接本考试经管类线性代数.ppt

第三章 向量空间,3.1 n维向量概念及其线性运算,3.1.1 n维向量及其线性运算,定义,由n个数,组成的有序数组,称为一个n维向量，,数,称为该向量的第i个分量,向量通常写成一行：,称为行向量，,有时也写成一列：,称为列向量。,也是1n矩阵，,也是n1矩阵，,既然向量又是一种特殊的矩阵，,则向量相等、零向量、负向量的定义及向量,运算的定义都应与矩阵的相应的定义一致。,定义,所有分量都是零的n维向量称为n维零向量。,零向量记作,注意：不同维数的零向量是不相等的。,把向量,的各个分量都取相反数组成的向量，,称为,的负向量，,记作,定义,如果n维向量,与n维向量,的对应分量都,即,相等，,，则称向量,与,相等，,记作,定义,（向量的加法）,设n维向量,，则,与,的和向量,利用负向量的概念，可以定义向量的减法：,定义（数与向量的乘法）,设,是一个n维向量，,k为一个数，,则数k与,的乘积称为数乘向量，,简称为数乘，,记作,，并且,例1 设,，求向量,解,例2 设,求满足,的,解,3.1.2 向量的线性组合,1、向量的线性组合,定义,设,是一组n维向量，,是一组常数，,则称,为,的一个线性组合。,常数,称为该线性组合的组合系数。,若一个n维向量,可以表示成,则称,是,的线性组合，,或称,可用,线性表出,或线性表示）,仍称,为组合系数，,或表出系数。,零向量可以用任意一组同维数的向量线性表出：,称它为零向量的平凡表出式。,这说明：,表出系数可以全为零。,表出系数全为零时被表出的向量必是零向量。,若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组。,m个向量,组成的向量组可记为：,或,例3 设,，将A按行分块可得一个n维行向量组,称之为A的行向量组；,将A按列分块可得一个m维列向量组,称之为A的列向量组。,考虑下面的n维标准单位向量组：,中第i个分量为1，,其余分量都为0.,任意一个n维向量,都可以唯一地表示成这n个标准单位向量,的线性组合：,3、线性组合的矩阵表示法,向量,可用向量组,线性表出的充分必要条件是,存在m个数,，使得,怎样用向量组,线性表示,，即求出,，怎样求出,转化为求非齐次线性方程组的解，,例5 问,能否表示成,的线性组合？,解,通解方程组为,即方程组的唯一解，,所以,能唯一表示成,的线性组合。,例6 问,能否表示成,的线性组合？,解,同解方程组为,取,所以,能表示成,的线性组合，且方法有很多。,，则有,K可任意取值,3.2 线性相关与线性无关,3.2.1 线性相关性概念,定义,是m个n维向量，,如果存在m个不全为零的数,使得,，则称向量组,线性相关，,为相关系数。,否则，,称向量组,线性无关。,设,称,定义,设,是一个n维向量组。,若,仅当,时成立，,则称向量组,线性无关。,判断线性相关性的方法：,1、一个向量,单个向量,线性相关,单个向量,线性无关,2、两个向量,两个向量线性相关的充要条件为,对应分量成比例。,线性无关,线性相关,P94 1(5),3、三个及三个以上向量,（1）向量个数和向量维数相等,例 问向量组,是否线性相关。,解,设,即,系数行列式,所以此线性方程组只有零解，,这说明,线性无关。,方法：,计算由每个列向量作为一列的行列式的值，,若不等于0，,线性无关。,若等于0，,线性相关。,P94 1(1),（2）向量个数大于向量维数,不需判断，肯定线性相关,P94 1(6),（3）向量个数小于向量维数,方法：,向量组的秩小于向量的个数，,线性相关,向量组的秩等于于向量的个数，,线性无关,例 问向量组,是否线性相关。,解:,所以,，及向量组的秩也为2，,小于向量的个数，,所以向量组线性相关。,怎样求出相关系数,已知向量组,试讨论其线性相关性。,若线性相关，,则求出一组不全为零的数,使得,解：,设,即,因为,所以方程组有非零解。,故向量组线性相关。,方程组的同解方程组为：,令,，可得一组解为,，即,，得,例 若,线性无关，,证明以下向量组线性无关：,证,设,，将已知条件代入得,整理得,因为,线性无关，,必有，,解得,，所以,线性无关。,定理,m个n维向量,线性相关,至少存在某个,是其余向量,的线性组合。,即，,线性无关,任意一个,都不能表示为其余向量的线性组合。,定理,如果向量组,线性无关,，而添加一个同维向量,后所得到的向量组,线性相关，,则,可以用,线性表出,，且表示法是惟一的。,定理,设,为线性相关组，,则任意扩充后的同维向量组,必为线性相关组。,简述为：,相关组的扩充向量组必为相关组，,或者，,部分相关，,整体必相关，,它的等价说法是,无关组的子向量组必为无关组,，或者，,整体无关，部分必无关。,定理,设有两个向量组，,它们的前n个分量对应相等：,如果,为线性相关组，,则,必为线性相关组，,3.2.3 线性相关性的若干基本定理,向量组,称为向量组,的“接长”向量组；,而把向量组,称为向量组,的“截短”向量组；,相关组的截短向量组必为相关组；,无关组的接长向量组必为无关组；,3.3 向量组的秩,3.3.1 向量组的极大线性无关组,定义 设有两个n维向量组,若向量组R中的每个向量,都可以由向量组S中的向量,线性表出，,则称向量组R可以由向量组S线性表出。,根据此定义，,容易证明向量组之间的线性表出关系具有传递性，,即若有三个向量组,如果R可由S线性表出，,S可由T线性表出，,则R必可由T线性表出。,定义,若向量组R可以由向量组S线性表出，,向量组S也可以由向量组R线性表出，,则称这两个向量组等价。,等价性质,设R，S，T为三个同维向量组，,则有,（1）反身性 R与R自身等价。,（2）对称性 若R与S等价，则S与R等价。,（3）传递性若R与S等价，S与T等价，则R与T等价。,例2 设向量组,显然有,，记,易知R，S，T都是线性无关的向量组，,且,可由R线性表出，,可由S线性表出，,可由T线性表出，,具有这种特性的向量组R，S，T,都称为向量组,的极大线性无关组。,定义,设T是由若干个（有限或无限多个）n维向量组成的向量组。,若存在T的一个部分组,满足以下条件：,（1）,线性无关,（2）,对于任意一个向量,，向量组,都线性相关，,则称,为T的一个极大线性无关向量组，,简称为极大无关组。,可以这样理解,在T中的“极大性”：,对于“无关性”来说，,S在T中已经“饱和”了，,即S本身是线性无关组，,在S中任意添加T中的一个,向量,，就成为线性相关组了。,向量组S是T的极大线性无关向量组,等价于T中的任一个向量均可用S中向量,惟一地线性表出。,定理,向量组T与它的任意一个极大无关组等价，,因而T的任意两个极大无关组等价。,例4 由全体n维向量所组成的集合记为,，求,的一个极大线性无关组。,并证明,中的任意n+1个向量一定线性相关。,解,n维标准单位向量组,是线性无关的，,且任一n维向量,都可用,线性表出，,即,从而,是,的一个极大线性无关组。,设,是,中的任意n+1个向量，,由于向量的个数大于向量的维数，,可知,一定线性相关。,定理,设有两个n维向量组,和,且已知向量组R可由向量组S线性表出。,（1）,如果,，则R必为线性相关组。,（2）,如果R为线性无关组，,则必有,推论1,任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相同。,推论2,一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同。,3.3.2 向量组的秩,定义,向量组T的任意一个极大无关组中所含向量的个数成为T的秩，,记为,，或者秩（T）,定理,如果向量组S可由向量组T线性表出，,其秩分别为,则,推论 等价的向量组必有相同的秩。,3.3.3 向量组的秩及极大无关组的求法,当向量组中向量的个数与维数不同时有下面判定定理。,定理5,设m个n维列向量,，取,阶矩阵,设,的秩,若,，则向量组,线性无关。,若,，则向量组,线性相关，,且称矩阵A的秩,为向量组,的秩。,推论,向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，,向量组线性相关。,例 讨论向量组,的线性关系。,解,取矩阵,，对A作初等行变换求秩。,因为,（向量的个数），,故,线性相关。,定义10,设,是n维向量，,如果存在一组实数,使得,成立，,则称向量,可由向量组,线性表示，,或称向量,是向量,的线性组合。,如例9中，,可由,线性表示，,且为,例10中，,也可由,线性表示，,且为,设,为任意一个n维向量，,由于,因而,是可以由n维单位坐标向量线性表示。,定义11,设T是n维向量所组成的向量组，,在T