《概率论与数理统计》(复旦大学出版社)第二章习题答案.pdf

键入文字 1 习题二习题二 1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只 球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律. 【解】【解】 3 5 3 5 2 4 3 5 3,4,5 1 (3)0.1 C 3 (4)0.3 C C (5)0.6 C X P X P X P X 故所求分布律为 X345 P0.10.30.6 2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样， 以 X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 , 1, 1, 12 222 P XPXPXPX. 【解】【解】 3 13 3 15 12 213 3 15 1 13 3 15 0,1,2. C22 (0). C35 C C12 (1). C35 C1 (2). C35 X P X P X P X 故 X 的分布律为 X012 P22 35 12 35 1 35 （2） 当 x0 时 0 0 ( )( )de ded 22 xx xx F xf xxxx 1 1e 2 x 键入文字 12 故其分布函数 1 1e,0 2 ( ) 1 e ,0 2 x x x F x x (2) 由 12 2 01 11 1( )ddd 22 b f xxbx xx x 得b=1 即 X 的密度函数为 2 ,01 1 ( ),12 0, xx f xx x 其他 当 x0 时 F（x）=0 当 01 时 2 ( )()(21) Y FyP YyPXy 2 111 222 yyy P XPX (1)/2 (1)/2 ( )d y X y fxx 故 d1211 ( )( ) d4122 YYXX yy fyFyff yy (1)/4 121 e,1 212 y y y (3)(0)1P Y 当 y0 时( )()0 Y FyP Yy 当 y0 时( )(|)() Y FyPXyPyXy 键入文字 15 ( )d y X y fxx 故 d ( )( )( )() d YYXX fyFyfyfy y 2/22 e,0 2 y y 31.设随机变量 XU（0,1） ，试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=2lnX 的分布函数及密度函数. 【解【解】 （1）(01)1PX 故(1ee)1 X PY 当1y 时( )()0 Y FyP Yy 当 11 ( ) 0,1 Y y yFy y 故 2 1 ,1 ( ) 0,1 Y y yfy y 键入文字 24 51.设随机变量 X 的密度函数为 fX(x)= )1 ( 1 2 x , 求 Y=1 3 x的密度函数 fY(y). 【解】【解】 33 ( )()(1)(1) ) Y FyP YyPXyP Xy 3 32 (1) (1) 3 11 darctg (1) 1 arctg(1) 2 y y xx x y 故 2 6 3(1) ( ) 1 (1) Y y fy y 52.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N（t）服从参数为t 的泊松分布. （1） 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下， 再无故障运行 8 小时的概率 Q. （1993 研考） 【解【解】 （1） 当 tt与N(t)=0等价，有 ( )()1()1( )0)1 e t T F tP TtP TtP N t 即 1 e,0 ( ) 0,0 t T t F t t 即间隔时间 T 服从参数为的指数分布。 （2） 16 8 8 e (16|8)(16)/(8)e e QP TTP TP T 53.设随机变量 X 的绝对值不大于 1，PX=1=1/8，PX=1=1/4.在事件1X1出现的条 件下，X 在1，1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求 X 的 分布函数 F（x）=PXx.(1997 研考) 【解】【解】显然当 x1 时 F（x）=0；而 x1 时 F（x）=1 由题知 115 ( 11)1 848 PX 当1x1 时， 1 (| 11) 2 x P XxX 此时( )()F xP Xx 键入文字 25 (, 11)(,1)(,1) (, 11)(,1) (| 11) ( 11)(1) 1 5151 (1) 288168 P XXP Xx XP Xx X P XxXP Xx x P XxXPXP X x x 当 x=1 时， 1 ( )()(1) 8 F xP XxP X 故 X 的分布函数 0,1 51 ( )(1),-1x1 168 1,1 x F xx x 54. 设随机变量 X 服从正态分 N（1,12),Y 服从正态分布 N(2,22)，且 P|X-1|P|Y- 2|1，试比较1与2的大小.(2006 研考) 解：解：依题意 1 1 (0,1) X N ， 2