考研数学：2000年考研数学三_真题及答案(精校版).pdf

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学三年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题试题答案答案 一一、填空题（本题共、填空题（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） （1）设, xx zfxyg yy ，其中, f g均可微，则 z x . 【考点考点】求复合函数的一阶偏导数. 【解解】应填 12 2 1zy yffg xyx .由复合函数偏导数公式,有 12 2 1 () zy fyfg xyx ,如上所填. （2） 2 1 . xx dx ee 【考点考点】计算广义积分. 【解解】应填 4e . 22222 111 1 11 arctan xx x xxxx dxee dxde eeeeeeee 1 () 244ee . （3） 若四阶矩阵A与B相似， 矩阵A的特征值为 1 1 1 1 , , 2 3 4 5 ， 则行列式 1 .BE 四四、选择题（本题共、选择题（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分，在分，在每小题给出的四个选项中，只有一每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （1） 设对任意的x， 总有( )( )( )xf xg x， 且l i m ()()0 x gxx ， 则l i m () x f x （ ） （A）存在且一定等于零. （B）存在但不一定等于零. （C）一定不存在. （D）不一定存在. 【考点考点】极限的性质. 【分析分析】 不要误认为本题的条件与夹逼定理的条件等价.由lim ( )lim ( ) xx g xx ,可推出 lim( )( )0 x g xx ,但反过去推不出来. 【 解解 】 应 选 (D). 用 排 斥 法 . 设 22 22 1 ( ) 22 xx f x xx , 满 足 条 件 22 222 11 limlim0 222 xx xx xxx ,并且 22 22 1 lim1,1 22 x xx xx , 由夹逼定理知lim( )1 x f x ,所以不选(A),也不选(C). 又如设 6262 44 2 ( ) 11 xxxx f x xx ,满足条件 62622 444 2 limlim0 111 xx xxxxx xxx ,但是由于 62 2 4 ( ) 1 xx f xx x , 有lim( ) x f x ,不选(B),所以选(D). 【评注】因为最终结论是“(D)不一定存在”,所以只能举例说明“可以这样” “可以那样”. （2）设函数( )f x在点xa处可导，则函数( )f x在点xa处不可导的充分条件是 （ ） （A）( )0( )0f af a且 （B）( )0( )0f af a且 （C）( )0( )0f af a且 （D）( )0( )0f af a且 【考点考点】绝对值函数的可导性与不可导性. 【解解】应选(B).方法方法 1 1:排斥法. (A)的反例: 2 ( )f xx,满足(0)0(0)0f f 且,但 2 ( )f xx在0x 处可导; (C) 的 反 例 : ( )1f xx, 满 足( 0 )10 ,( 0 )10f f , 但( )1f xx当 1,1x ,在0x 处可导; (D)的反 例 : ( )1f xx , 满足(0)10,(0)10,f f 但( )1f xx当 1,1x ,在0x 处可导; 故选(B). 方法方法 2:推理法.去证明当(B)成立时必不可导.由(B)的条件( )0f a ,则 ( )( )( )( )( ) limlimlim, xaxaxa f xf af xf xf a xaxaxa ( )( )( )( ) limlim( ) , xaxa f xf af xf a fa xaxa (1) ( )( )( )( ) limlim( ) . xaxa f xf af xf a f a xaxa (2) 可见，( )f x在xa处可导的充要条件是（1）=（2） ，为( )0,( )0.fafa即 所以当( )0f a时必不可导.选(B). （3）设 123 , 是四元非齐次线性方程组AXb的三个解向量，且( )3A 秩， 123 1234,0,123 TT ， ， ， ，c表任意常数，则线性方程组AXb的通解 X （ ） （A） 11 21 31 41 c （B） 10 21 32 43 c （C） 12 23 34 45 c （D） 13 24 35 46 c （4）设A为n阶实矩阵， T A是A的转置矩阵，则对于线性方程组( ):0IAX 和 ():0 T IIA AX ，必有 （ ） （A）( )II的解是( ) I的解，( ) I的解也是( )II的解. （B）( )II的解是( ) I的解，但( ) I的解不是( )II的解. （C）( ) I的解不是( )II的解，( )II的解也不是( ) I的解. （D）( ) I的解是( )II的解，但( )II的解不是( ) I的解. 三、 （本题满分（本题满分 6 分）分） 求微分方程 2 20 x yye满足条件(0)0,(0)1y y . 【考点考点】求二阶常系数线性微分方程的解. 【解解】 对应的齐次微分方程为20yy,其特征方程为 2 20rr,特征根为 12 0,2rr. 齐次方程的通解为 2 12 . x YCC e 非齐次方程的自由项 2x e指数上的 2 为特征根的单重根,故命特解 2 , x yAxe 求得 2222 2,44 xxxx yAeAxeyAeAxe ,代入原方程,约去 2x e,再比较等式左、右两 边x的同次幂系数,得 1 21, 2 AA,故得特解 2 1 , 2 x yxe 通解为 22 12 1 . 2 xx yYyCC exe 再由初始条件(0)1,(0)1,y y 得 122 1 1,21, 2 CCC 得 12 31 , 44 CC满足初始条件的特解为 2 311 () 442 x yx e. 四、四、 （本题满分本题满分 6 分）分） 计算二重积分 22 222 , 4 D xy d axy ， 其中D是由曲线 22 (0)yaaxa 和直 线yx 围成的区域 【考点考点】二重积分的计算. 【解解】 画出积分区域 D 如图.由被积函数的形式以及积分区域形状,易见采用极坐标方便. 曲 线 22 yaax 化 为 222 ()()xyaaya, 极 坐 标 方 程 为 2 sin (0).ra 于是 222 02 sin 222220 4 . 44 a D xyr Idddr axyar 命2 sin ,00;2 sin,ratrtrat 有时时， 00 222 00 44 4sin2(1 cos2 )Idatdtdat dt 2 0 22 4 11 2(sin2 )() 2162 ada . 五、五、 （本题满分（本题满分 6 分）分） 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 1122 18,12,PQ PQ 其中 1 P和 2 P分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨） ， 1 Q和 2 Q分别表示该 产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨） ，并且该企业生产这种产品的总成本 函数是25CQ，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即 12 QQQ （1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该 企业获得最大利润； （2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的 价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小. 【考点考点】以经济为背景的无条件最值与有条件最值问题. 【解解】建模:由题意,总利润函数 1122 (25)LRCpQp QQ 112212 2()5pQp QQQ 22 1212 216105,QQQQ 12 0,0.QQ 其中 R 为收益, 12 QQQ为销售总量. (1) 12 12 41602100 LL QQ QQ 命命 ， 解得 12 45QQ，.相应地 12 10,7.pp 在 12 0,0QQ的范围内驻点唯一,且实际问题在 12 0,0QQ范围内必有最大值, 故在 12 45QQ，处 L 为最大值. 22 max2 4516 4 10 5552()L 万元. (2)若两地的销售单价无差别,即 12 pp,于是 12 18212QQ, 得 12 26QQ,在此约束条件下求 L 的最值.以下用两个方法. 方法方法 1:用拉格朗日乘数法,命 22 12121212 (, )216105(26),F Q QQQQQQQ 1 1 41620 F Q Q 命 ， 2 2 2100 F Q Q 命 ， 12 26 0. F QQ 命 解得 12 54QQ，,以下讨论与(1)同,得 22 max2 5416 5 10 4549()L 万元. 方法方法 2:由由 12 26QQ代入 L 消去一个变量得 2 11 660101,LQQ 1 1 1260 0, dL Q dQ 等 得 1 5Q ，为 L的唯一驻点.当 11 11 050,50 dLdL QQ dQdQ 时当时,故 1 5Q 为 L的 唯一极大值点,所以是最大值点,此时 2 4Q , 2 max6 560 5 10149()L 万元. 六、六、 （本题满分（本题满分 7 分）分） 求函数 arctan 2 (1) x yxe 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线. 【考点考点】求单调区间、极值与该函数图形的渐近线 【解解】 2 arctan 2 2 1 x xx ye x ,命0,y得驻点 12 0,1.xx 列表 x ,1 - -1 1 1,0 0 0 0, y + + 0 0 - - 0 0 + + y 4 2e 2 e 严格单调增的区间为, 1 与0,； 严格单调减的区间为1,0. 2 (0)fe 为 极小值, 4 ( 1)2fe 为极大值.以下求渐近线. 111 222 ( ) lim,lim ( )2, ( ) lim1,lim ( )2, xx xx f x aebf xa xe x f x abf xa x x 渐近线为 1122 (2)2ya xbexya xbx 及,共两条. 七七、 （本题满分（本题满分 6 分）分） 设 4 0 sin,0,1,2, n n Ixcosxdx n 求 0 . n n I 【考点考点】利用幂级数求数项级数的和,计算定积分. 【解解】 1 44 00 12 sinsinsin, 12 n nn n Ixcosxdxxdx n 1 00 12 12 n nn nn II n . 考虑幂级数 1 0 1 ( ), 1 n n S xx n 按通常求收敛半径的办法,其收敛半径1,11R 在，内, 11 000 111 ( ) 111 nnn nnn S xxxx nnx , 00 1 ( )(0)( )0ln 1 1 xx S xSS x dxdxx x , 以 2 1,1 2 x 代入,得 22 ()ln(1)ln(22) 22 S . 即 0 ln(22) n n I . 八、八、 （本题满分（本题满分 6 分）分） 设函数( )f x在0,上连续， 且 00 ( )0,( )cos0f x dxf xxdx ， 试证明： 在(0, ) 内至少存在两个不同的点 12 , ，使 12 ()()0.ff 【考点考点】积分中值定理,罗尔定理,变上限函数,分部积分,或反证法.本题是一道涉及积分多 方面的题,有相当的难度. 【解解】 令 0 ( )( ),F xf t dt 则有(0)( )0,FF又因为 00 0( )coscos( )f xxdxxdF x 0 0 ( )cos( )sinF xxF xxdx 0 ( )sinF xxdx 令 0 ( )( )sin,G xF xtdt 则 (0)( )0,GG 于是存在(0, ),使( )sin0,F因为当(0, ),这样就证明了. (0)( )( )0FFF 再对( )F x在区间 0, 上分别用罗尔定理知，至少存在 12 0, 使 12 ()()0FF 即 12 ()()0ff 九、九、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 设向量组， 123 ( ,2,10) ,( 2,1,5) ,( 1,1,4) ,(1, , ) TTTT ab c