 每秒产生的电子-空穴对数为：个 13 19 5 101 . 2 J1084. 4 J101E = = 样品中增加的电子数？ 解：光生非平衡载流子的产生率等于每秒产生 的电子-空穴对数/晶片的体积，即： 13-17 13 scm101 . 2 cm01. 0cm1 . 0.1cm0 101 . 2 G = = 稳态时，光照产生的非平衡电子的浓度为： 31431317 cm101 . 2s10scm101 . 2 = n Gn 增加的电子数为： 10343-14 101 . 2cm10cm101 . 2V= n 样品的电导增量G？ 解：样品的电导率增量为： 113 -1-1219314 n cm1036 . 3 sVcm100C106 . 1cm101 . 2e = =n 电导增量，即光电导为： 13 113 1036 . 3 0.01cm cm1 . 0cm