2017年全国高中数学联合竞赛竞赛加试(A卷)答案.pdf

2017 年全国高中数学联合竞赛加试全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分 2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得不得增加其他中间档次增加其他中间档次 一一、 （本题满分（本题满分 4 40 0 分）分）如图，在ABC中，ABAC=，I为ABC的内心以 A为圆心，AB为半径作圆 1 ，以I为圆心，IB为半径作圆 2 ，过点B、I的圆 3 与 1 、 2 分别交于点P、Q（不同于点B） 设IP与BQ交于点R 证明：BRCR （答（答题时请将图画在答卷纸上）题时请将图画在答卷纸上） 证明证明：连接IB，IC，IQ，PB，PC 由于点Q在圆 2 上，故IBIQ=，所以IBQIQB= 又B，I，P，Q四点共圆，所以IQBIPB= ，于是IBQIPB= ， 故IBPIRB，从而有IRBIBP= ，且 IBIP IRIB = 10 分 注意到ABAC=，且I为ABC的内心，故IBIC=，所以 ICIP IRIC =， 于是ICPIRC，故IRCICP= 20 分 又点P在圆 1 的弧BC上，故 1 180 2 BPCA= ，因此 BRCIRBIRCIBPICP= += + 360BICBPC= 11 36090180 22 AA =+ 90= ， 故BRCR 40 分 A B C I P Q R 二二、 （本题满分（本题满分 4 40 0 分）分）设数列 n a定义为 1 1a ， 1 , 1,2, , nn n nn anan an anan + + = 若 若 求满足 2017 3 r ar 的正整数r的个数 解解： 由数列的定义可知 12 1,2aa= 假设对某个整数2r 有 r ar=， 我们证明 对1,1tr=，有 212 2121,2 rtrt artrtartrt + =+ += +， 21 (1)2(1)12 rr aarrrrr + =+=+= ， 故 ()39,1,2,3 j n cj= 20 分 由于在行 i A中有() i n A种颜色的方格， 因此至少有() 1 i n A 条分隔边 同理在列 j B中，至少有() 1 j n B条分隔边于是 3333 11 ( () 1)( () 1) ii ii Ln An B = + 33 1 ( ()()66 ii i n An B = =+ 3 1 ()66 j j n c = = 30 分 下面分两种情形讨论 情形 1: 有一行或一列全部方格同色不妨设有一行全为 1 c色，从而方格纸的 33 列中均含有 1 c色的方格，由于 1 c色方格有 363 个，故至少有 11 行中含有 1 c色方 格，于是 17 1617 33 11 11 11 16 1 ( )11 3344n c+= 由，及即得 123 ( )()()664439396656Ln cn cn c+= 40 分 情形 2: 没有一行也没有一列的全部方格同色则对任意133i ，均有 ()2 i n A ，()2 i n B 从而由知 33 1 ( ()()6633 4666656 ii i Ln An B = += 综上所述，分隔边条数的最小值等于 56 50 分 四四、 （本题满分（本题满分 5 50 0 分）分）设,m n均是大于 1 的整数，mn 12 , n a aa是n个 不超过m的互不相同的正整数，且 12 , n a aa互素证明: 对任意实数x，均存在 一个i（1in ） ，使得 2 (1) i a xx m m + ，这里 y 表示实数y到与它最近的 整数的距离 证明证明：首先证明以下两个结论. 结论 1：存在整数 12 , n c cc，满足 1 122 1 nn c ac ac a+=，并且| i cm， 1in 由于 12 (,)1 n a aa=，由裴蜀定理，存在整数 12 , n c cc，满足 1 122 1 nn c ac ac a+= 下面证明，通过调整，存在一组 12 , n c cc满足，且绝对值均不超过m记 121212 0, | ( ,)( ,)| 0 ij cm njni cm cScS c ccccc ，那么存在1 i cm，于是1 ii c a ，又因为 12 , n a aa均为正 数，故由可知存在0 j c ，故 212212 (,)( ,) nn S cccS c cc 如果 2 0S ， 那么存在 j cm 令 iij cca= ， jji cca = +， kk cc = (1kn，,ki j)，那么成立，并且 ii mcc 时，注意总有 1 2 ab+，故 1 | 2 ababab+， 则在 12 , n a aa中存在两个相邻正整数. 不妨设 12 ,a a