高等数学课后习题答案4上海交大版.pdf

83 第四章第四章微分中值定理和导数的应用微分中值定理和导数的应用 t1验证罗尔定理对函数sin x yex=在区间0,3 上的正确性。 解答：因为函数sin x yex=在区间0,3上连续，在(0,3 )内可导，且 (0)(3 )0yy =，满足 罗尔定理条件，又由于(sincos ) x yexx=+，当 3 (0,3 ) 4 =时，( )0y =，即罗尔定理的 结论成立。验证完毕。 所属章节：第四章第一节所属章节：第四章第一节 难度：一级难度：一级 2验证拉格朗日定理对函数arctanyx=在区间0,1 上的正确性。 解答：因为函数arctanyx=在区间0,1 上连续，在(0,1) 内可导，满足拉格朗日定理条件，又 由于 2 1 1 y x = + ， 当 4 (0,1) =时， (1)(0) ( ) 1 04 yy y = ， 即拉格朗日定理的结论成立。 验证完毕。 所属章节：第四章第一节所属章节：第四章第一节 难度：一级难度：一级 3就下列函数及其区间，求罗尔定理或拉格朗日定理中的值： （1） 5 ( )lnsin , 66 f xx = ； （2）( )arcsin ,1,1f xx=； （3） 2 00 ( ),(0)f xaxbxc x xh h=+.（原题少右上标 2） 解答： （1）由于 5 ()ln2() 66 ff = =，令( )cot0 x fx = =，有 2 =； （2）由于(1),( 1) 22 ff = ，令 2 1(1)( 1) ( ) 1 ( 1)2 1 x ff f x = = ，得 2 4 = ； （3）由于 22 000000 ()()(),()f xha xhb xhc f xaxbxc+=+=+ ，令 00 0 ()() ( )(2)2 x f xhf x faxbaxahb h = + =+=+，得 0 1 2 xh=+。 所属章节：第四章第一节所属章节：第四章第一节 84 难度：一级难度：一级 4函数 1 ( )f x x =在区间,a b上是否满足拉格朗日定理的条件？ 参考答案：当0,( )a bf x时，满足拉格朗日定理的条件，当0,( )a bf x时，不满足拉格朗 日定理的条件。 解答：由于 11( )( )1 ( ),( ), f bf a f bf a babaab = ，当0x时，有导数 2 1 ( )fx x = ，所以当 0,( )a bf x时，满足拉格朗日定理的条件，且ab=或ab= ；当0,( )a bf x时，由 于有不可导点，不满足拉格朗日定理的条件。 所属章节：第四章第一节所属章节：第四章第一节 难度：二级难度：二级 5验证函数 2 ( ), ( )f xxg xx=在区间1,4 上满足柯西定理的条件。 解答：函数 2 ( ), ( )f xxg xx=在闭区间1,4 上连续，在开区间(1,4)内可导，在区间(1,4)内 1 ( )0 2 g x x =，所以满足柯西定理的条件。 所属章节：第四章第一节所属章节：第四章第一节 难度：一级难度：一级 6 若方程 1 011 0 nn n a xa xax +=有一正根 0 xx=， 则方程 12 011 (1)0 nn n a nxa nxa += 必有一个小于 0 x的正根。 解答：令 1 011 ( ) nn n f xa xa xax =+，则由条件知函数( )f x在区间 0 0,x上满足罗尔定理 条件，所以至少存在正数 0 (0,)x使( )0f =，即为方程 12 011 (1)0 nn n a nxa nxa += 小于 0 x的正根，得证。 所属章节：第四章第一节所属章节：第四章第一节 难度：二级难度：二级 7若( )f x在,a b上二阶可导，且( )( )( )f af bf c=，其中c是( , )a b内的某一点，求证方程 ( )0fx=在( , )a b内必有一实根。 解 答 ： 由 题 设 条 件 知 函 数( )f x在, , a cc b上 均 满 足 罗 尔 定 理 条 件 ， 于 是 存 在 12 ( , ),( , )a cc b， 使 12 ( )()0ff=，再 在 区 间 12 , 上 应 用 罗 尔 定 理 ， 有 85 12 ( ,)( , )a b ，使( )0f=，也即方程( )0fx=在( , )a b内必有一实根。 所属章节：第四章第一节所属章节：第四章第一节 难度：二级难度：二级 8证明方程 3 30xxc+=在开区间(0,1)内不含有两个相异的实根。 解答：反证法。假设方程 3 30xxc+=在开区间(0,1)内含有两个相异的实根，记为 12 ,x x，其 中 12 xx，试证：至少 86 存在一点( , )a b，使( )( )ff=。 【题设条件( ) ( )0,( ) ()0 2 ab f a f bf a f + 有误，是否应为( ) ( )0,( ) ()0 2 ab f a f bf a f + ， 且( )( )fxx， 证明： 当 0 xx时， 00 ( )()( )()f xf xxx。 解答：当 0 xx=时结论显然成立。 当 0 xx时，对函数( )f x，( )x在区间 0, x x上应用柯西中值定理，必存在在x和 0 x之 间，使 0 0 ( )()( ) ( )()( ) f xf xf xx = ， 又 由 条 件( )( )fxx， 可 得 0 0 ( )()( ) 1 ( )()( ) f xf xf xx = ， 再 由 条 件( )0x， 有 0 ( )()0xx，即得 00 ( )()( )()f xf xxx。 所属章节：第四章第一节所属章节：第四章第一节 难度：三级难度：三级 21设函数( )f x在0x=的邻域内具有n阶导数，且 (1) (0)(0)(0)0 n fff =。试用柯西 定理证明： ( ) ( )() (01) ! n n f xfx xn = = 在点0x=处的连续性。 【此题有误，应为 1 1 1 2 (1) ,0, e( ) e,0 x x x x f x x + = ，以下按此计算】 解答：因为 11 22 00 lim( )lim xx f xee =， 1 1 1 2 2 000 (1)ln(1)1 lim( )limexp(lim)exp() 2 x x xxx xxx f xe ex + = 所以该函数在点0x=处连续。 所属章节：第四章第二节所属章节：第四章第二节 难度：三级难度：三级 51设( )f x在点a的邻域内二阶可导，求 2 0 ()()2 ( ) lim h f ahf ahf a h + 。 解答：对所求极限先用洛比达法则，再用点a处的二阶导数定义，即得 98 2 00 ()()2 ( )()() limlim“( ) 2 hh f ahf ahf afahfah fa hh + = 注意：由于二阶导数未必连续，不能用接连两次使用洛比达法则。 所属章节：第四章第二节所属章节：第四章第二节 难度：三级难度：三级 52若(0)0,( )ffx=在点0x=的邻域内连续，且(0)0f，试证： ( ) 0 lim1 f x x x + = 。 解答：因为对函数( )f x，(0)0,( )ffx=在点0x=的邻域内连续，且(0)0f，所以 ( )(0)(0)( )(0)( )f xffxxfxx=+=+ 而 00 limln0,lim ( )ln0 xx xxxx + =，故 0 lim( )ln0 x f xx + =，所以 ( ) 00 limexp(lim( )ln )exp(0)1 f x xx xf xx + = 所属章节：第四章第二节所属章节：第四章第二节 难度：三级难度：三级 53将多项式 32 ( )234f xxxx=+ 按(2)x+的乘幂展开。 解答：对函数 32 ( )234f xxxx=+ ，由于 2(4)(5) ( )343,“( )64,“( )6,( )( )0fxxxfxxfxfxfx=+= 所以 (4)(5) ( 2)26,( 2)23,“( 2)16,“( 2)6,( 2)( 2)0ffffff= = =， 于是所求展开式为 23 ( )2623(2)8(2)(2)f xxxx= +。 所属章节：第四章第三节所属章节：第四章第三节 难度：一级难度：一级 54求函数( )f xx=在点 0 4x=处带有拉格朗日余项的 3 阶泰勒公式。 解答：对函数( )f xx=，有 1357 (4) 2222 11315 ( ),“( ),“( ),( ) 24816 fxxfxxfxxfxx = = ， 故有 (4) 7 2 11315 (4)2,(4),“(4),“(4),(4(4) 432256 16(4(4) fffffx x = =+= + ， 所以所求 3 阶泰勒公式为 99 4 23 7 2 11115(4) 2(4)(4)(4),(01) 464512 4!16 4(4) x xxxx x =+. 解 答 ：（ 1 ） 对 函 数 32 3914yxxx=+， 由 于 其 定 义 域 为xR， 导 函 数 2 3693(1)(3)yxxxx=+，易知当1x时，0y；当 13x 时，0y；当 1 2 x时，0y； 当 1 0 2 x时，0y， 由 于 其 定 义 域 为xR， 导 函 数 2 3 2 (2)() xa yy xa xa = ，易知当 2 3 xa时，0y；当 2 3 axa 时， 1 23x x ； （3）当0x时，ln(1)xx+； （4）当0 2 x时( )0fx，函数( )f x严格单调增， 105 所以当0x时，( )(0)0f xf=， 当0x，即e1 x x +； （2）令 1 ( )23f xx x = +，则 3 2 22 111 ( ) x fx xxx =， 当1x时( )0fx，故函数( )f x严格单调增， 而当1x=时( )0f x=， 所以当1x时，( )(1)0f xf=，即 1 23x x ； （3）令( )ln(1)f xxx=+，则 1 ( )1 11 x fx xx = = + ， 当0x时( )0fx，函数( )f x严格单调增， 所以当0x时，( )(0)0f xf=，即ln(1)xx+； （4）令( )sintan2f xxxx=+，0 2 x； （5）令 2 ( )(1)arctanf xxx=+，0x，则 2 1 ( )2(1)0 1 fxx x =+ + ， 于是函数( )f x严格单调增， 所以当0x时，( )(0)0f xf=，即 arctan 1 1 x x x + + 。 所属章节：第四章第四节所属章节：第四章第四节 难度：二级难度：二级 106 67设函数 ln , 0,1, 1 ( )0, 0, 1, 1, xx xx x f xx x = = 试证：( )f x在定义域内连续，在(0,1) 内单调减， 1 (1) 2 f= 。 解答：对函数( )f x，定义域0,)+ ，由于( )f x在定义域内0,1xx 处显然连续，且 000 ln lim( )limlimln0(0) 1 xxx xx f xxxf x + = ， 111 lnln lim( )limlim1(1) 11 xxx xxx f xf xx = = ， 所以( )f x在定义域内处处连续。 又当01x 所以在 ( ) (0,)( ) f x x x +=上函数是单调增的。 所属章节：第四章第四节所属章节：第四章第四节 难度：三级难度：三级 107 69求下列函数的极值： （1） 32 3914yxxx=+；（2） 22 () (0)yxaxa=； （3） 2 lnx y x =；（4） 2 1 3 45 x y x + = + ； （5） 222 3 () (0)yxaa=；（6）e sin x yx=. 解答： （1）对函数 32 3914yxxx=+，处处可导且 2 3693(1)(3)yxxxx=+，驻点为 1,3xx= =，当1x时，0y；当13x ；当0x时，0y，处处有定义，除xa= 外可导且 1 22 3 4 3 () x y xa = ， 驻点为0x=，不可导点xa= ，当或0ax ；当xa， 所以xk=为极大值点，极大值 1 ()( 1) 2 k y k= +， 24 2,2 33 xkxk=+=+为极小值点， 极小值 2343 (2), (2) 3434 ykyk+= += ； （5）对函数 2 2 1 x y x = + ，它处处可导，且 2 22 2(1) (1) x y x = + ， 驻点1x= ，此时， 2 11 2 3 4 (3) “10 (1) xx x x y x = = + 所以1x=为极大值点，极大值 (1)1y= ，1x= 为极小值点，极小值 ( 1)1y= 。 所属章节：第四章第四节所属章节：第四章第四节 难度：二级难度：二级 71求下列函数在指定区间上的最大值和最小值： （1） 42 25,2,2yxx=+； （2）2, 0,4yxx=+； （3） 1 arctan, 0,1 1 x y x = + . 解答： （1）对函数 42 25,2,2yxx=+，处处可导，且 3 444 (1)(1)yxxx xx=+，比较 110 (0)5, ( 1)4, ( 2)13yyy=，得最大值 ( 2)13y=，最小值 ( 1)4y=； （2）对函数2, 0,4yxx=+，由于 1 10y x = +，函数单调增加，故最大值为 (4)8y= ， 最小值为 (0)0y=； （3）对函数 1 arctan, 0,1 1 x y x = + ， 2 1 0 1 y x = + ，函数单调减少，故最大值为 (0) 4 y=， 最 小值为 (1)0y= 所属章节：第四章第四节所属章节：第四章第四节 难度：一级难度：一级 72已知两正数x和y之和为 4，当x，y为何值时 23 x y为最大。 解答：设 23 ( )(4)f xxx=，其中04x当时有两个实根；当0elnba，当0x或2x，当24x或30ax，当xb，当2x， 故曲线有三个拐点， 分别是 3131 ( 1, 1),(32,),( 32,) 84 384 3 + + + ， 它们都在直线 1 1(1) 4 yx+ =+上。 所属章节：第四章第五节所属章节：第四章第五节 难度：二级难度：二级 117 88利用函数图形的凹凸性证明不等式： （1） 2 ee e () 2 x yxy xy + + ； （2） lnln()ln(0,0,) 2 xy xxyyxyxyxy + +. 解答： （1）设( ) x f xe=，则由于“( )0 x fxe=，曲线( ) x f xe=在(,) + 上是凹的，从而对 任意的两个不相等的实数,x y， 2 ee e () 2 x yxy xy + + ； （2）设( )lnf xxx=，则由于 1 “( )fx x =，曲线( )lnf xxx=在(0,)+ 上是凹的，从而对任意的 两个不相等的正实数 ,x y， lnln()ln(0,0,) 2 xy xxyyxyxyxy + +。 所属章节：第四章第五节所属章节：第四章第五节 难度：二级难度：二级 89求下列曲线的渐近线： （1） 2 (2)(3) xx y xx + = + ；（2） 1 2 exyx=； （3） 1 ln(e)yx x =+；（4）2arctan 2 x yx=+. 参考答案： （1）2,3,1xxy= ；(此题参考答案与题目不符)（2）0,xyx=； （3） 11 , ee xyx= =+；（4）2 2 yx= 解答： （1）由于 23 limlim xx yy = ，lim1 x y = ， 所以渐近线为2,3,1xxy= = ； （2）由于 2 1 00 limlim x xx yxe = ， 2 1 lim1,lim()lim (1)0 x xxx y yxx e x =， 所以渐近线为0,xyx=； （3）由于 11 1 limlimln() xx ee yxe x =+= ， 118 1 ln(1) 1 lim1,lim()lim 1 xxx y ex yx xe x + =， 所以渐近线为 11 , ee xyx= =+； （4）由于lim2,lim(2 )limarctan 24 xxx yx yx x = ， 所以渐近线为2 2 yx= 所属章节：第四章第五节所属章节：第四章第五节 难度：二级难度：二级 90全面讨论下列函数的形态，并描绘它们的图形： （1） 42 1 (687) 5 yxxx=+；（2） 2 2 2 (1) x y x = ； （3） ln 2 x yx x =+；（4） 1 x yx x = + . 解答： （1）定义域：(,) + ， 由 2 4 (1) (2) 5 yxx=+，可知单调减区间： (, 2) ，单调增区间： (2,)+ ，极小值： 17 ( 2) 5 y= ， 由 12 “(1)(1) 5 yxx=+，可知凹区间：(, 1),(1,) + ，凸区间：( 1,1)，拐点： 6 ( 1,) 5 ； （2）定义域：(,1),(1,)+ ， 由于 3 4 (1) x y x = ，故单调减区间：(,0),(1,)+ ，单调增区间：(0,1)，极小值：(0)0y=， 由于 4 4(21) “ (1) x y x + = ，故凹区间： 1 (,1),(1,) 2 + ，凸区间： 1 (,) 2 ，拐点： 1 2 (, ) 2 9 ， 又由于 1 lim,lim2 xx yy = =，故有渐近线：1,2xy=； （3）定义域：(0,)+ ， 由于 2 1 ln 10 2 x y x = +，所以单调增区间：(0,)+ ， 由于 3 2ln3 “ 2 x y x =，所以凸区间： 3 2 (0,e ) ，凹区间： 3 2 (,)e+ ，拐点： 333 222 3 (e ,ee) 4 +， 119 又由于 ln lim1, lim()lim0 2 xxx yx yx xx + =，故有渐近线：yx=； （4）定义域：(, 1),( 1,) + ， 由 2 2 (2) 0 (1) (2) 0,1 (1) x x x x y x x xx x + + = + + = ，故函数严格单调增加，方程 5 510( 1,0)xx+ =在区间内至多 有一个实根； 于是方程 5 510( 1,0)xx+ =在区间内有唯一的实根。 令 0 0x=， 则 0 10 0 () 0.2 () f x xx fx = ， 1 21 1 ( ) 0.2 ( ) f x xx fx = ， 所以这个根的近似值为 0.20。 所属章节：第四章第六节所属章节：第四章第六节 难度：二级难度：二级 120 92求方程sin20xx=的正实根（精确到两位小数） 。 参考答案：0.940.95x，故函数在,1 4 上严格单调增加，方程sin20xx=在(,1) 4 内至多有 一个实根，于是在(,1) 4 内根唯一。 以下可用二分法或切线法进一步确定根的范围为0.940.95x。 所属章节：第四章第六节所属章节：第四章第六节 难度：二级难度：二级 93求曲线sin( ,1) 2 yx= 在点处的曲率半径。 参考答案：1R= 解答：cos , “sinyxyx= ，曲率 2 3 2 2 “ 1 (1 ) x y K y = = + ，于是曲率半径为1R= 。 所属章节：第四章第六节所属章节：第四章第六节 难度：二级难度：二级 94求曲线cosh(0,1)yx=在点处的曲率和曲率半径。 参考答案：1,1KR= 解答：sinh , “coshyxyx=，曲率 0 2 3 2 “ 1 (1 ) x y K y = = + ，于是曲率半径为1R=。 所属章节：第四章第六节所属章节：第四章第六节 难度：二级难度：二级 95求曲线 33 cos,sinyax yaxt=在 所对应点处的曲率。 （题目有误，曲线应为 33 cos ,sinxat yat=） 参考答案： 2 csc2 3 Kt a = 解答：曲率 22 3 2 ( ) “( )“( )( )2 csc2 ( )( ) 3 tttt Kt tta = + 。 121 所属章节：第四章第六节所属章节：第四章第六节 难度：二级难度：二级 96对数曲线lnyx