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第十四章 偏微分方程第十四章 偏微分方程 物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需 要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它 形成一门内容十分丰富的数学学科. 本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程 中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型 椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位 方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法. 1 偏微分方程的一般概念与定解问题 偏微分方程的一般概念与定解问题 偏微分方程及其阶数 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式 不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或 方程组的阶数. 方程的解与积分曲面 设函数u在区域d内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如 果将u代入方程后，能使它在区域d内成为恒等式，就称u为方程在区域d中的解，或称正规 解. 在n+1维空间中是一曲面，称它为方程的积分曲面. ),( 21n xxxuul=),( 21n xxxul 齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程 对于未知函数和它的各阶偏导数都是 线性的方程称为线性偏微分方程.如 ()() u =+()() u yxfuyxc y yxb x yxa, + 就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项 ，如上式的f(x,y).若 性方程 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的， 称它为拟线性方程.如 自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的. 拟线性方程与半线 ()()()()()()0, 2 2212 2 =+ + + + + uyxc y uyxb x uyxa y uyxa yx uyxa x 就是拟线性方程，在拟线性方程中 () , 222 11 uuuuu uyxa ，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方 程的主部为 ()() 2 2 2212 2 2 11 , u uyxauyxa u uyxa + 如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如 2u yyxx (), 2 u yxa()()()0, 2 = + + + y uyxd y uyxc u yxb 22 yxyx 就是半线性方程. 非线性方程 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如 1)()1 (= 222 + + yx u 就是一阶非线性偏微分方程. uu 定解条件 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运 的情况或在边动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动 界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开 始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件. 定解问题称为初值问题或柯西问题. 也称为边值 u在区域d内满足泛定方程，当点从区域d内趋于给出初值的超 平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u及它的导数的极限处处存在 而且满足相应的定解条件，就称u为定解问题的解. 解的稳定性 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变 化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的. 定解问题的适定性 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说 定解问题的提法是适定的. 定解问题 给定了泛定方程（在区域d内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定 解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类. 1 初值问题 只有初始条件而没有边界条件的 2 边值问题 只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题. 3 混合问题 既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时 问题）. 定解问题的解 设函数 2 一阶偏微分方程 一阶偏微分方程 一、 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理 一阶偏微分方程的通解 一阶偏微分方程的一般形式?是 0),( 21 21 = , n n x u xx xxf 或 ()0, 211 uu uxll = nn pppuxxfll，其中 ()ni x u pi, 2 , 1l= i = 如解出p1，可得： 当选取“任意元素”时，可得方程 程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不 一阶方程的柯西问题 p1 = f (x1 , x2 , xn , u , p2 , pn ) 当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适 的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解. 在偏微分方 在于求通解. () = = =xx n u ppxxxf x | , 221 1 0 ll 称为柯西问题，式),(xx l () n n xx u , , 2 11 l 中 u 2n 为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理. 1 2n2n12n 一邻域内解析，而 柯西柯娃列夫斯卡娅定理 设 f ( x , x ,lx , u , p ,l p ) 在点 ( x 0 , x0 ,l x 0 , u0 , p 0 ,l p 0 ) 的某 ),( 2n xx l 2n 在点( x20 n 0 ) 的某邻域内解析，则柯 问题 ( x1xn) 的某一邻域内存在着惟一的解析解. 较大，因它要求f及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未 二、 一阶线性方程 一阶齐次线性方 特征方程?特征曲线?初积分(首次积分) 给定一阶齐次线性方程 () ,lx 00 ,l 西在点 这个定理应用的局限性 必能满足这种条件. 对高阶方程也有类似定理. 1 程 ()0, 2 = , 1211 1 + n xx 式中ai为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一时 n u xl (1) nn xxa u xxxall 点不同为零(下同).方程组 ( i i xxa x ,) n x t , d d l= ) ( i = 1,2,ln 21 或 ()()() nnnn xxxaxxxxxxa, 2121211 lll 称为一次线性偏微分方程的特征方程.如果曲 ，就称曲线 n x a xxd , dd 2 21 l= (2) 线l: xi = xi (t) ( i=1,2n )满足特征方程 (2)l为一阶齐次线性方程的特征曲线. 阶齐,l ? 在有些书中写作 0),( 1 21 = n n x u x u t u uxxxtfll 如果函数 ( x1 , x,xn )在特征曲), 2 , 1()(nit ii l 2 ,l x线x=上等于常数，即 ( x1(t) , x2(t) ,l xn(t) ) = c 就称函数 ( x1, x2,l xn )为特征方程). 方解 1o 连续可微函数, x1)的解的充分必要条件是： , n1 (2)的初积分(首次积分 齐次程的通 u = ( x1, x2,l n ) 是齐次线性方程( ( x1, x2,l xn )是这个方程的特征方程的初积分. 2o 设i ( x1 , x2 ,l xn ) ( i = 1,2,l) 是特征方程(2)在区域d上连续可微而且相互 独立的初积分(因此在d内的每一点，矩阵 n n xxx x 21 2 2 1 llll 的秩为n1) ，则 1 ( x1 , x2 ,l xn ) ,l n-1 ( x1 , x2 ,l xn ) ) 1 xx 2 11 1 l n xxx 21 l 2 nnn111 l u = ( 是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中为n个变量的任意连续可微函数. () 柯西问题 考虑方程的柯西问题 ()= = n xx xx,| 2 0 l = = n i i ni u x u xxxa0, 1 21 l 1 2 n 11 式中 ( x ,l xn )知的连续可微函数. 2 设 ( x, x,l x) ( i = 1,2,l n1 为已 ) 为特征方程的任意n1 i 个相互独立的初积分，引 入参变量 (1, 2 , 1=nil)，从方程组 i () () () 2 llllllllll = 12 0 11 , n xxxl = 2 0 12 , n xxxl = 12 0 11 , nnn xxxl 解出x2 ,l xn 得 () ()= 121 , nnn xl 12122n lllll 则 它的求性方程相同 一阶拟线性方程 阶拟线性方程为 ( =,xl, 柯西问题的解为 u = ( 2 ( , 2 ,l n,l n ( 1 , 2 ,l n-1 ) ) 2 非齐次线性方程 1 -1 ) 解方法与拟线. 三、 一 )(= n xxr u ux 21, ,l) = n i n i i ux x xxa 1 21 ,l 中a及r为x , x,l x , u的连续可微函数且不同时为零. 它的特征方程 其 i1 2 n 一阶拟线性方程的求解和 () () =uxxxr u , d t n d 21 l na t i ), 2 , d l 或 = xid =iuxxx n 1(, 21 l ()()()uxxruxxauxxa nnnn , 1111 lll ud 为原拟线性方程的特征方程.如果曲,n ) , u = u(t) 满足特征方程，则称 方程的特征曲线. 设 ( x,lxn,u ) 积分，那末对于任何 ( ( x1 ,l xn , u) , n ( x1 ,l xn , u) ) = 0 () xx n dd 1 l= 线l: xi = xi (t) ( i=1,2,l 它为拟线性 ( i = 1,2,l n) 为特征方程的n个相互独立的初 i1 连续可微函数， 2 ( x1 ,l xn , u) ,l 1 都是拟线性方程的隐式解. 柯西问题 考虑方程的柯西问题 () () = = = = n xx n i i ni xxu uxxxr x u uxxxa ,| , 2 1 2121 0 11 l ll 的连续可微函数. 设 1 ( x1 , x2 ,l xn , u) n个相互独立的初积分， 引入参变量 n 为已知 ,l n ( x1 , x2 ,l xn , u) 为特征方程的 n , 21 l , 从 () () () nn uxxx, 2 0 1 l = = n n uxxx , 12 0 11 llllllllll l 解出 x2 ,l xn , u = n uxxx, 22 0 12 l () () () = = n nnn u , , 21 21 122 l lllllllll = n x x , , 2 l l 则由 ()()()() ()()()0, , 21 212 = nnn nnn u , ,xxxuxxxuxxxv 21121 212 lll 四、 一阶非线性方程 完全解通解奇异解 llll 给出柯西问题的隐式解. 一阶非线性方程的一般形式为 () ()ni x p i i , 2 , 1l= = u pppuxxxf nn 0, 2121 ll = 若v ( x 若一阶偏微分方程的解包含任意n个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 1, x2 ,l xn , u , c1 , c2,lcn ) = 0为方程的完全解，从 ()ni c v v, 2 , 10,0l= i = 消去ci ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分). 以两个独立量为例说明完全解与变通解、奇异解的关系，设方程 () yx z q z pqpzyxf = =,0, v (x,y,z,a,b)=0 ( 为任意常数), 有完全解 a,b 则方程等价于从方程组 () = + = + = 0,0 0, q z v y v p z v x v bazyxv 消去a,b所得的方程. 利用常数变易法把a,b看作x, y的函数，将v (x,y,z,a,b)=0求关于x, y的偏导数，得 + vv 0= + + + 0= + + y b b v y a a v q z v y v x b b v x a a p zx v 那末 0= , 0 + = + y b b v y a a v x b b v x a a v 与v=0联立可确定a,b.有三种情况： 1 0 ba ，将其与 vv 联立可确定不含任意常数的奇异解. 2 如 v(x,y,z,a,b)=0 0= b ，即回到完全解. = = = yx b y a x a () () 0 , = , 3 当0 / ,0 / b 时，必有 vv ayx 2 ，则a与b存在函 数关系：b=(a)，这里,b)=0和 ba ，这时，如果不属于情形 ( )为任意可微函数，并从方程v(x,y,z,a v a v b a+= 0消去 方程的通解. ()x xx u p pp nn1212 0, ,ll= 存在且连续，称 a,b，可确定 定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. 特征方程特征带特征曲线初积分 在一阶非线性方程： f 中，设f对所有变量的二阶偏导数 ()ni ffp ppt i ii , 2 , 1) d d l= f p ufx n i i d , = = t i d 1= u p xt i i ( + = 或 u f p x f ppux p f x p f n n n n i i i n n + = + = = = = ddddd 1 1 1 12 2 1 ll 为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为xi=xi(t), u=u(t), pi=pi(t) (i=1,2,n)称它为非线 曲线.如果函数() nn pppuxxxg, 2121 ll在特征方程的任一解xi=xi(t) (i=1,2,ln), u=u(t), ii i=1,2,ln)上等于常数，即 ( )( ) u f p x f p f p p f x = d 1 性方程的特征带.在x1,x2,lxn,u空间的曲线xi=xi(t), u=u(t) (i=1,2,n)称为非线性方程的特征 p=p(t) ( ( ) ( )( )( )( )g x t x tx t u tptp tc nn1212 ,ll= tp 那末函数() n pppuxxxg, 21 ll称为特征方程的初积分. 求完全解的拉格朗日恰比方法 x,y,z,p,q)=0，选择使雅可比式 n21 考虑两个变量的情况. () 对于方程f( () 0 , , qp 的一个初积分g(x,y,z,p,q).解方程组 a (a为任意常数) q(x,y,z,a) 的通解v(x,y,z,a,b)=0(b,y,z,p,q)=0的完全解. 例 求方程zp 22 解 方程的特征方程为 gf () () f x y z p q g x y z p q , , , , , , , , = = 0 得p(x,y,z,a)及.则方程 dz=pdx+qdy 是积分dz=pdx+qdy出现的任意常数)就是方程f(x () qxy 222 +=+的完全解. ()()()qyxzy q pqpz z qz y pz x 222222222 22 d 222 d 2 d 2 d + = + = + = 这里成立 pd qpzx zp x x pzzpddd = + 2 x2 . 解方程组 所以特征方程的一个初积分为z2p () () zpqxy z pxa 22222 222 0+= = (a 任意常数) 得 为 p ax z q ya z = + = , 22 积分微分方程 dz ax z dx z dy+ ya = + 22 得完全解 zx xayyaa xx 222 2 =+ + ln a yya b 2 + + (b为任意常数) 某些容易求完全解的方程 g=p是特征方程的一个初积分.从f(p,q(a为任意常数)得q=(a)，积分 dz=adx+(a)dy 得完全解 1 仅含p,q的方程f(p,q)=0 )=0与p=a z=ax+(a)y+b (b为任意常数) 2 不显含x,y的方程f(z,p,q)=0 特征方程为 zzqp f y f x = = + = = ddddd f q q f p p f q f p z qp 因此qdp-pdq=0，显然g q p =为一个q=pa(a为任意常数)解得p=(z,a). 于是由 得 初积分，由f(z,p,q)=0， dz=(z,a)dx+a(z,a)dy () z z , d ) +=bayx a (b为任意常数 可确定完全解. 3 变量分离形式的方程()f x p iii n , = =0 i1 特征方程为 niin n n i i n x f xp p p n n p f p f z f x f x = = = = ddddd 11 ll p 1 = 1 gi=fi(xi,pi) , (i=1,2,ln).从fi(xi,pi)=ai (i=1,2,l解出 得完全解 () += n bxaxzd, 式中ai,b为任意常数，且ai i n = = 1 0. 克莱罗方程 方程 ()zp xf p pp ii n =+ 12 ,l 称为克莱罗方程，其完全解为 c xf c c ii n + = 12 1 , 111 可取初积分,n) pi=i(xi,ai) =i iiii 1 n i=1 ()zcn i =,l 对c得 i微分 x f c i i = (i=1,2,n) 与完全解的表达式联立消去ci即得奇异解 克莱罗方程，它的完全解是 对a,b微分，得x=b,y=a，消去a,b得奇异解 发甫方程 方程 p(x,y,zx,y,z)dz=0 (1) ,q,r二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一 关系式时，则称它为完全可积. . 例 求方程zxpyqpq=0的完全解和奇异解. 解 这是 z=ax+by+ab z=xy )dx+q(x,y,z)dy+r( 称为发甫方程，如果p 1 件 当且仅当p,q,r满足条件 方程完全可积的充分必要条 0)()(= )(+ + y p x q r x r z p q z q y r p (2) 时，存在一个积分因子(x,y,z)，使 du1=(pdx+qdy+rdz) 从而方程的通解为 u1(x,y,z)=c 特别，当 0, 0, 0= = = y p x q x r z pq y r 时，存在一个函数u(x,y,z)满足 z z r u qp uu yx = = =, 从而 du=pdx+qdy+r z u(x,y,z)=c d 所以方程的通解为 所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族. 定理 设对于发甫方程(1)在某区域(2)成立，则对d内任一点m(x,y,z) 而且只有一个这样的积分曲面通过. 2 方程积分曲面的求法 设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z看成x,y的函数(设r(x,y,z)0)，于是原 d上的完全可积条件 一定有方程的积分曲面通过， 方程化为 r q xy r p zddd= 由此得方程组 ()( ) ()( )4 = = , 3, 1 1 zyxq r q y z zyxp r p x z 把方程(3)中的y 程( )与此方程组发甫方1等价. 看成参变量，积分后得一个含有常数 % c 的通解 ()cyxz ;,= 然后用未知函数( ) c y代替常数 % c ，将( )()zx y c y=, ;代入方程(4)，在完全可积的条件下，可 得( ) c y的一个常微分方程，其通解为 ( )() ,c yy c= c为任意常数，代回( )()zx y c y=, ;中即得发甫方程的积分曲面 z=(x,y,(y,c) 到同 解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因 由于发甫方程关于x,y,z的对称性，在上面的讨论中，也可把x或y看成未知函数，得 样的结果. 例 求方程yzdx+2xzdy+xydz=0的积分曲面族. 子= 1 xyz ，用它乘原方程得 0=+ zyx dd2dzyx 积分后得积分曲面族 方程化为等价的方程组 xy2z=c 也可把 = yy x z x z 把y看成参变量，积分 = zz2 z xx z = zxc 得通解 = % 用未知函数( ) c y代替 % c ，将( )yczx =代入方程 y z y z2 = 得 ( )( ) y yc y yc 2 d d = 积分后有 ( ) c y c y = 2 所以原方程的积分曲面族是 xy2z=c 一阶线性微分方程组 一阶线性偏微分方程组的一般形式 两个自变量的一阶线性方程组的形式是 五、 ()nifuc x u b t u nnn j a i j jij jj ij j ij , 2 , 10 111 l=+ + = 或 () u u nn j 1 nifuba t i j jij j ij i , 2 ,0 11 l=+ + = (1) 其中aij,bij,cij,fi,aij,bij,fi是(x,t)的充分光滑函数. 特征方程特征方向特征曲线 x = = jit a ijijij , 1 , 0) d det( jix, 0d 称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t)满足特征方程的方向 t x d d 称为该点的特征方向.如果一条 ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 狭义双曲型方程与椭圆型方程 如果区域d内的每一点都存在n d内为狭义双曲型的. 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在d 狭义双曲型方程组的柯西问题 化方程组为标准形式对角型 ij)=0有n个不同的实根1(x,t) ,ln(x,t)，不妨设 ),(),(),( 21 txtxtx n 曲线l为特征曲线. 个不同的实的特征方 向，那末称方程组在 如果区域d内为椭圆型的. 1 因为det(aij- 称方程在点p为超双曲型 (iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点 型、双曲型或抛 = =+ n i i x u 1 2 2 0 椭圆型： = =+ n i i x u x u 2 2 2 2 1 2 0 双曲型： 超双曲型：()10 22 =+ mn u 22 u mn 11 =+= xx imi ii 抛物型：()00 2 =+ 1 2 = x i i 式中为不包含二阶导数的项. m u mn 两个自变量方程的分类与标准形式 方程的一般形式为 0,2 2 2212 = + + yx uyxf y a yx a (2) ，不同时为零. 222 uuuuu 2 11 + x a a ,a ,a 为x,y的二次连续可微函数 111222 方程 2 2a dxdy+a dx2=0 a dy 111222 方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方 p(xd内a11a12的符号将方程分 称为 类： 当0时，方程为双曲型； 当=0时，方程为抛物型； 当0，存在两族实特征曲线 11 = ), y( 1 x=，,( 2 yx)=和,=+st=s 方程化为标准形式 ),( 22 s u uts t u s u = 或 22 t u ),( 1 2 = uu u u （ii） 抛物型: 因=0cy ，只存在一族实的特征曲线x)( ,=，取二次连续可微函数 ),(yx，使0 ),( ),( yx ，作变换)y,(x，),(yx=，方程化为标准形式 ),( 2 2 = uu u u （iii） 椭圆型：因0， 对任意 =ji1, xd任意的a和 = n i i n ji a 1 2 1, d内椭圆型方程的解，它在d内二次连续可微，在 i有 ( ) jiij aaax 定理1 设u(x)为d上连续，且不是常 数，如f(0（或f(x)0），则u(x)不能在dx)的内点取非正最小值（或非负最大值）. 如果过边界s上的任一点p都切且完全包含在区域d内，则有 2次连续可微，在 可作一球，使它在p点与s相 定理 设u(x)为椭圆型方程在d内二d上连续可微的解，且不是常数， 并设f(x)0（或f(x)0）.若u(x)m处取非正最小值（或非负最大值），只要 外法向导数 在边界s上某点 n u 在点m存在，则 ()() 0 n mu ) 2 定解问题 (i) 第一边值问题（狄利克莱问题） ( )( )luu= (s) (ii) 第二边值问题（诺伊曼问题） ( )= n u lu (s (iii) 第三边值问题（混合问题 ( ) ) 其中 n为s的外法线方向. ） ( )( )=+ ub n u (s) a(), ),()在s上连续， 的外法线方向，a2()+b2()0. f, alu b(n是sa() 3 解的惟一性问题 设c(x)及b()不同时恒等于零，如果定解问题lu= lu= 0,b()0，且 的解存 在，则是惟一的，设c(x)及b()都恒等于零，如果定解问题lu=f,lu=的解存在，则除相差一 个常数外，解是惟一的. 抛物型方程的极值原理与解的惟一性定理 设q为柱体dt0,，在柱体内部 考 ) dt( , 0 虑抛物型方程 ()()() = + + i tf u utc u tb u ,xxx nn talu 2 ,x = ji i i ji ij txxx 1,1 式中aij(x,t),bi(x,t),c(x,t),f(x,t)在q上连续，0),(txc且) n jia at ,x正定. ( =ji ij a , lu=f(x,t)在d(0,t)内连续可微在 1 1 强极值原理 设u(x,t)为抛物型方程q上连续的解. t的某点(x ,t )取非负的最大值，即 ( 并设f(x)=0，若u(x,t)在d(0, 00 )(),max, 0 00 =mtutxu q x 满p(x,t)满足t0) 点(x0,y0,t0)的依赖区域为t=0上的圆. (xx0)2+(yy0)2a2t02 在t=0上圆(xx0)2+(yy0)2a2t02的决定区域是以(x0,y0,t0)为顶点的圆锥体区域(图14.5(a). 区域中，解的数值受到 区域外，解的值不受x1,x2上的初始条件影响，当区域x1,x2缩为一点x0时，点x0的影响区域 为x轴上区间(图14.4(c) x 对二维波动方程， (xx0)2 (tt0) 初始平面t=0上一点(x0,y0,0)的影响区域为圆锥体(图14.5( ). (xx0)2+(yy0)2a2t2 (t0) (1) 锥体(1)的包络面所围 +(yy0)2a2(tt0)2 b 初始平面t=0上某一区域的影响区域，就是由此区域上每一点所作的圆 成的区域. 图14.5 对三维波动方程，点(x ,y ,z ,t )的依赖区域为t=0上的球面 (xx0)2+(y 0 z0)2a2t02 以它为底，以(x0,y0,z0,t0)为顶点的圆锥体区域 (xx0)2+(yy0)2+( 2(tt0)2 (tt0) 锥面 (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=a2t2 (t0) (2) 存在着下述本质区别. 波动方程，点(x ,y ,z ,0)的影响区域为 (xx0(t0) 若在某一有界区域受到此初始扰动的影响区域就是所有以点 0000 (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=a2t02 初始平面t=0上的球体 y )2+(z 的决定区域是 zz )2a 0 在初始平面t=0上点(x0,y0,z0,0)的影响区域为 初始平面上某一区域的影响区域就是它上面的每一点所作的锥面(2)的包络面围成的区域. 二维与三维波的传播 5 惠更斯原理 对三维 000 )2+(yy0)2+(zz0)2a2t2 有一个初始扰动，在时刻t m为中心，以at为半径的球面全体，当t足够大时，这种球面族有内外包络面，称外包 区域就是受到扰动 理或称无后效现象. (x ,y )的影响区域为 0 若在有界区域内有一个初始扰动，则波的传播只有前阵面而无后阵面，所以当的初始扰 动传到某点后，扰动对此点的影响不会消失，不过随时间的增加而逐渐减弱.这种现象称为 络面为传播波的前阵面，内包络面为后阵面.前阵面以外的部分表示扰动尚未传到的区域， 后阵面以内的部分是波已传过并恢复了原来状态的区域，前后阵面之间的 影响的部分，在三维，波的传播有清晰的前阵面与后阵面，称为惠更斯原 6 波的弥散 对二维波动方程，点 00 (xx )2+(yy )2a2t2 0 波的弥散，或说波具有后效现象. 2. 热传导方程 热传导方程的一般形式为 ()txfua t u , 2 = 式中f(x连续有界函数. ,t)为 . 热传导方程是描述热的传导过程，分子的扩散过程等物理规律的 对于n维热传导方程的柯西问题的初值条件为 ()()ux xxxin t ni = = p点法线平行的直线相交不多于一点 p1及p2的法线的夹角(p1,p2)满足 () p par, p p12 1 2 式中a,为正常数，0 , 0 二维： () xta= , , 2 x 1 ()() u xyt rxyat rat =+ , , 1 0 22 1 2 a a tr = , 2 222 三维： () () ()()()( 4 , 2 1 222 zyxr ar atr tzyxu+= = (ii) 称满足 () = = = xu x u a u t0 2 2 2 0 的解为热传导方程柯西问题的基本解，它的形式是 () t () u xt at e x t a t = , 1 2 2 2 4 同样方法可以定义其他定解问题的基本解. 由定义可见，基本解表示由集中量（如点热源，点电荷等）所产生的解，下段介绍的格 它们为点源函数，或影响函数. 林函数，黎曼函数也具有这种特点，统称 广义解 在区域d中给定二阶线性方程 f cu x u b xx u alu n i i i n ji ji ij =+ + =11, 2 d上充分光滑（如二阶连续可微）的函数序列，当n时，un(x)一致（或 在适当意义下）收敛于函数u(x)，同时也一致（或在适当意义下）收敛于f(x)，则称u(x)为 lu=f的广义解. 2 设函数u(x)在区域dd的边界距离小于某 的试验函数）有 式中f在d上连续. 1 设un(x)为 lun 内连续，如果对于任意二次连续可微且在与 一正数的点上恒等于零的函数（与无关，称为d = ful0d * d 那末称u(x)为方程lu=f的广义解. 有时为了区别广义解，称以前定义的解为古典解，古典解一定是广义解.但因广义解不 例如，当(x)， 一定光滑，甚至不可微，所以不一定是古典解. (x)只是x的连续函数时，函数 u(x,t)=(x+t)(xt) 为波动方程 0 2 2 2 2 = t u x u 的广义解，但不是古典解. 五、 使用更为普遍. 组合，得到定解问 题的解以下对不同类型 方程说明分离变量法的具体解法. 弦振动方程 两端固定的弦振动齐次方程混合问题 二阶偏微分方程的常用解法 1. 分离变量法 它是解线性微分方程常用的一种方法，特别当区域是矩形、柱体、球体时 这种方法是先求满足边界条件的特解，利用迭加原理，作这些特解的线性 求特解时常归结为求某些常微分方程边值问题的特征值和特征函数 1 ( )( ) ()()=0, 0,ttlut = = ()( )u l tt 2 ,= 作变换 ()()( )( )( ) u x tv x tt x l tt,=+ 121 可化为关于v(x,t)的齐次边界条件求解. 热传导方程 热传导方程的第一边值问题 () = 0) 则称a为正定算子.此处(u,v)表示希尔伯特空间的内积，|u|2=(u,u). 2. 变分原理与广义解 定理 设a是正定算子，u是方程au=f在ma上的解的充分必要条件是： u使泛函 f(u)=(au,u)2(f,u) 取极小值. 上述将边值问题化为等价的求泛函极值问题的方法称为能量法.在算子的定义域不够大时， 泛函f(u)的极值问题可能无解.不过对于正定算子，可以开拓集合ma，使在开拓了的集合上，泛 函的极值问题有解.为开拓ma，在ma上引进新的内积u,v=(au,v)，定义模|u|2=u,u=(au,u)，在 模|u|的意义下，补充极限元素，得到一个新的完备希尔伯特空间h0，在h0上，泛函f(u)仍然有 意义，而泛函的极值问题有解.但必须注意，此时使泛函f(u)取极小的元素u0不一定属于ma，因 此它不一定在原来的意义下满足方程au=f及边界条件.称u0为广义解. 3. 极小化序列与里兹方法 在处理变分问题中，极小化序列起着重要的作用.考虑泛函 f(u)=(au,u)2(f,u) 以d表示泛函的极小值.设在希尔伯特空间中存在一列元素un (n=1,2)，使 l, ()duf n n = lim 则称un为极小化序列. 定理 若算子a是正定的，则f(u)的每一个极小化序列既按h空间的模也按h0的模收敛于使 泛函f(u)取极小的元素. 这个定理不但指出利用极小化序列可求问题的解，而且提供一种近似解的求法，即把极小 化序列中的每一个元素当作问题的近似解. 设算子a是正定的，构造极小化序列的里兹方法的主要步骤是： (1) 在线性集合ma中选取h0中完备的元素序列i ， (i=1,2) 并要求对任意的n,1,2, n线性无关.称这样的元素为坐标元素. l, (2) 令ua nkk k n = = 1 ，其中ak为待定系数.代入泛函f(u)，得自变量a1,a2,an的函数 ()()( = = n j jj n