河北工程大学2014版概率论习题册第三章参考答案.pdf

1 第三章多维随机变量 第一节、第二节 一、1.B2.B3.D4.B5.D 仅对第五题提示：见右图，注意观察四个部分，且 0000 (,),F xyP Xx Yy 00 () X FxP Xx 000 (,) Y FxyP Yy 二、 1.,Xx Yy 2.1，0， 2 1,1 0, xx 其他 ， 1 1,1 0, y ey 其他 ， 31 2,1,1 0, y x exy 其他 ， 1 3 (1) 4 e 3.0.25,0.1 4. 13 48 ；X 的所有可能取值是 1，2，3，4，Y 的所有可能取值是 1，2，3，4 ，且有 1 1 ,| 4 P Xi YjP Yj Xi P Xi i (1,2,3,4;1,2, )iji 444 222 1 1111 2,22| 481216 iii P YP Xi YP YXi P Xi i 5.0.5 ；21,22,1XYXYXY 三、 Y X 012 00.040.040.01 10.280.140 20.4900 四、 注：第三题和第四题在课堂上已作为例题讲解，故不再给出过程。注：第三题和第四题在课堂上已作为例题讲解，故不再给出过程。 第三节、第四节 一、1.A2.B3.B4.A5.C 第 1 小题是二维均匀分布； 第 2 小题参考教材 P54 例 3.1； 第 4 小题选项 A 仅当 X 和 Y 相互独立时才成立。 X012Y012 P0.090.420.49P0.810.180.01 Y X 01 -10.250 000.5 10.250 00 (,)xy 00 (,)Xx Yy 00 (,)Xx Yy 0 ()Xx 0 ()Yy 2 二、 1. 1 3 2. 1 2 （本题也是二维均匀分布） 3. ,0 0, x ex 其他 4. 2() 4,0,0 0, x y exy 其他 5. 1 ,02 2 0, y 其他 三、 区域D的面积为 2 2 2 32 (4) 3 Axdx ，所以(, )X Y的概率密度为 2 3 , 22,4 ( , )32 0, xxy f x y 其他 于是 2 4 2 33 (4), 22 ( )( , )3232 0, x X dyxx fxf x y dy 其他 ， 33 ,04 ( )( , )3216 0, y y Y dyyy fyf x y dx 其他 当22x 时 2 2 | 1 ,4( , ) ( | )4 ( ) 0, Y X X xyf x y fy xx fx 其他 ； 当04y时 | 1 , ( , ) 2( | ) ( ) 0, X Y Y yxy f x y yfx y fy 其他 第五节 一、1.C2.C3.D4.A5.B 第 1 小题：0,01,1XYXYXY； 第 4 小题：请回忆课堂上讲的连续性判断独立的方法； 第 5 小题：由于 X 和 Y 同分布，不妨设它们的概率密度为( )f t，又由于 X 和 Y 相互独立故(, )X Y的概 率密度为( ) ( )f x f y，于是 x y O 4 22 2 y x 3 : ( ) ( )( ) ( )( )( ) xx D x y P XYf x f y dxdydxf x f y dyf x dxf y dy 由于积分与变量所用的字母无关，将上面积分中的x和y互换得 ( )( )( )( ) xy f x dxf y dyf y dyf x dxP YX 故有P XYP YX，而1P XYP YX。 注意观察右图。 二、 1. ,01,0 ( ) 0, y exy f x 其他 2. 2 9 ， 1 9 三、解：由于随机变量X与Y相互独立，所以分布律的各行和各列是成比例的，有 3 0.140.21 2 a ， 3 2 bc，7ed， 由 0.02 0.1 d c 得0.002cd ，即 0.002 c d ， 由分布律的性质知 0.0030.002 0.030.020.21 0.1470.11d dd ， 得 0.005 80.5d d ，即 2 80.50.0050dd 解之得 1 0.05d ， 2 0.0125d ， 所以有0.21,0.16,0.24,0.0125,0.0875abcde 或0.21,0.06,0.04,0.05,0.35abcde 四、解：设A产品需求量为Xkt，B产品需求量为Ykt，则有 1 ,24 ( )2 0, X x fx 其他 ， 1,34 ( ) 0, Y y fy 其他 由于X和Y相互独立，所以随机变量X和Y的联合概率密度为 1 ,24,34 ( , )( )( )2 0, XY xy f x yfxfy 其他 两种产品需求量不超过 1000t 的概率为 :1 1133 1( , )() 2224 D x y P XYf x y dxdyD 的面积 yx XY YX 4 第六节 一、1.A2.D3.A4. B 第 4 小题：由0X 与1XY相互独立有0,10 1P XXYP XP XY，而 0,10,1P XXYP XYa； 0 100,11,0(0.4)()P XP XYP XP XYP XYa ab 又由分布律知0.5ab，所以有(0.4) 0.520.4aaaa 二、 1. 1 9 2.0.53. 5 7 4. 2 1 1( )F z5. 7 第 2 小题：由题意(0,2)XYN。 第 3 小题：由于max(, )00,0X YXY，故max(, )0X Y 指(, )X Y在第一、二、四象限 取值。0,0XY指(, )X Y在第一象限取值；0X 指(, )X Y在第一、 四象限取值；0Y 指(, )X Y 在第一、二象限取值。于是 4435 max(, )0000,0 7777 PX YP XP YP XY。 三、解：由(, )X Y的分布律可得 (, )X Y( 2, 1)( 2,1)( 1, 1)( 1,1)(0, 1)(0,1) ij p 01/41/81/81/41/4 2 ZXY -1-10011 XYZ 2-21-100 max, ZX Y -11-1101 把Z值相同的的项对应的概率合并得 （1） （2） （3） 2 ZXY -101 P 1 4 1 4 1 2 ZXY-2-101 P 1 4 1 8 1 2 1 8 5 四、解：设两周需要量的概率密度为 1( ) f z，因各周需要量相互独立，由卷积公式得 1( ) ( ) ()f zf x f zx dx 上式当0x ，0zx时被积函数才不为 0. 故 3() 0 1 1 ,0(),0 ( )6 0,0 0,0 z zxz x z ezxezx edx z f z z z 综合题 一、 1.C2.A3.D4.D5.B6.D 第 1 小题：X与Y是随机变量，XY即1,11,1XYXY ，是按一定概率成立的。 第 4 小题：由已知(0,2)XYN，(0,2)XYN； max(, )01max(, )010,010 0PX YPX YP XYP XP Y ； min(, )00,00 0PX YP XYP XP Y。 第 5 小题：(, )X Y的有效配对是( ,0)x，( ,1)x，x ，即两条水平线 显然，对于所有( ,0)x，x ，及(0,1)都有0ZXY，故 0,00,1P ZXYP XYP XY 已知随机变量X与Y相互独立，故 1 0 2 P Z , 在其它点( ,1)x处，ZXYx，所以随机变量ZXY的分布函数( ) Z Fz只有一个跳跃间断点0z 。 第 6 小题：由概率密度函数和分布函数的性质，A 和 C 显然错误；两个随机变量的概率密度函数取值为非 零的区域未必是相同的或未必有交集，故 B 不正确。如 设 1 1,01 ( ) 0, x f x 其他 ， 2 1,910 ( ) 0, x fx 其他 ，则 12 ( )( )0f x fx ； 选项 D 的 12 ( )( )F x F x显然具备分布函数的所有性质。 二、 max, ZX Y -10 1 P 1 8 1 4 5 8 6 1. 24 5 2. 1 4 3. 9 27 4.0.75. 33 (2)(1),0,1,2,;3,4, j jippij 第 1 小题： 1 00 1( , )(2) x f x y dxdycx dxydy 第 2 小题：见右图， :1 1( , ) D x y P XYf x y dxdy 111 11 222 000 666 (1 2 ) xx xx dxxdyxdxdyxx dx 1 23 2 0 31 34 42 xx. 第 3 小题：见第二章相关题目。 第 4 小题：0XY 即00XY，所以 0000,00.30.50.1P XYP XP YP XY 第 5 小题：试验总次数为j，第且1i次第一次成功，第j次为第三次成功，第2i到第1j 次之间第 二次成功，有 1 2j i C 种可能。于是 33 ,(2)(1),0,1,2,;3,4, j P Xi Yjjippij 三、解： （1）由 ( ,)lim( , )(arctan)()0 22 y x F xF x yA BC 得 2 C 由 (, )lim( , )()(arctan)0 23 x y FyF x yA BC 得 2 B 由(,)1F 得()()1 22 A BC ，即得 2 1 A 。 （2）2,03(,3)(,0)(2,0)(2,3)PXYFFFF 31391 4281616 四、解： （1）依题意，由于是不放回摸球，所以(, )X Y的所有可能取值为( , )i j，1,2,3,4,1,2,3ij。 由于Y表示两个球上的数字之差的绝对值，利用古典概型概率的计算方法可得 1 1,1 12 P XY， 1 1,2 12 P XY， 1 1,3 12 P XY， yx 1xy 7 2 2,1 12 P XY， 1 2,2 12 P XY，2,30P XY， 2 3,1 12 P XY， 1 3,2 12 P XY，3,30P XY， 1 4,1 12 P XY， 1 4,2 12 P XY， 1 4,3 12 P XY 五、解： （1）当01x时，有 2 0 ( )( , )33 x X fxf x y dyxdyx ， 即关于X的边缘概率密度为 2 3,01 ( ) 0, X xx fx 其他 。 当01y时，有 1 2 3 ( )( , )3(1) 2 Y y fyf x y dxxdxy 即关于Y的边缘概率密度为 2 3 (1) ,01 ( )2 0, Y yy fy 其他 。 （2） | 1 ,0,01( , ) ( | ) ( ) 0, Y X X yxxf x y fy xx fx 其他 ， 2 | 2 ,1,01 ( , ) 1( | ) ( ) 0, X Y Y x yxy f x y yfx y fy 其他 Y X 123 P Xi 1 1 12 1 12 1 12 3 12 2 2 12 1 12 0 3 12 3 2 12 1 12 0 3 12 4 1 12 1 12 1 12 3 12 P Yj 6 12 4 12 2 12 3 12 8 （3）由于 | 1 2,0,1 ( |)2 2 0, Y X y fy 其他 ，所以 1 | 1 2 00 1 01| 1 (1|d 22 )2d Y X fyyyPYX 六、解：设随机变量Z的分布函数为( ) Z Fz，则当0z 时，( )0 Z Fz ；当0z 时， :2 ( )2( , ) Z D xy z FzP ZzP XYzf x y dxdy (2 )2 22 0000 22 z xz x zz xyxy dxedye dxedy 0 ()1 z xzzz eedxeze 对z求导得随机变量Z的概率密度为 ,0 ( ) 0,0 z Z zez fz z 七、解：由乘法公式， 1 11 ()(|) ( ) 3 412 P ABP B A P A， 11 ()(|) ( )( ) 126 P ABP A B P BP B， 且由已知： 2 (|) 3 P B A ， 1 (|) 2 P A B ，于是 1 1,1()(|) ( ) 12 P XYP ABP B A P A 1 1,0()(|) ( ) 6 P XYP ABP B A P A 1 0,1()(|) ( ) 12 P XYP ABP A B P B 2 0,0 3 P XY，所求分布律如右图。 八、解：当0x 时 (1) 0 ( )( , ) xyx X fxf x y dyxedye ， 当0y 时 (1) 2 0 1 ( )( , ) 1 xy Y fyf x y dxxedx y ， 所以 ,0 ( ) 0,0 x X ex fx x ， 2 1 ,0 1( ) 0,0 Y y yfy y 于是，当0y 时 2(1) | (1),0( , ) ( | ) ( )0,0 xy X Y Y x yexf x y fx y fyx ， 当0x 时 Y X 01 0 2 3 1 12 1 1 6 1 12 9 | ,0( , ) ( | ) ( )0,0 xy Y X X xeyf x y fy x fxy . 33 | 11 1|3( |3)3 y Y X P YXfydyedye . 九、 提示：独立时分布律的各行列成比例；独立时, ijij P Xx YyP Xx P Yy；分布律的所有 概率之和为 1. 十、解： （1）当01x时，有 2 0 ( )( , )33 x X fxf x y dyxdyx ， 即关于X的边缘概率密度为 2 3,01 ( ) 0, X xx fx 其他 。 当01y时，有 1 2 3 ( )( , )3(1) 2 Y y fyf x y dxxdxy 即关于Y的边缘概率密度为 2 3 (1) ,01 ( )2 0, Y yy fy 其他 。 由于( , )( )( ) XY f x yfxfy，所以X与Y不独立。 （2）( )( ,) Z fzf x zx dx 被积函数当01x，01zx时不为 0，如右图 所示部分，所以 2 1 2 ( ,), 01 ( )( ,),12 0, z z z Z f x zx dxz fzf x zx dxz 其他 将( , )f x y的表达