微积分极限习题课.pdf

第一章第一章 习题课习题课 一、主要内容一、主要内容 二、计算二、计算 三、典型例题三、典型例题 函数函数 极限极限 连续连续 一、主要内容一、主要内容 函函 数数 的定义的定义 分段函数分段函数 基本初等函数基本初等函数 复合函数复合函数 初等函数初等函数 函函 数数 的性质的性质 奇偶性奇偶性 单调性单调性 有界性有界性 周期性周期性 双曲函数与双曲函数与 反双曲函数反双曲函数 1 1、函数的定义、函数的定义 2、分段函数、分段函数 3 3、复合函数、复合函数 4 4、初等函数、初等函数 5 5、函数的简单性质、函数的简单性质 （奇偶性、周期性、单调性、有界性）（奇偶性、周期性、单调性、有界性） 基本初等函数基本初等函数 1）幂函数幂函数 )( 是常数是常数 xy 2）指数函数）指数函数 )1, 0( aaay x 3）对数函数）对数函数 )1, 0(log aaxy a 4）三角函数）三角函数 ;cos xy ;sin xy 5）反三角函数）反三角函数 ;arccos xy ;arcsin xy ;cot xy ;tan xy ;arctan xy ycotarcx 左右极限左右极限 两个重要两个重要 极限极限 求极限的常用方法求极限的常用方法 无穷小无穷小 的性质的性质 极限存在的极限存在的 充要条件充要条件 判定极限判定极限 存在的准则存在的准则 无穷小的比较无穷小的比较 极限的性质极限的性质 数列极限数列极限 函函 数数 极极 限限 axn n limAxf xx )(lim 0 Axf x )(lim 等价无穷小等价无穷小 及其性质及其性质 唯一性唯一性 无穷小无穷小 0)(lim xf 两者的两者的 关系关系 无穷大无穷大 )(limxf 1 1、极限的定义、极限的定义 2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大 3 3、无穷小的阶、无穷小的阶 概念概念 定理与性质定理与性质 .)0()0()(lim: 00 0 AxfxfAxf xx 定理定理 （用来证明分段函数在分段点极限的存在性）（用来证明分段函数在分段点极限的存在性） 5 5、极限的性质（运算性质、唯一性、保号性）、极限的性质（运算性质、唯一性、保号性） 4 4、 0)(lim),()()(lim6 xxAxfAxf 、 8、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系 9、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质 7 7、判定极限存在的准则（单调有界、夹逼准则）、判定极限存在的准则（单调有界、夹逼准则） 1010、两个重要极限、两个重要极限 (1) 1 sin lim 0 x x x (2) e x x x ) 1 1(limex x x 1 0 )1(lim 左右连续左右连续 在区间在区间a,ba,b 上连续上连续 闭区间上连续闭区间上连续 函数的性质函数的性质 初等函数初等函数 的连续性的连续性 间断点定义间断点定义 连连 续续 定定 义义 0lim 0 y x )()(lim 0 0 xfxf xx 连续的连续的 充要条件充要条件 连续函数的连续函数的 运算性质运算性质 振 荡 间 断 点 振 荡 间 断 点 无 穷 间 断 点 无 穷 间 断 点 跳 跃 间 断 点 跳 跃 间 断 点 可 去 间 断 点 可 去 间 断 点 第一类第一类 第二类第二类 概念概念 1 1、连续的定义、连续的定义 )()(lim, 0lim 0 0 0 xfxfy xxx 2 2、单侧连续、单侧连续 3 3、间断点的定义及分类、间断点的定义及分类 定理与性质定理与性质 4 4、连续的充要条件、连续的充要条件 5 5、初等函数的连续性、初等函数的连续性 6 6、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质 二、计算二、计算 1 1、用定义证明极限；、用定义证明极限； 2 2、证明数列极限存在，并求极限值；、证明数列极限存在，并求极限值； 3 3、求极限；、求极限； （已知函数的极限，确定（已知函数的极限，确定a,ba,b等）等） 4 4、比较无穷小、判断无穷小的阶；、比较无穷小、判断无穷小的阶； 5 5、讨论分段函数、函数的连续性；、讨论分段函数、函数的连续性； （利用连续性求函数表达式中的参数）（利用连续性求函数表达式中的参数） 6 6、求函数的间断点、判断其类型；、求函数的间断点、判断其类型； 7 7、讨论方程的根。、讨论方程的根。 求极限的常用方法求极限的常用方法 a.利用极限运算法则（多项式与分式函数代利用极限运算法则（多项式与分式函数代 入法求极限、消去零因子法求极限等）入法求极限、消去零因子法求极限等） b.利用两个重要的极限；利用两个重要的极限； c. 利用夹逼定理利用夹逼定理; d.利用无穷小与有界变量之积利用无穷小与有界变量之积; e.利用等价无穷小；利用等价无穷小； f.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限; g.利用函数的连续性。利用函数的连续性。 常用等价无穷小常用等价无穷小: : ,0时时当当 x )0(1)1(, 2 1 cos1 , 1),1ln(,arctan arcsin,tan,sin 2 aaxxxx exxxxx xxxxxx a x 三、典型例题三、典型例题 例例1 1 n n nn x xaxxaxax lim , 1121 求求 设设 例例2 2 n n n x nnn x lim, 1 1 1 22 求求设设 例例3 3 )cos1(coslim)1(xx x 求极限求极限 x xxx ) 1 cos 1 (sinlim)2( )3( )1ln()1( cos1 lim)4( 0 xe x x x ) sin 1 2 (lim)5( 4 1 0x x e e x x x 例例4 4 的值。的值。求求 设设 ba baxxx x , , 0)21(lim 332 例例5 5 型。型。的间断点，并指出其类的间断点，并指出其类 求求)0( 2 lim)( 22 2 x x x xf nn n n 例例6 6 例例7 7 例例9 9 例例8 8 的连续性。的连续性。讨论讨论 01sin 1)1( 1 23 1 )( 1 2 2 xx xox x xx x xf x 处处连续。处处连续。 ）内）内，在（在（点连续，试证点连续，试证 在在且且 内有定义，内有定义，在在设设 )( 0)(),()()( ,),()( xf xxfyfxfyxf Ryxxf 的正根。的正根。不超过不超过 至少有一个至少有一个证明方程证明方程 1 12 x x 例例1010 必是常数。必是常数。 处连续，试证处连续，试证在在且且 对任意的实数满足对任意的实数满足设设 )( 0)(, 1 )()()( xf xxf xfxfxf 例例1111 ).1()(lim ),1()(limba,2 )(1 1 2 sin lim)(12 1 1x 2 12 n fxf fxf xf x bxaxx xf x n n 的值，使得的值，使得）确定）确定（ 的表达式；的表达式；）求（求（ 、设、设例例 .)( )