南京大学《声学基础》课后习题答案.pdf

习题习题 1 1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f，质量为m，求它的弹性 系数。 解解：由公式 m m o M K f 2 1 得： mfKm 2 )2( 1-2 设有一质量 m M用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子 的质量和弹性均可忽略。试问： （1） 当这一质点被拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ （2） 当外力去掉后， 质点 m M在此力作用下在平衡位置附近产生振动， 它的振动频率应如何表示？ （答： l g f 2 1 0 ，g为重力加速度） 图 习题 12 解：解： （1）如右图所示，对 m M作受力分析：它受重力 m M g，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两 力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则sin l 受力分析可得：sin mm FM gM g l （2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位 移的方向相反。由牛顿定律可知： 2 2 d d m FM t 则 2 2 d d mm MM g tl 即 2 2 d 0, d g tl 2 0 g l 即 0 1 , 2 g f l 这就是小球产生的振动频率。 1-3 有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置 0 x处，挂着一质量 m M，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的 力由何产生？并应怎样表示？ (2) 当外力去掉后，质量 m M在此恢复力作用下产生振动，它 的振动频率应如何表示？ (3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解解：首先对 m M进行受力分析，见右图， 0 )( 22 0 0 22 0 0 x x T xl xl TFx （ 0 x ， 2 0 22 0 2 0 22 0 )()( ,xlxlxx 。 ） 22 0 22 0) ( x T xl TFy 00 x T xl T )( 00 xlx Tl 可见质量 m M受力可等效为一个质点振动系统，质量 m MM ，弹性系数 )( 00 xlx Tl k 。 （1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为 )( 00 xlx Tl F ，方向为竖直向下。 （2）振动频率为 m Mxlx Tl M K )( 00 。 （3）对分析可得，当 2 0 l x 时，系统的振动频率最低。 1-4 设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的 0 x位置处悬有一质量为M 的重物。 求该系统的固有频率。 提示： 当悬有M时， 绳子向下产生静位移 0 以保持力的平衡， 并假定M 离平衡位置 0 的振动位移很小，满足 0 条件。 图 习题 1-3 图 习题 14 解：解：如右图所示，受力分析可得 0 0 2 cos 4 cos 1 2 TMg Mg l l 又 0 ，TT，可得振动方程为 2 0 2 d 2 d 2 TM l t 即 2 0 2 d44 d TT M tll 00 1411 222 T lMgg f MM 1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为 0 ，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。 解解：设振动位移)cos( 0 t a ， 速度表达式为)sin( 00 tv a 。 由于 00 t ，0 0 t v， 代入上面两式计算可得： t 00cos ； tv 000 sin。 振动能量 22 0 2 2 1 2 1 amam MvME。 1-6 有一质点振动系统，已知其初位移为 0 ，初速度为 0 v，试求其振动位移、速度、和能量。 解：解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为 m K，质量为 m M，取正方向沿x轴，位移 为。 则质点自由振动方程为 2 2 0 2 d 0, dt （其中 2 0 , m m K M ） 解得 00 cos(), a t 000000 d sin()cos() d2 aa vtt t 当 00t ， 00t vv 时， 00 000 cos cos() 2 a a v 222 000 0 0 0 00 1 arctan a v v 质点振动位移为 222 0 0000 000 1 cos(arctan) v vt 质点振动速度为 222 0 0000 00 cos(arctan) 2 v vvt 质点振动的能量为 2222 000 11 () 22 m am EM vMv 1-7 假 定 一 质 点 振 动 系 统 的 位 移 是 由 下 列 两 个 不 同 频 率 、 不 同 振 幅 振 动 的 叠 加 tt2sin 2 1 sin，试问： (1) 在什么时候位移最大？ (2) 在什么时候速度最大？ 解解：tt2sin 2 1 sin， tt dt d 2coscos tt dt d 2sin2sin 22 2 2 。 令0 dt d ，得： 3 2 kt或 kt2， 经检验后得： 32 k t时，位移最大。 令0 2 2 dt d ，得： kt 或) 4 1 arccos(2kt， 经检验后得： k t 2 时，速度最大。 1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示 )cos()cos( 2211 tt 试证明 )co s (t a 其中)cos(2 1221 2 2 2 1 a ， 2211 2211 coscos sinsin arctan 证明：证明：)cos()cos( 2211 tt 11112222 c o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i ntttt 11221122 c o s(c o sc o s)s i n(s i ns i n)tt 设 1122 coscosA ， 1122 (sinsin)B 则 cossinAtBt= 22 cos()ABt （其中arctan() B A ） 又 222222 11221 212 coscos2coscosAB 2222 11221212 s i ns i n2s i ns i n 22 121 21212 2(coscossinsin) 22 121 221 2cos() 又 a r c t a n () B A 1122 1122 s i ns i n a r c t a n () c o sc o s 令 2222 121 221 2cos() a AB 则 )co s (t a 1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示 twtw 2211 coscos ( 12 ww ) 试证明 )cos( 1 tw a ， 其中., )cos( )sin( arctan, )cos(2 21 21 2 21 2 2 2 1 www wt wt wt a 解：解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。 由余弦定理知， )cos(2 1221 2 2 2 1 twtw a )cos(2 21 2 2 2 1 wt 其中， 12 www。 由三角形面积知， sin 2 1 sin 2 1 121a wt 得 a wt sin sin 2 得 wt wt tg a 2 2 2 2 2 sin sin 2 21 2 )c o s( s i n wt wt wt wt cos sin 21 2 故 wt wt cos sin 21 2 即可证。 1-10 有一质点振动系统，其固有频率 f0为已知，而质量 Mm与弹性系数 Km待求，现设法在此质量 Mm上附加一已知质量 m，并测得由此而引起的弹簧伸长 1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试 证明之. 证证 由胡克定理得 mgKm1 Kmmg/1 由质点振动系统固有频率的表达式 m m M K f 2 1 0 得， 1 2 0 2 2 0 2 44f mg f K M m m . 纵上所述，系统的质量 Mm和弹性系数 Km都可求解. 1-11 有一质点振动系统，其固有频率 f0为已知，而质量 Mm与弹性系数待求，现设法在此质量 Mm 上附加一质量 m，并测得由此而引起的系统固有频率变为 f0,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试 证明之。 解：解：由 m m M K f 2 1 0 得 mm MfK 2 0) 2( 由 mM K f m m 2 1 0 得 ) ,()2( 2 0 mMfK mm 联立两式，求得 2 0 2 0 2 0 ff fm Mm ， 2 0 2 0 2 0 2 0 2 4 ff fmf Km 1-12 设有如图 1-2-3 和图 1-2-4 所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程， 并求出它们的等效弹性系数。 图 1-2-3 图 1-2-4 解解： 串接时，动力学方程为0 21 21 2 2 mm mm m KK KK dt d M，等效弹性系数为 mm mm KK KK K 21 21 。 并接时，动力学方程为0)( 21 2 2 mmm KK dt d M，等效弹性系数为 mm KKK 21 。 1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧 压缩 0100mm可称 01kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为 0.4kg，然后，使它振 动一下，测得其振动周期为 1s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？ 解：解：设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为 2 9.8gm s，月球表面的重力加速度为 g 由虎克定律知 , M FKx 又 M FMg 则 1 10 0.1 Mgg Kg x 0 2 21 M T K 则 22 1010 9.8 2.5 44 g Mkg 又 1 0.4 x x 则 0.04xm MgKx则 22 40.041.58 K gxm s M 故月球表面的重力加速度约为 2 1.58m s，而该岩石的实际质量约为2.5kg。 1-14 试求证 ) 1(cos()2cos()cos(cosntatatata 2 ) 1( cos 2 sin 2 sin n t n a 证证 )1()2()( ntjtjtjtj aeaeaeae )1 ( jtj eae sincos1 sincos1 1 1 j j j njn ae e e ae tj n tj 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin sin 2 sin2 sin 2 sin2 2 2 j n j nn ae j nj n ae tjtj ) 2 1 ( 2 1 ) 2 1 2 ( ) 22 ( 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin n tj n j tj j n j tj e n ae n ae e e n ae 同时取上式的实部，结论即可得证。 1-15 有一弹簧 m K在它上面加一重物 m M，构成一振动系统，其固有频率为 0 f， (1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？ (2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率 0 f不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？ 解解：固有频率 m m o M K f 2 1 。 （1） 2 0 0 f f 4 m m K K，故应该另外串接三根相同的弹簧； （2） 00 2 ff M M m m mm KK2，故应该另外并接一根相同的弹簧。 1-16 有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质 量为 m M，弹性系数为 m K。试求该扬声器的固有频率。 解：解：该扬声器的固有频率为 0 1 2 m m K f M 。 1-17 原先有一个 0.5 的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个 0.2 的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了 0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这 0.5 质量 的振幅在 1s 内减少到初始值的 1/e 倍，试计算： （1）这一系统的力学参数 Km，Rm，f0； （2）当 0.2 的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量； （3）在经过 1s 后，系统具有的平均能量。 解：解： （1）由胡克定理知，Kmmg/ 所以 Km0.29.8/0.04=49N/m 1/1 ee 故 msNR M R m m m /1 2 Hzfww57. 11 5 . 0 49 2 1 0 2 0 0 （2）系统所具有的能量JKE m 0392. 004. 049 2 1 2 1 22 （3）平均能量JeKE t m 32 2 0 1031. 5 2 1 1-18 试求当力学品质因素5 . 0 m Q时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻0， 0 vv ，试 讨论解的结果。 解解：系统的振动方程为： 0 2 2 mmm K dt d R dt d M 进一步可转化为，设 m m M R 2 ， 02 2 2 2 dt d dt d 设： ti e 于是方程可化为： 0)2( 2 0 2 tj ej 解得：)( 2 0 2 j t e )( 2 0 2 方程一般解可写成： )( 2 0 22 0 2 tt t BeAee 存在初始条件： 0 0t ， 00 vv t 代入方程计算得： 2 0 2 0 2 v A， 2 0 2 0 2 v B 解的结果为： )( 2 0 22 0 2 tt t BeAee 其中 2 0 2 0 2 v A， 2 0 2 0 2 v B。 1-19 有一质点振动系统，其固有频率为 1 f，如果已知外力的频率为 2 f，试求这时系统的弹性抗与 质量抗之比。 解：解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 M K ，质量抗为 M M 已知 0 50fHz，300fHz 则 () () M M K M 2222 00 22222 41(50)1 4(300)36 M M fK Mf 1-20 有一质量为 0.4kg 的重物悬挂在质量为 0.3kg，弹性系数为 150N/m 的弹簧上，试问： (1) 这系统的固有频率为多少？ (2) 如果系统中引入 5kg/s 的力阻，则系统的固有频率变为多少？ (3) 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？ (4) 相应的速度与加速度共振频率为多少？ 解：解：(1) 考虑弹簧的质量，Hz76. 2 3/3 . 04 . 0 150 2 1 3/2 1 0 sm m MM K f. (2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量 Mm为 Mm+Ms / 3. 5 5 . 02 5 2 m m M R ，Hz64. 25 3/3 . 04 . 0 150 2 1 2 1 222 0 0 f. (3) 品质因素66. 1 5 5 . 058.16 0 m m m R M Q ， 位移共振频率：Hz39. 2 2 1 1 2 0 m r Q ff. (4) 速度共振频率：Hz64. 2 0 ffr， 加速度共振频率：Hz92. 2 2 1 1 2 0 m mr Q fQf. 1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与 总的振动能量之比等于 m Q 2 。 解解：系统每个周期损耗的能量 TvRTWE amF 2 2 1 m m am am fM R vM TvR E E 2 2 2 1 2 1 ， 发生速度共振时， 0 ff 。 m m m m m Q R M Mf R E E 22 0 0 。 1-22 试证明： （1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有 频率 0 f； （2）假定 1 f与 2 f为在 0 f两侧，其平均损耗功率比 0 f下降一半时所对应的两个频率，则有 12 0 ff f Qm . 证明：证明： （1）平均损耗功率为 2 0 11 d 2 T RRm a WWtR v T （ m R为力阻， a v为速度振幅） 质点强迫振动时的速度振幅为 2222 0 , (1) am a mm F Q z v MzzQ ( a F为外力振幅， 0 为固有频率， m M为质量， m Q为 力学品质因素，频率比 00 f f z ） 当z=1 即 0 ff时，发生速度共振， a v取最大值，产生最大的平均损耗功率。 （2） 2 2 1 amR vRW 2 max max 2 1 am RvRW 22 0 22 2 1 m ma m M QF R R W= max 2 1 RW 则 2 2 1 amv R) 2 1 ( 2 1 22 0 22 m ma m M QF R 即 2 2 a v 22 0 22 m ma M QF （1） 把 2222 0 , (1) am a mm F Q z v MzzQ 带入式（1） ，则 2222 ) 1( m Qzz（2） 由式（2）得 m Qzz) 1( 2 解得 m m Q Q z 2 411 2 取 m m Q Q z 2 411 2 1 m Qzz) 1( 2 解得 m m Q Q z 2 411 2 取 m m Q Q z 2 411 2 2 则 m Q zz 1 12 即 m Qf ff f f f f1 0 12 0 1 0 2 12 0 ff f Qm 1-23 有一质量为 0.4 的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为 160N/m 的弹簧上，设系统的力阻 为 2Ns/m，作用在重物上的外力为tNFF8cos5。 （1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率； （2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为 5N，那么这时系统 的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？ 解：解： （1）由强迫振动方程 Fmmm FK dt d R dt d M 2 2 ，得 t dt d dt d 8cos516024 . 0 2 2 则位移振幅m RwMwK F mmm a a 0369. 0 )( 2 222 速度振幅smwv aa /296. 0 加速度振幅 22 /364. 2smwa aa 平均损耗功率)(0876. 0 2 1 2 wvRP am （2）速度共振时Hz158. 3) 2 ( 2 1 2 0 m m m m r M R R K ff 则位移振幅m RwMwK F mmm a a 126. 0 )( 2 222 速度振幅smwv aa /495. 2 加速度振幅 22 /6 .49smwa aa 平均损耗功率)(225. 6 2 1 2 wvRP am 1-24 试求出图 1-4-1 所示单振子系统， 在0t，0 v 初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论0与0两种情形下， 当 0 时解的结果。 解解：对于强迫振动，解的形式为： )cos()cos( 0 00 tte a t 其中 m a a Z F ， 2 0 。 初始条件：0，0v， 代入得： 0coscos 00 a 0sinsincos 00 000 a 解得： 22, 0 222 0 0 )(cossincos2)(sin)(cos a 22 0 2222 0 0 )(cossincos2)(sin)(cos cos arccos 令 22, 0 222 )(cossincos2)(sin)(cosG 得： )cos()cos( 0 0 2 0 ttGe a ta 。 当0时，0 m R， 2 arctan 0 m m R X ， 2 0 ， 0 ， 2 0 ， a 0 ， )c o s () 2 c o s (0 tt aa )cos(sin 0 tt a 。 当 0 时， a ，达到位移共振。 1-25 有一单振子系统，设在其质量块上受到外力tFf 0 2 2 1 sin的作用，试求其稳态振动的位移振 幅。 解：解：此单振子系统的强迫振动方程为 2 2 00 2 dd111 ( )sin ()cos dd222 mmmF MRKF ttt tt 则 2 2 dd1 dd2 mmm MRK tt （1） 2 0 2 dd1 cos dd2 mmm MRKt tt （2） 由式（1）得 1 2 m K 令 j t Fe 代入式（2）得 00 0 1 j 2 () F m mm K RjM 则 1 2 22 00 0 1 2 () F m mm K RM 0 1 2 m R 0 11 22 A mm KR 1-26 试求如图所示振动系统，质量块 M 的稳态位移表示式. M Faejwt K1,R1K2,R2 解：解：对质量块进行受力分析，可得质量块 M 的运动方程为： wt ae FKKRRM j 2121 )()( 该方程式稳态解的一般形式为 wt ae j ，将其代入上式可得： )()( 21 21 KK MjRRjw Fa a ) 2 ( j 0 | e a 其中 2 212 21 )( | KK MRR Fa a ， 21 21 0 arctan RR KK M . 故质量块的稳态位移表示式可以写为： ) 2 cos(| 0 wt a . 1-27 设有如图所示的耦合振动系统， 有一外力 tj ae FF 1 作用于质量 1 M上。 1 M的振动通过耦合弹 簧 12 K引起 2 M也随之振动，设 1 M和 2 M的振动位移与振动速度分别 为 1 ， 1 v与 2 ， 1 v。试分别写出 1 M和 2 M的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时 1 122121 122 1 )( F ZZZZZ ZZ v 与 1 122121 12 2 )( F ZZZZZ Z v 。 其中 1 1 11 )(R K MjZ ， 2 2 22 )(R K MjZ ， 12 12 jK Z。 解解：对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程： 图 1-4-1 图 习题 1-27 1211211 1 1 2 1 2 1 )(FKK dt d R dt d M 0)( 121222 2 2 2 2 2 2 KK dt d R dt d M 设： tj Ae 1 ， tj Be 2 tj eVv 11 ， tj eVv 22 于是方程可化为： a FBKKKRjMA 121211 2 1 )( 0)( 121222 2 2 AKKKRjMB 设： 1 1 11 )(R K MjZ ， 2 2 22 )(R K MjZ ， 12 12 jK Z。 对上面的两个方程整理并求解可得 1 122121 122 1 )( F ZZZZZ ZZ v 1 122121 12 2 )( F ZZZZZ Z v 1-28 有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为： aa ApF ， 其中A为常数， a p为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数， 如果传声器采用电动换能方式(动圈式)， 并要求在一较宽的频率范围内， 传声器产生均匀的开路电压输出， 试问这一传声器的振动系统应工作在 何种振动控制状态？为什么？ 解：解：压差式传声器产生的作用力振幅为 aa ApF ，其中A， a p为常数，则 a F随变化。 电动换能方式传声器，其开路电压输出为EBlv，要使E均匀恒定，则要v恒定 系统处在质量控制区时 aa a mm FAP v MM ， 此时 a v与频率无关， 故在一较宽的频率范围内， 传声器将产生均匀的开路电压输出。 1-29 对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式(电容式)，其他要求与上题相同，试问这一传 声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？ 解解：传声器开路输出电压E与振膜位移有如下关系： D E E 0 只有在力阻控制区， m a m a R Ap R F ， 即在此控制区，输出电压E与频率无关。 传声器的振动系统应工作在力阻控制区。 1-30 有一小型动圈扬声器，如果在面积为 0 S的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下， 振膜的辐射阻变为 000 SCRr（参见 5.5） 。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为 恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？ 解：解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为 2 1 2 ra WR v 2 000 1 2 a C S v 其中 0 ， 0 C， 0 S均为常数，要使W均匀，则 2 a v应不受的W影响。故振动系统应工作在力阻 控制区，此时 a a m F v R （其中 a F为频率恒定的外力， m R也恒定） 。 1-31 有一如图所示的供测试用动圈式 振动台，台面 m M由弹簧 m K支撑着，现欲在较宽的频率 流时， 能使台面 m M范围内， 在音圈上施加对频率恒定的电 产生均匀的加速度， 试问其振动系统应工作在何种振动控 制状态？为什么？ 解解：音圈通以I电流时，在磁场下产生电动力 BILF ，由aMF m 可见，只有在质量控制区 m a M F a 时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。 1-32 有一试验装置的隔振台，如图所示，已知台面的质量 Mm=1.5 103，台面由四组相同的弹簧支撑，每组由两只相同的弹簧串联而 成。 已知每只弹簧在承受最大负荷为 600 时，产生的位移 3 ， 试求该 隔振系统的固有频率，并问当外界基础振动的位移振幅为 1 、 频率为 20Hz 时，隔振台 Mm将产生多大的位移振幅？ 解 ：解 ： 每 只 弹 簧 的 劲 度 系 数 K=600 9.8/0.03=1.96105N/m 每组弹簧的总劲度 K1=K/2 四组弹簧并联后的劲度 K2=4 K1=2 K =3.92105 N/m 图 习题 1-31 则固有频率57. 2 2 1 2 0 M K f Hz 由振动方程0)( 0 mm KM ，将 jwt ae ， jwt ae 0 代入得， 0168. 0 2 MwK K a a 1-33 设有如图所示的主动隔声系统，有一外力 F0=F10ejt作用于质量块 Mm上，试求传递在基础上 力 F 与 F0的振幅比. Mm Km , Rm F0 F 解：解：对质量块进行受力分析，可得质量块 Mm的振动方程为： wt mmm eFKRM j 10 其稳态解的一般形式为)cos(t a . 其中 2 2 1010 | m mm m a K MR F Z F ， m m m R K M arctan. 弹簧传递给基础的作用力为)cos(tKKF amm ，则 maa KF. 由此传递给基础的力 F 与 F0的振幅比 2 2 10 m mm ma F K MR K F F D. 1-34 有一振动物体产生频率为f，加速度振幅为 10 a的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定 已知加速度计振动系统的固有频率为 0 f，力学品质因素为 m Q，音圈导线总长为l，磁隙中的磁通量密 度为B。试求该加速度计的开路输出电压将为多少？ 解：解：动圈式加速度计测量 由 0m m m M Q R 得 0m m m M R Q 由 0 1 2 m m K f M 得 22 0 4 mm Kf M 则 10m a m M a EBl Z 101 2 22 () m m mm M Bla K RM 101 2 2 222 2 2 m m mmmm M Bla K RMK M 10 1 2244 2 222 00 0 22 416 8 m Bla ff f Q 1-35 设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成 tthFF aF sin)sin1 ( 1 ， 其中h为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。 解解：外力表达式为tthFF aF sin)sin1 ( 1 )cos()cos( 2 1 ) 2 cos( 11 tthFtF aa 用指数形式表示外力为 tj a tj a tj aF heFheFeFF )()( ) 2 ( 11 2 1 2 1 振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为 2 0)cos( )( 2 1 ) 2 cos( 31 31 1 1 t Z hF t Z F a a 2 0)cos( )( 2 1 21 21 t Z hFa 其中： m m m R K M arctan 1 ； m m m R K M 1 1 2 )( arctan ； m m m R K M 1 1 3 )( arctan ； 22 1 )( m mm K MRZ； 2 1 1 2 2 )( m mm K MRZ； 2 1 1 2 3 )( m mm K MRZ。 1-36 设 有一呈 锯齿 形式的 外力作 用于 单振子 的质量 上， 此力可 表示为 2 (1) Fa t FF T （(1) ,0,1,2,kTtk T k L） 试求振动系统的位移。 解：解：质点的振动方程为 2 2 dd2 ( )(1) dd mmmFa t MRKF tF ttT （1） 又 0 1 ( )cossin, Fnn n F tAAn tBn t （ 2 T ） （2） 其中 0 0 1 ( ) d0 T F AFtt T 0 2 ( )cosd0 T nF AF tn t t T 0 22 ( )sind T a nF F BF tn t t Tn 式（2）也可表示为 0 ( )cos() Fnn n F tFn t （3） 其中 22 2 a nnn F FAB n ， 2 a r c t a na n F n 把式（3）表示成为复数形式 j() 0 ( )e n n t Fn n F tF 则式（1）可写成 2 j () 2 0 dd e dd n n t mmmn n MRKF tt （4） 设 0 n n ，代入式（4）可得 j () 00 e j n n t n n nn n F n Z 其中 jj() m nnnmm K ZRXRn M n 取的实部得 0 cos() 2 n nn n n F n t nZ 2 0 2 cos() 2 a nn n n F n t nZ 式中 22 () m nmm K ZRn M n a r c t a na r c t a n m m n n mm K n M X n RR 1-37 设有如下形式的外力 ), 2 , 1 , 0( ) 1() 2 1 (, 2 1 , k TktTkFa TktkTF F a F 作用于单振子的质量上，试求振动系统位移. 解：解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得 0 )cos()( n nnF tnFtF 其中 22 nnn BAF， n n n A B arctan. 0d)( 1 0 0 T F ttF T A， 0dcos)( 2 0 T Fn tnwttF T A， 为偶数 为奇数 n n n F n F tnwttF T B a na T Fn 0 4 ) 1(1 2 dsin)( 2 0 . 由此 nn BF ，)( 2 为奇数n n ，即 anaaa F n FFFFFFF 4 , 5 4 , 3 4 , 4 531 ； )( 2 , 2 , 2 , 2 531 为奇数n n a . 由(1-5-14)得质点振动系统得位移 0 ) 2 cos( n nn n n nwt Zn F )cos( 4 )3cos( 9 4 )cos( 4 2 3 3 1 1 n n aaa nwt Zn F wt Z F wt Z F (n 为奇数) 习题习题 2 2-1 有一质量为m，长为l的细弦以F的张力张紧，试问： (1) 当弦作自由振动时其基频为多少？ (2) 设弦中点位置基频的位移振幅是B，求基频振动的总能量。 (3) 距细弦一端4l处的速度振幅为多少？ 解解： （1）简正频率 T l n fn 2 ，且线密度 l m 基频 ml TT l f 2 1 2 1 1 。 （2）基频振动的总能量 2 2 2 2 0 1 1616 l TB l T E。 （3）弦的位移的总和形式 1 )cos(sin),( n nnnn txkBxt 速度表达式为 1 )sin()sin( ),( ),( n nnnnn txkB t xt xtv 距一端m25. 0处的速度振幅) 4 sin( 2 2 1 4 l l nT l n BV n nl x a 4 s i n 1 n ml T Bn n n ) 4 3 s i n ( 2 2 1 4 3 l l nT l n BV n nl x a 4 3 sin 1 n ml T Bn n n 2-2 长为l的弦两端固定，在距一端为 0 x处拉开弦以产生 0 的静位移，然后释放。 （1）求解弦的振动位移； （2）以3 0 lx 为例，比较前三个振动方式的能量。 解：解：弦的振动位移形式为： 1 )sincos(sin),( n nnnnn tDtCxkxt 其中 l n kn ， l cn n ， nnn BCcos， nnn BDsin （1）由初始条件可得： )()( )0( )0( 0 0 0 0 0 0 lxxxl xl xxx x t )0(0)()0( 0 lx t tv t 又 l n n n l nn xdxkxv l D xdxkx l C 0 0 0 0 sin)( 2 sin)( 2 则 0 00 22 2 0 0 0 0 0 0 sin )( 2 sin)(sin 20 0 x l n xlxn l xdxkxl xl xdxkx xl C xl x nnn 0 n D 则n nn 0sin nn CB t l cn l x x l n xlxn l tx l Cxt n nn n n cos 2 sinsin )( 2 )cos( 2 sin),( 0 1 00 22 2 0 1 （2） 2 22 2 222 44 nnn B l Tn B l cn E 当lx 3 1 0 时， 3 sin 9 3 sin ) 3 ( 3 2 22 0 22 2 0 n n l l n l l l n l CB nn 则 l T l T E 2 2 02 2 0 2 1 16 243 ) 3 sin 9 ( 4 l T E 2 2 0 2 64 243 0 3 E 2-3 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度 0 v敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。 解解：弦的振动位移表达式为 1 )sincos(sin),( n nnnnn tDtCxkxt 可得速度表达式为 1 )cossin(sin ),( ),( n nnnnnnn tDtCxk t xt xtv 由题可得初始条件： 0 0t ； x l v v x l v t t 0 0 0 0 2 2 2 lx l l x 2 , 2 0 , 通过傅立叶变换可得： 0 n C； ) 2 sin2sin( 4 33 0 kl kl kl v D n n 。 位移表达式为 1 sinsin),( n nnn